मैट्रिक्स के रूप में क्वांटम सर्किट की व्याख्या कैसे करें?

यदि एक सर्किट अपने इनपुट के रूप में एक से अधिक क्वबिट लेता है और उसके क्वांटम गेट्स होते हैं, जो विभिन्न संख्याओं को अपने इनपुट के रूप में लेते हैं, तो हम इस सर्किट की मैट्रिक्स के रूप में व्याख्या कैसे करेंगे?

यहाँ एक खिलौना उदाहरण दिया गया है:

quantum-gate matrix-representation

— आर्चिल ज़वानिया
स्रोत

विशिष्ट सर्किट

पहला द्वार एक हडामर्ड द्वार है जो सामान्य रूप से द्वारा दर्शाया जाता है

\frac{1}{\sqrt{2}} [\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & - 1 \end{matrix}]

$\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}$

$H\otimes I$ $I$

\frac{1}{\sqrt{2}} [\begin{matrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 \end{matrix}]

$\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1 & 0 & 1 & 0\\0 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1\end{bmatrix}$

अगला हमारे पास एक CNOT गेट है। यह सामान्य रूप से प्रतिनिधित्व करता है

[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{bmatrix}$

This is the right size for two qubits, so we don't need to scale using kronecker products. We then have another hadamard gate, which scales the same was as the first. To find the overall matrix for the circuit, then, we multiply them all together:

\frac{1}{\sqrt{2}} [\begin{matrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix}] \frac{1}{\sqrt{2}} [\begin{matrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 \end{matrix}]

$\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1 & 0 & 1 & 0\\0 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1 & 0 & 1 & 0\\0 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1\end{bmatrix}$

और पाओ

\frac{1}{2} [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 1 & - 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 1 & 1 & 1 \end{matrix}]

$\frac{1}{2}\begin{bmatrix}1&1&1&-1\\1&1&-1&1\\1&-1&1&1\\-1&1&1&1\end{bmatrix}$

(यदि अजगर सही ढंग से गुणा किया जाता है =) तो हम इसे अपनी मूल क्विट अवस्था से गुणा करेंगे, और अपना परिणाम प्राप्त करेंगे।

सामान्यकरण

तो मूल रूप से, आप एक-एक करके प्रत्येक गेट से गुजरते हैं, आधार निरूपण लेते हैं, और पहचान के मेट्रिक्स के साथ क्रोनकर उत्पादों का उचित उपयोग करते हैं। फिर आप सभी मैट्रेस को एक साथ गुणा करते हैं, जिस क्रम में वे लागू होते हैं। ऐसा करना सुनिश्चित करें कि यदि आपने गुणा लिखा है, तो सबसे पहला द्वार सबसे दाईं ओर है; जैसा कि एरोपोलिस बताता है, यह एक सामान्य गलती है। मेट्रिक्स कम्यूटेटिव नहीं हैं! यदि आप मैट्रिक्स का आधार प्रतिनिधित्व नहीं जानते हैं, तो क्वांटम फाटकों पर पहले विकिपीडिया के लेख की जांच करें जिसमें बहुत कुछ है।

— हीदर
स्रोत

शायद यह जोड़ने का निर्देश है कि मैट्रिक्स गुणन के क्रम को हमेशा उल्टा करना चाहिए। इस विशेष खिलौना उदाहरण में, यह आवश्यक नहीं है क्योंकि सर्किट सममित है, लेकिन सामान्य तौर पर, किसी को हमेशा मैट्रिक्स गुणा के दाईं-सबसे स्थिति में बाएं-सबसे गेट के मैट्रिक्स को रखना चाहिए।

— एरोपोलिस

@arriopolis, अच्छी बात; मैं जोड़ दूंगा!

— हीथ

गेट को 'स्केलिंग' करने के बारे में सोचने के बजाय, जो मैंने समझा था, पहचान मैट्रिक्स द्वारा क्रोनकर उत्पाद इस तथ्य के कारण है कि दूसरी कक्षा में कुछ भी लागू नहीं होता है, लेकिन अगर आप सर्किट को एक संपूर्ण मानते हैं, तो पहले चरण पर यह पहले दौर में एच और ट्रांसफॉर्मेशन से गुज़रेगा और दूसरे पर "आई" ट्रांसफ़ॉर्म, जो एक ही बार में H⊗I के साथ प्रस्तुत होता है।

— FSic

@ F.Siciliano जो इसके बारे में सोचने के लिए एक अच्छा तरीका है; मेरे लिए यह अपने आप को याद दिलाने का एक अच्छा तरीका है कि मैं ऐसा क्यों कर रहा हूं।

— हीदर