जोन्स बहुपद

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कई काफी मानक क्वांटम एल्गोरिदम हैं जो सभी को एक समान संरचना के भीतर समझा जा सकता है, जो कि Deutsch के एल्गोरिथम साइमन की समस्या, ग्रोवर की खोज, शोर का एल्गोरिदम और इसी तरह से है।

एक एल्गोरिथ्म जो पूरी तरह से अलग प्रतीत होता है, जोन्स पोलिनोमियल के मूल्यांकन के लिए एल्गोरिथ्म है । इसके अलावा, ऐसा लगता है कि यह एक महत्वपूर्ण एल्गोरिथ्म है इस अर्थ में समझने के लिए कि यह एक बीक्यूपी-पूर्ण समस्या है: यह क्वांटम कंप्यूटर की पूरी शक्ति का प्रदर्शन करता है। इसके अलावा, समस्या के एक प्रकार के लिए, यह DQC-1 पूर्ण है , अर्थात यह एक स्वच्छ क्वबिट की पूर्ण शक्ति को प्रदर्शित करता है ।

जोन्स बहुपद एल्गोरिथ्म कागज अन्य क्वांटम एल्गोरिदम के लिए एक बहुत अलग तरीके से एल्गोरिथ्म प्रस्तुत करता है। क्या अधिक समान / परिचित तरीका है कि मैं एल्गोरिथ्म (विशेष रूप से, एक्यूआई को DQC-1 संस्करण में, या BQP-पूर्ण संस्करण में पूरे सर्किट को समझ सकता हूं) को समझ सकता हूं ? $U$

algorithm circuit-construction bqp

— DaftWullie
स्रोत

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यह उत्तर कमोबेश अहरोनोव-जोन्स-लैंडौ पेपर के एक सारांश से जुड़ा हुआ है, लेकिन हटाए गए एल्गोरिथ्म को परिभाषित करने से सीधे संबंधित नहीं है। उम्मीद है कि यह उपयोगी है।

Aharonov-जोन्स-Landau एल्गोरिथ्म एक चोटी की प्लेट बंद करने की जोन्स बहुपद का अनुमान लगाती है एक पर के रूप में (कुछ rescaling) एक निश्चित एकात्मक मैट्रिक्स के एक मैट्रिक्स तत्व यह साकार द्वारा एकता का वें जड़ , छवि ब्रैड समूह के एक निश्चित एकात्मक प्रतिनिधित्व के तहत of । क्वांटम सर्किट के रूप में कार्यान्वयन को देखते हुए , अपने मैट्रिक्स तत्वों को करना Hadamard परीक्षण का उपयोग करके सीधा है । हिस्सा क्वांटम सर्किट के रूप में को अनुमानित कर रहा है । $\sigma$ $k$ $U_\sigma$ $\sigma$ $B_{2n}$ $U_\sigma$ $U_\sigma$

यदि क्रॉसिंग के साथ किस्में पर एक चोटी है , तो हम , जहां , , और में, का जनरेटर है जो सेंट से अधिक स्ट्रैंड को पार करने से मेल खाता है । यह का वर्णन करने के लिए पर्याप्त है , क्योंकि । $\sigma$ $2n$ $m$ $\sigma = \sigma_{a_1}^{\epsilon_1} \sigma_{a_2}^{\epsilon_2} \cdots \sigma_{a_m}^{\epsilon_m}$ $a_1, a_2, \ldots, a_m \in \{1, 2, \ldots, 2n - 1\}$ $\epsilon_1, \epsilon_2, \ldots, \epsilon_m \in \{\pm 1\}$ $\sigma_i$ $B_{2n}$ $i$ $(i + 1)$ $U_{\sigma_i}$ $U_\sigma = U_{\sigma_{a_1}}^{\epsilon_1} \cdots U_{\sigma_{a_m}}^{\epsilon_m}$

को परिभाषित करने के लिए , हम सबसे पहले के मानक आधार का एक निश्चित उपसमुच्चय देते हैं, जिस पर कार्य करता है। के लिए , चलो । आइए कॉल स्वीकार्य अगर सभी के लिए । (यह AJL पेपर में परिभाषित ग्राफ पर लंबाई का पथ बताते हुए से मेल खाती है ।) $U_{\sigma_i}$ $\mathbb{C}^{2^{2n}}$ $U_{\sigma_i}$ $\psi = \lvert b_1 b_2 \cdots b_{2n} \rangle$ $\ell_{i'}(\psi) = 1 + \sum_{j = 1}^{i'} (-1)^{1-b_j}$ $\psi$ $1 \leq \ell_{i'}(\psi) \leq k - 1$ $i' \in \{1, 2, \ldots, 2n\}$ $\psi$ $2n$ $G_k$

λ_{r} = {\begin{cases} \sin (π r / k) & if 1 \leq r \leq k - 1, \\ 0 & otherwise. \end{cases}

$\lambda_r = \begin{cases}\sin(\pi r / k) & \textrm{if $1 \leq r \leq k - 1$},\\ 0 & \textrm{otherwise.}\end{cases}$ । (यह AJL पेपर में गलत लिखा गया है; यह भी ध्यान दें कि यहाँ और केवल यहाँ, इंडेक्स )। लिखें , जहां पहला है के टुकड़े , और । फिर

A = i e^{- π i / 2 k}

$A = ie^{-\pi i/2k}$

i = \sqrt{- 1}

$i = \sqrt{-1}$

i

$i$

ψ = | ψ_{i} b_{i} b_{i + 1} \dots ⟩

$\psi = \lvert \psi_i b_i b_{i+1} \cdots\rangle$

ψ_{i}

$\psi_i$

i - 1

$i - 1$

ψ

$\psi$

z_{i} = ℓ_{i - 1} (ψ_{i})

$z_i = \ell_{i-1}(\psi_i)$

\begin{aligned} U_{σ_{i}} (| ψ_{i} 00 \dots ⟩) & = A^{- 1} | ψ_{i} 00 \dots ⟩ \\ U_{σ_{i}} (| ψ_{i} 01 \dots ⟩) & = (A \frac{λ_{z_{i} - 1}}{λ_{z_{i}}} + A^{- 1}) | ψ_{i} 01 \dots ⟩ + A \frac{\sqrt{λ_{z_{i} + 1} λ_{z_{i} - 1}}}{λ_{z_{i}}} | ψ_{i} 10 \dots ⟩ \\ U_{σ_{i}} (| ψ_{i} 10 \dots ⟩) & = A \frac{\sqrt{λ_{z_{i} + 1} λ_{z_{i} - 1}}}{λ_{z_{i}}} | ψ_{i} 01 \dots ⟩ + (A \frac{λ_{z_{i} + 1}}{λ_{z_{i}}} + A^{- 1}) | ψ_{i} 10 \dots ⟩ \\ U_{σ_{i}} (| ψ_{i} 11 \dots ⟩) & = A^{- 1} | ψ_{i} 11 \dots ⟩ \end{aligned}

$\begin{align} U_{\sigma_i}(\lvert\psi_i 00 \cdots\rangle) & = A^{-1}\lvert\psi_i 00 \cdots\rangle\\ U_{\sigma_i}(\lvert\psi_i 01 \cdots \rangle) & = \left( A\frac{\lambda_{z_i-1}}{\lambda_{z_i}} + A^{-1}\right)\lvert\psi_i 01 \cdots\rangle + A\frac{\sqrt{\lambda_{z_i+1}\lambda_{z_i-1}}}{\lambda_{z_i}}\lvert\psi_i 10 \cdots\rangle\\ U_{\sigma_i}(\lvert\psi_i 10 \cdots \rangle) & = A\frac{\sqrt{\lambda_{z_i+1}\lambda_{z_i-1}}}{\lambda_{z_i}}\lvert\psi_i 01 \cdots\rangle + \left(A\frac{\lambda_{z_i+1}}{\lambda_{z_i}} + A^{-1}\right)\lvert\psi_i 10 \cdots\rangle\\ U_{\sigma_i}(\lvert\psi_i 11 \cdots\rangle) & = A^{-1}\lvert\psi_i 11 \cdots\rangle \end{align}$ हम को गैर-स्वीकार्य आधार तत्वों के लिए परिभाषित करते हैं। ।

U_{σ_{i}} (ψ) = ψ

$U_{\sigma_i}(\psi) = \psi$

ψ

$\psi$

अब हम को बहुपद के साथ एक क्वांटम सर्किट के रूप में वर्णन करना चाहेंगे ( और ) कई गेट्स। ध्यान दें कि जबकि केवल दो बदलता है, यह पहली पर भी निर्भर करता है पर निर्भरता के माध्यम से (और वास्तव में, यह स्वीकार्यता की आवश्यकता के लिए सभी पर निर्भर करता है)। हालाँकि, हम लघुगणकीय रूप से कई ( ) ancilla qubits में (और इनपुट की स्वीकार्यता निर्धारित करने के लिए) की गणना करने के लिए एक काउंटर चला सकते हैं , और इसलिए हम लिए एक अच्छा सन्निकटन प्राप्त करने के लिए Solovay-Kitaev एल्गोरिथ्म को लागू कर सकते हैं। $U_{\sigma_i}$ $n$ $k$ $U_{\sigma_i}$ $i - 1$ $z_i$ $z_i$ $k$ $U_{\sigma_i}$ केवल बहुपद का उपयोग करके कई द्वार। (पेपर दो बार सोलोवे-केइटेव से अपील करता है: एक बार प्रत्येक चरण पर काउंटर को बढ़ाने के लिए, और एक बार को लागू करने के लिए ; मुझे यकीन नहीं है कि इन दोनों के रूप में क्वांटम सर्किट का वर्णन करने के लिए और अधिक सीधा तरीका है) मानक गेट्स। पेपर में यहां स्वीकार्यता की जांच करने की आवश्यकता का उल्लेख नहीं है; मुझे यकीन नहीं है कि यह महत्वपूर्ण है, लेकिन निश्चित रूप से हमें कम से कम ।) $U_{\sigma_i}$ $1 \leq z_i \leq k - 1$

इसलिए पुनरावृत्ति करने के लिए:

क्रॉसिंग के साथ एक चोटी शुरू करें । $\sigma \in B_{2n}$ $m$
लिखें । $\sigma = \sigma_{a_1}^{\epsilon_1} \sigma_{a_2}^{\epsilon_2} \cdots \sigma_{a_m}^{\epsilon_m}$
प्रत्येक , एकात्मक मैट्रिक्स (या इसके if को प्राप्त करने के लिए Solovay-Kitaev एल्गोरिथ्म लागू करें। )। $i \in \{1, 2, \ldots, m\}$ $U_{\sigma_{a_i}}$ $\epsilon_i = -1$
चरण 3 से सभी सन्निकटनओं की रचना करें, जिससे कि बहुपत्नी के साथ एक क्वांटम सर्किट मिल सके, जो अनुमान लगाता है । $U_{\sigma}$
चरण 4 से सर्किट और राज्य से कई बार वास्तविक और काल्पनिक Hadamard परीक्षण बहुपद पर लागू करें । $\lvert 1010 \cdots 10\rangle$
औसत चरण 5 की और गुणा कुछ स्केलिंग कारक द्वारा परिणामों की प्लेट बंद करने की जोन्स बहुपद के वास्तविक और काल्पनिक भागों के लिए एक सन्निकटन प्राप्त करने के लिए पर मूल्यांकन किया जाता । $\sigma$ $e^{2\pi i/k}$

— इवान जेनकिंस
स्रोत

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आपने प्रश्न में पांच पत्रों का उल्लेख किया है, लेकिन एक कागज जो अप्रमाणित है, 2009 में प्रायोगिक कार्यान्वयन है । यहां आपको वास्तविक सर्किट मिलेगा जिसका उपयोग जोन्स बहुपद का मूल्यांकन करने के लिए किया गया था:

यह निकटतम हो सकता है कि आपको एल्गोरिथ्म की "अधिक परिचित" प्रस्तुति मिल जाएगी, क्योंकि जोन्स बहुपद में और DQC-1 में रुचि 2009 से थोड़ी कम हो गई है।

इस प्रयोग के बारे में अधिक जानकारी जीना पासांटे की थीसिस में पाई जा सकती है ।

— user1271772
स्रोत

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मैं उस कागज से अनभिज्ञ था, धन्यवाद, हालांकि मुझे बीक्यूपी-पूर्ण संस्करण में विशेष रूप से दिलचस्पी थी। समान रूप से, मेरे संक्षिप्त स्किम में, मैं इस बारे में बहुत स्पष्टीकरण नहीं देखता कि एकात्मक वास्तव में क्या है।

U_{n}

$U_n$

— दफ्तुल्ली

आपका स्वागत है। हां, यह एक 4-पृष्ठ PRL था जिसमें विवरणों के बारे में पूरी तरह से नहीं बताया गया था - शायद यह पत्रिका के वेबपेज पर एक "अनुपूरक सामग्री" है जो यू बेहतर बताती है। जोन्स बहुपद और DQC-1 2008-2009 के आसपास लोकप्रिय थे लेकिन मैंने तब से इसके बारे में सुनना बंद कर दिया है।

— user1271772