क्या बोसॉन सैंपलिंग का उपयोग करके किसी स्थायी के पूर्ण मूल्य की "गणना" करना संभव है?

में बोसॉन नमूने , हम पहले से प्रत्येक में 1 फोटॉन के साथ शुरू करता है, तो $M$ एक interferometer के तरीके, प्रत्येक उत्पादन मोड में 1 फोटॉन पता लगाने की संभावना है: $|\textrm{Perm}(A)|^2$ , जहां के कॉलम और पंक्तियाँ इंटरफेरोमेट्री के एकात्मक मैट्रिक्स $A$ के पहले $M$ कॉलम हैं , और इसकी सभी पंक्तियाँ। $U$

यह किसी भी एकात्मक तरह दिखता है $U$ , हम उपयुक्त इंटरफेरोमीटर का निर्माण कर सकते हैं, मैट्रिक्स निर्माण कर सकते हैं $A$ , और प्रत्येक मोड में एक फोटॉन का पता लगाने की संभावना का वर्गमूल लेकर के स्थायी के निरपेक्ष मान की गणना कर सकते हैं $A$ (जो हम बोसोन सैंपलिंग प्रयोग से प्राप्त करें)। क्या यह सच है, या कुछ पकड़ है?लोगों ने मुझे बताया है कि आप वास्तव में बोसॉन नमूने से स्थायी के बारे में जानकारी प्राप्त नहीं कर सकते हैं।

इसके अलावा, के बाकी स्तंभों का क्या होता है $U$ : वास्तव में यह कैसे होता है कि प्रयोगात्मक परिणाम केवल के पहले $M$ कॉलम और उसकी सभी पंक्तियों पर निर्भर करता है , लेकिन के अन्य स्तंभों पर बिल्कुल नहीं ? वे कॉलम पहले मोड में प्रयोग के परिणाम को बिल्कुल प्रभावित नहीं करते हैं ? $U$ $U$ $U$ $M$

— user1271772
स्रोत

चूंकि आपने फोटोनिक्स का निर्माण किया है , कृपया इसके लिए टैग-अंश लिखने पर विचार करें। यहाँ जाओ । धन्यवाद।

— सांचयन दत्ता

जवाबों:

यह एक बिंदु तक सही प्रतीत होता है। जैसा कि मैंने स्कॉट आरोनसन के पढ़ने के कागज , यह कहना है कि यदि आप पहले से प्रत्येक में 1 फोटॉन के साथ शुरू एक interferometer के तरीके, और संभावना खोजने के कि एक सेट फोटॉनों प्रत्येक विधा में उत्पादन होता है जहां , है $M$ $P_S$ $s_i$ $i\in\{1,\ldots, N\}$ $\sum_is_i=M$ तो, वास्तव में, यदि आप एक विशेष उदाहरण जहां लेया 1 हर संभव उत्पादन के लिए है, तो, हाँ संभावना के स्थायी के बराबर हैहै, जहांपहला हैके स्तंभोंके विशेष समूह के औरस्थानों द्वारा निर्दिष्ट पंक्तियों। इसलिए, यह प्रश्न में निर्दिष्ट नहीं है: यह सभी पंक्तियाँ नहीं हैं, लेकिन केवल कुछ सबसेट हैं, ताकि

P_{s} = \frac{| Per(A) |^{2}}{s_{1}! s_{2}! \dots s_{M}!} .

$P_s=\frac{|\text{Per(A)}|^2}{s_1!s_2!\ldots s_M!}.$

s_{i} = 0

$s_i=0$

A

$A$

A

$A$

M

$M$

U

$U$

M

$M$

s_{i} = 1

$s_i=1$

A

$A$ बिट्स के समान एक वर्गाकार मैट्रिक्स है, जो प्रयोग "देखता है", यानी इनपुट पंक्तियाँ और आउटपुट पंक्तियाँ। फोटॉन कभी भी किसी और चीज को नहीं आबाद करते हैं, और इसलिए एकात्मक मैट्रिक्स

के अन्य तत्वों के लिए अंधे होते हैं ।

U

$U$

यह बिल्कुल स्पष्ट होना चाहिए। मान लीजिए कि मेरे पास कुछ मैट्रिक्स । अगर मैं कुछ आधार अवस्था में शुरू करता हूँ और पाते हैं अपने उत्पाद, , तो वह मुझे आउटपुट बारे में बहुत कम जानते हुए भी बताता और , क्या ज्ञान है कि से कहा जा सकता है एक तरफ से $3\times 3$ $V$ $|0\rangle$ $V|0\rangle$ $V|1\rangle$ $V|2\rangle$ $V$ एकात्मक है, और इसलिए स्तंभों और पंक्तियों orthonormal हैं।

मुद्दा यह है कि एक के लिए सावधान रहना चाहिए सटीकता है: आप एक बार इस चलाने के लिए और तुम सब मिल संभावना वितरण के अनुसार एक भी नमूना है । आप इसे कुछ बार चलाते हैं, और आप विभिन्न संभावनाओं के बारे में जानकारी बनाना शुरू करते हैं। आप इसे पर्याप्त बार चलाते हैं, और आप एक मनमाने ढंग से सटीक उत्तर प्राप्त कर सकते हैं, लेकिन कितने पर्याप्त हैं? दो अलग-अलग तरीके हैं जो आप मूल्य एक अनुमान में त्रुटि को माप सकते हैं । आप या तो एक additive त्रुटि मांग कर सकते हैं या एक गुणक त्रुटि, । चूंकि हम उम्मीद करते हैं कि में एक सामान्य संभावना तेजी से छोटी होगी $P_s$ $p$ $p\pm\epsilon$ $p(1\pm\epsilon)$ $n+m$ , गुणक त्रुटि कहीं अधिक सटीकता की मांग करती है, जिसे नमूने के माध्यम से कुशलता से प्राप्त नहीं किया जा सकता है। दूसरी ओर, योगात्मक त्रुटि सन्निकटन प्राप्त किया जा सकता है।

जबकि एक बहुसांस्कृतिक त्रुटि वह है जो लोग आमतौर पर गणना करना चाहते हैं, योजक त्रुटि भी एक दिलचस्प इकाई हो सकती है। उदाहरण के लिए, जोन्स बहुपद के मूल्यांकन में ।

आरोनसन ने हमें उस समय के बारे में बताया जिसमें बोसोन सैंपलिंग और परमानेंट के बीच यह संबंध पहली बार बनाया गया था:

यह 1953 में Caianiello द्वारा काम के बाद से जाना जाता है (यदि पहले नहीं है) कि -boson प्रक्रियाओं के लिए आयाम मेट्रिसेस के स्थायी के रूप में लिखे जा सकते हैं । $n$ $n\times n$

इसके बजाय, उनका मुख्य योगदान

लगभग बोसोनसमलिंग समस्या को हल करने के लिए शास्त्रीय कंप्यूटरों की क्षमता और स्थायी रूप से अनुमानित करने की उनकी क्षमता के बीच एक संबंध साबित करना है

यानी सम्‍मिलित समस्‍या को समझने के लिए, जैसे परिमित नमूनाकरण, और संबंधित संगणकीय जटिलता के परिणामों का वर्णन करने के लिए: कि हम मानते हैं कि इस तरह की चीज़ का शास्त्रीय मूल्यांकन करना कठिन है।

— DaftWullie
स्रोत

मुझे यकीन नहीं है कि यह वही है जो आप कह रहे हैं, लेकिन यह सच नहीं है कि बोसोनसम्पलिंग को कुशलता से हल करने से स्थायी रूप से अनुमान लगाने की अनुमति मिलती है, जिसका अर्थ यह होगा कि क्वांटम कंप्यूटर # पी-हार्ड समस्याओं को हल करने में सक्षम हैं। दूसरे शब्दों में, क्वांटम कंप्यूटर कुशलता से बोसॉन सैंपलर के उत्पादन का अनुकरण कर सकते हैं , लेकिन कुशलता से इसके उत्पादन की संभावना वितरण की गणना नहीं करते हैं

— glS

@glS नहीं, यह बहुत ज्यादा है जो मैं कह रहा हूं। आरोनसन पेपर उस मुद्दे को अलग करने के लिए बहुत सावधान है, लेकिन यह कम्प्यूटेशनल जटिलता बयान को बहुत अधिक गड़बड़ कर देता है, यही वजह है कि मैंने इसे नहीं बताया।

— डफ्टवुल्ली

@DaftWullie sorry, now I'm confused. Do we agree that boson sampling does not allow to efficiently estimate permanents? (see e.g. bottom of left column at pag 6 of arxiv.org/pdf/1406.6767.pdf)

— glS

@gls I agree that you cannot do it if you want an estimate of the permanent with some multiplicative error bound, which, admittedly, is the standard way of defining things (but since I carefully avoided defining anything...). If you’re willing to tolerate an additive error bound, then I believe you can do it.

— DaftWullie

"If I start in some basis state

| 0 ⟩

$|0\rangle$ and find its product,

V | 0 ⟩

$V|0\rangle$ , then knowing that tells me very little about the outputs

V | 1 ⟩

$V|1\rangle$ and

V | 2 ⟩

$V|2\rangle$ ", but every single element of

V

$V$ is involved in giving you

V | 0 ⟩

$V|0\rangle$ . But for boson sampling, only the first

M

$M$ columns are involved, isn't that amazing?

— user1271772

You cannot efficiently recover the absolute values of the amplitudes, but if you allow for arbitrary many samples, then you can estimate them to whatever degree of accuracy you like.

More specifically, if the input state is a single photon in each of the first $n$ modes, and one is willing to draw an arbitrary number of samples from the output, then it is in principle possible to estimate the permanent of $A$ to whatever degree of accuracy one likes, by counting the fraction of the times the $n$ input photons come out in the first $n$ different output ports. It is to be noted though that this does not really have much to do with BosonSampling, as the hardness result holds in the regime of the number of modes much larger than the number of photons, and it's about the efficiency of the sampling.

BosonSampling

I'll try a very brief introduction to what boson sampling is, but it should be noted that I cannot possibly do a better job at this than Aaronson himself, so it's probably a good idea to have a look at the related blog posts of his (e.g. blog/?p=473 and blog/?p=1177), and links therein.

BosonSampling is a sampling problem. This can be a little bit confusing in that people are generally more used to think of problems having definite answers. A sampling problem is different in that the solution to the problem is a set of samples drawn from some probability distribution.

Indeed, the problem a boson sampler solves is that of sampling from a specific probability distribution. More specifically, sampling from the probability distribution of the possible outcome (many-boson) states.

Consider as a simple example a case with 2 photons in 4 modes, and let's say we fix the input state to be $(1,1,0,0)\equiv|1,1,0,0\rangle$ (that is, a single photon in each of the two first two input modes). Ignoring the output states with more than one photon in each mode, there are $\binom{4}{2}=6$ $(1,1,0,0), (1,0,1,0), (1,0,0,1), (0,1,1,0), (0,1,0,1)$ and $(0,0,1,1)$ . Let us denote for convenience with $o_i, i=1,.,6$ the $i$ -th one (so, for example, $o_2=(1,0,1,0)$ ). Then, a possible solution to BosonSampling could be the series of outcomes:

o_{1}, o_{4}, o_{2}, o_{2}, o_{5} .

$o_1, o_4, o_2, o_2, o_5.$

To make an analogy to a maybe more familiar case, it's like saying that we want to sample from a Gaussian probability distribution. This means that we want to find a sequence of numbers which, if we draw enough of them and put them into a histogram, will produce something close to a Gaussian.

Computing permanents

It turns out that the probability amplitude of a given input state $|\boldsymbol r\rangle$ to a given output state $|\boldsymbol s\rangle$ is (proportional to) the permanent of a suitable matrix built out of the unitary matrix characterizing the (single-boson) evolution.

More specifically, if $\boldsymbol R$ denotes the mode assignment list ${}^{(1)}$ associated to $|\boldsymbol r\rangle$ , $\boldsymbol S$ that of $|\boldsymbol s\rangle$ , and $U$ is the unitary matrix describing the evolution, then the probability amplitude $\mathcal A(\boldsymbol r\to\boldsymbol s)$ of going from $|\boldsymbol r\rangle$ to $|\boldsymbol s\rangle$ is given by

A (r \to s) = \frac{1}{\sqrt{r! s!}} perm U [R | S],

$\mathcal A(\boldsymbol r\to\boldsymbol s) = \frac{1}{\sqrt{\boldsymbol r!\boldsymbol s!}} \operatorname{perm} U[\boldsymbol R|\boldsymbol S],$ with

U [R | S]

$U[\boldsymbol R|\boldsymbol S]$ denoting the matrix built by taking from

U

$U$ the rows specified by

R

$\boldsymbol R$ and the columns specified by

S

$\boldsymbol S$ .

Thus, considering the fixed input state $|\boldsymbol r_0\rangle$ , the probability distribution of the possible outcomes is given by the probabilities

p_{s} = \frac{1}{r_{0}! s!} | perm U [R | S] |^{2} .

$p_{\boldsymbol s} = \frac{1}{\boldsymbol r_0! \boldsymbol s!} \lvert \operatorname{perm}U[\boldsymbol R|\boldsymbol S] \rvert^2.$

BosonSampling is the problem of drawing "points" according to this distribution.

This is not the same as computing the probabilities $p_s$ , or even computing the permanents themselves. Indeed, computing the permanents of complex matrices is hard, and it is not expected even for quantum computers to be able to do it efficiently.

The gist of the matter is that sampling from a probability distribution is in general easier than computing the distribution itself. While a naive way to sample from a distribution is to compute the probabilities (if not already known) and use those to draw the points, there might be smarter ways to do it. A boson sampler is something that is able to draw points according to a specific probability distribution, even though the probabilities making up the distribution itself are not known (or better said, not efficiently computable).

Furthermore, while it may look like the ability to efficiently sample from a distribution should translate into the ability of efficiently estimating the underlying probabilities, this is not the case as soon as there are exponentially many possible outcomes. This is indeed the case of boson sampling with uniformly random unitaries (that is, the original setting of BosonSampling), in which there are $\binom{m}{n}$ possible $n$ -boson in $m$ -modes output states (again, neglecting states with more than one boson in some mode). For $m\gg n$ , this number increases exponentially with $n$ . This means that, in practice, you would need to draw an exponential number of samples to even have a decent chance of seeing a single outcome more than once, let alone estimate with any decent accuracy the probabilities themselves (it is important to note that this is not the core reason for the hardness though, as the exponential number of possible outcomes could be overcome with smarter methods).

In some particular cases, it is possible to efficiently estimate the permanent of matrices using a boson sampling set-up. This will only be feasible if one of the submatrices has a large (i.e. not exponentially small) permanent associated with it, so that the input-output pair associated with it will happen frequently enough for an estimate to be feasible in polynomial time. This is a very atypical situation, and will not arise if you draw unitaries at random. For a trivial example, consider matrices that are very close to identity - the event in which all photons come out in the same modes they came in will correspond to a permanent which can be estimated experimentally. Besides only being feasible for some particular matrices, a careful analysis of the statistical error incurred in evaluating permanents in this way shows that this is not more efficient than known classical algorithms for approximating permanents (technically, within a small additive error) ${}^{(2)}$ .

Columns involved

Let $U$ be the unitary describing the one-boson evolution. Then, basically by definition, the output amplitudes describing the evolution of a single photon entering in the $k$ -th mode are in the $k$ -th column of $U$ .

The unitary describing the evolution of the many-boson states, however, is not actually $U$ , but a bigger unitary, often denoted by $\varphi_n(U)$ , whose elements are computed from permanents of matrices built out of $U$ .

Informally speaking though, if the input state has photons in, say, the first $n$ modes, then naturally only the first $n$ columns of $U$ must be necessary (and sufficient) to describe the evolution, as the other columns will describe the evolution of photons entering in modes that we are not actually using.

(1) This is just another way to describe a many-boson state. Instead of characterizing the state as the list of occupation numbers for each mode (that is, number of bosons in first mode, number in second, etc.), we characterize the states by naming the mode occupied by each boson. So, for example, the state $(1, 0, 1, 0)$ can be equivalently written as $(1, 3)$ , and these are two equivalent ways to say that there is one boson in the first and one boson in the third mode.

(2): S. Aaronson and T. Hance. "Generalizing and Derandomizing Gurvits's Approximation Algorithm for the Permanent". https://eccc.weizmann.ac.il/report/2012/170/

— glS
स्रोत

I started with 1 photon in each input mode, and said we're looking at the probability of having 1 photon in each output mode, so that we could avoid all these more complicated general equations involving the permanent, which you provide. In fact if

M

$M$ is the number of columns in

U

$U$ , we get that the probability of having 1 photon in each output mode is

| Perm (U) |^{2}

$|\textrm{Perm}(U)|^2$ from which we can easily get

| Perm (U) |

$|\textrm{Perm}(U)|$ . If we let the experiment go on for long enough and get enough samples, can we not obtain an estimate for

| Perm (U) |

$|\textrm{Perm}(U)|$ ?

— user1271772

In no part of the question did I mention "efficiency" or "sub-exponentially". I'm just interested to know whether or not it's possible to estimate

| Perm (U) |

$|\textrm{Perm}(U)|$ using boson sampling.

— user1271772

@user1271772 I see. That's the standard way of talking about these things in this context so I might have automatically assumed you meant to talk about efficiency. If you don't care about the number of samples you have to draw then sure, you can compute the output probability distribution, and therefore the absolute values of the permanents, to whatever accuracy you like

— glS

@gIS, Aram Harrow once told me you cannot calculate Permanents using boson sampling, so I thought there was some "catch". The best classical algorithm for simulation of exact boson sampling is:

O (m 2^{n} + m n^{2})

$\mathcal{O}\left(m2^n + mn^2\right)$ , for

n

$n$ photons in

m

$m$ output modes, what is the cost using the interferometer?

— user1271772

@user1271772 I answered more specifically your first point in the edit. I guess I got confused because the setting you are mentioning does not seem to have really much to do with boson sampling, but is more generally about the dynamics of indistinguishable bosons through an interferometer

— glS