एक होलवो सूचना असमानता का प्रमाण

मान लीजिए कि मेरे पास एक शास्त्रीय-शास्त्रीय-क्वांटम चैनल , जहां परिमित सेट हैं और परिमित आयामी, जटिल हिल्बर्ट अंतरिक्ष पर घनत्व मैट्रिक्स का समुच्चय है । $W : \mathcal{X}\times\mathcal{Y} \rightarrow \mathcal{D}(\mathcal{H})$ $\mathcal{X},\mathcal{Y}$ $\mathcal{D}(\mathcal{H})$ $\mathcal{H}$

मान लीजिए $p_x$ पर समान वितरण है $\mathcal{X}$ और $p_y$ पर समान वितरण है $\mathcal{Y}$ । इसके अलावा, डिस्ट्रीब्यूशन के लिए $p_1$ को $\mathcal{X}$ और $p_2$ को $\mathcal{Y}$ पर परिभाषित करें, होलवो जानकारी

χ (p_{1}, p_{2}, W) := H (\sum_{x, y} p_{1} (x) p_{2} (y) W (x, y)) - \sum_{x, y} p_{1} (x) p_{2} (y) H (W (x, y))

$\chi(p_1, p_2, W) := H\left(\sum_{x,y}p_1(x)p_2(y)W(x,y)\right) - \sum_{x,y}p_1(x)p_2(y)H(W(x,y))$

जहाँ $H$ वॉन न्यूमन एंट्रॉपी है।

मैं

p_{1} := sup_{p} {χ (p, p_{y}, W)}, p_{2} := sup_{p} {χ (p_{x}, p, W)}

$p_1 := \sup_{p}\left\{ \chi(p, p_y, W)\right\}, p_2 := \sup_{p}\left\{ \chi(p_x, p, W)\right\}$ कि,

χ (p_{1}, p_{2}, W) \geq χ (p_{1}, p_{y}, W) and χ (p_{1}, p_{2}, W) \geq χ (p_{x}, p_{2}, W) .

$\chi(p_1, p_2, W) \geq \chi(p_1, p_y, W) \text{ and } \chi(p_1, p_2, W)\geq \chi(p_x, p_2, W).$

अब तक, मैं अभी तक आश्वस्त नहीं हूं कि बयान पहली जगह में सच है। मैंने इसे साबित करने में बहुत प्रगति नहीं की है, लेकिन ऐसा लगता है कि कुछ प्रकार की त्रिकोण असमानता दावे को सत्यापित कर सकती है।

किसी भी सुझाव के लिए धन्यवाद कि क्या कथन को पकड़ना चाहिए और इसे कैसे सिद्ध किया जाए, इस पर सुझाव दें।

quantum-information entropy

— स्टीफन डायदामो
स्रोत

जैसा कि उत्तर से पता चलता है, मैंने आर्ग्मैक्स का उपयोग करने का इरादा किया था और सर्वोच्चता का नहीं।

— स्टीफन डायदामो

ऐसा प्रतीत होता है कि कथन सामान्य रूप से सत्य नहीं है। मान लीजिए कि , एक सिंगल क्वाइबेट के अनुरूप हिल्बर्ट स्पेस है, और को रूप में परिभाषित किया गया है यदि एक समान वितरण है, तो का इष्टतम विकल्प और , जो , जो अधिकतम है संभव मूल्य। (मुझे लगता है कि आप को परिभाषित करना $X = Y = \{0,1\}$ $\mathcal{H}$ $W$

\begin{aligned} W (0, 0) & = | 0 ⟩ ⟨ 0 |, \\ W (0, 1) & = | 1 ⟩ ⟨ 1 |, \\ W (1, 0) & = | 1 ⟩ ⟨ 1 |, \\ W (1, 1) & = \frac{1}{2} | 0 ⟩ ⟨ 0 | + \frac{1}{2} | 1 ⟩ ⟨ 1 | . \end{aligned}

$\begin{align} W(0,0) & = | 0 \rangle \langle 0 |,\\ W(0,1) & = | 1 \rangle \langle 1 |,\\ W(1,0) & = | 1 \rangle \langle 1 |,\\ W(1,1) & = \frac{1}{2} | 0 \rangle \langle 0 | + \frac{1}{2} | 1 \rangle \langle 1 |. \end{align}$

p_{y}

$p_y$

p_{1}

$p_1$

p_{1} (0) = 1

$p_1(0) = 1$

p_{1} (1) = 0

$p_1(1) = 0$

χ (p_{1}, p_{y}, W) = 1

$\chi(p_1,p_y,W) = 1$

p_{1}

$p_1$ और उन अभिव्यक्तियों के आर्ग्मैक्स के रूप में है, सर्वोच्च नहीं।) इसी तरह, अगर समरूप है, और इष्टतम है, और मान समान है। हालाँकि, , इसलिए असमानता पकड़ में नहीं आती है।

p_{2}

$p_2$

p_{x}

$p_x$

p_{2} (0) = 1

$p_2(0) = 1$

p_{2} (1) = 0

$p_2(1) = 0$

χ (p_{1}, p_{2}, W) = 0

$\chi(p_1,p_2,W) = 0$

— जॉन वॉट्रस
स्रोत