सार्वभौमिक क्वांटम गेट्स का सबसे छोटा अनुक्रम जो किसी दिए गए एकात्मक के अनुरूप होता है

Question

प्रश्न: एकात्मक मैट्रिक्स पर कार्य करना $n$ qubits, क्या हम Clifford + T के सबसे छोटे अनुक्रम को खोज सकते हैं जो उस एकात्मक के अनुरूप हो?

प्रश्न पर पृष्ठभूमि के लिए, दो महत्वपूर्ण संदर्भ:

1. क्लीफ़ोर्ड और टी गेट्स द्वारा क्लिअर्डिकोव, मास्लोव, और मोस्का द्वारा उत्पन्न एकल क्वबिट यूनिटों का तेज और कुशल सटीक संश्लेषण
2. जाइल्स और सेलिंगर द्वारा मल्टीकबिट क्लिफोर्ड + टी सर्किट का सटीक संश्लेषण ।

Comments

स्वागत हे! मैंने संदर्भ के लिए विषय पर दो संदर्भ जोड़े। यदि वे पर्याप्त नहीं हैं तो कृपया वापस या सही रोल करें। इसके अतिरिक्त, यदि अधिक विवरण को प्रश्न में जोड़ा जा सकता है तो यह बहुत अच्छा होगा :)

— agaitaarino

Answer 1

एक इष्टतम अपघटन प्राप्त करना निश्चित रूप से एक खुली समस्या है। (और, निश्चित रूप से, अपघटन अवर्णनीय है,$\exp(n)$ बड़े के लिए द्वार $n$।) एक "सरल" सवाल जो आप पहले पूछ सकते हैं कि किसी भी कोण से cnots और एकल qubit घुमाव का सबसे छोटा अनुक्रम क्या है, (क्या आईबीएम, रिगेटी, और जल्द ही Google वर्तमान में ऑफ़र करता है, गेट्स का यह सार्वभौमिक आधार व्यक्त किया जा सकता है। क्लिफोर्ड और टी-गेट्स का आपका आधार)। यह "सरल" प्रश्न भी खुला है और एक गैर-अद्वितीय उत्तर है। एक संबंधित प्रश्न यह है कि जमीन के राज्य से किसी अंतिम राज्य में जाने के लिए सार्वभौमिक आधार से फाटकों का सटीक इष्टतम अपघटन क्या है।

मैं मान रहा हूं कि आप सटीक व्याख्याओं का उल्लेख कर रहे हैं। यदि आप अनुमानित विघटन चाहते हैं, तो इसके लिए अलग-अलग तरीके हैं, जैसे कि ट्रॉट्टर-सुज़ुकी अपघटन, या एक सटीक अपघटन का अनुमान लगाना।

क्यूबिटर में "क्वांटम सीएसएसडी कंपाइलर" किसी भी एन-क्विट की अपघटन को cnots में और एकल क्वैबिट रोस्ट को LAPACK के प्रसिद्ध सीएसडी (कोसाइन-साइन डिकम्पोजिशन) सबरूटीन का उपयोग करके करता है। कुछ उद्यमी व्यक्ति क्यूबिटर के क्वांटम कंपाइलर के लिए अनुकूलन खोजने की कोशिश कर सकते हैं। आप क्यूबिटर के संकलक का उपयोग कर सकते हैं, उदाहरण के लिए (मैंने इस पर एक पेपर लिखा था), अपने शास्त्रीय कंप्यूटर को कोपरसमिथ के क्वांटम फूरियर ट्रांसफॉर्म अपघटन को फिर से खोजने के लिए!

क्यूबिटर खुला स्रोत है और जीथब पर उपलब्ध है (पूर्ण प्रकटीकरण - मैंने इसे लिखा)।

Comments

क्या अपघटन इकाईयों के लिए भी असाध्य है जो केवल क्लिफर्ड गेट्स के गुणन द्वारा बनाए गए हैं? मैं एक यादृच्छिक सर्किट जनरेटर का निर्माण करना चाह रहा हूं, और मैं यादृच्छिक फाटकों के बाद एक व्युत्क्रम परत सम्मिलित करना चाहता हूं, ताकि एक निर्धारक (इस मामले में, प्रारंभिक के बराबर) राज्य के साथ समाप्त हो सके। हालाँकि, केवल सर्किट को मिरर करने के बजाय, मैं सोच रहा था कि क्या इन्वॉल्वमेंट लेयर की कुशलता से गणना करना संभव है अगर इनपुट सर्किट पूरी तरह से क्लिफोर्ड से बना है?

— १४:३३ पर केलथर

Answer 2

मान लीजिए कि आपके द्वारा प्रदान किए गए एकात्मक (प्रविष्टियों पर सिद्धांत संबंधी प्रतिबंध की संख्या) के लिए एक सटीक संश्लेषण संभव था और इसलिए प्रश्न में वर्णित एल्गोरिदम ने आपको क्लिफर्ड + टी गेट्स का एक अनुक्रम दिया जिसने उस एकात्मकता को लागू किया। जैसा कि जाइल्स-सेलिंगर पेपर में कहा गया है, आपको एक ऐसा क्रम मिलता है जो इष्टतम से बहुत दूर है। तो इस बिंदु पर आपने क्लिफर्ड + टी गेट सेट द्वारा उत्पन्न समूह में शब्द समस्या को कम कर दिया है। कुछ समूहों में किसी दिए गए शब्द को छोटा करने के लिए एल्गोरिदम होता है, जबकि समूह के एक ही तत्व को एक सामान्य रूप में प्रस्तुत करते हैं जो उस वर्ग के भीतर सबसे छोटा होता है। दूसरों को नहीं।

सिद्धांत को स्पष्ट करने के लिए और अधिक विवरण: हम कहते हैं कि वहाँ हैं $2$qubits। निरूपित$S_1$ जनरेटर के लिए आदि जो क्वैबिट पर चरण गेट का काम करता है $1$, $CNOT_{12}$ के लिये $1$नियंत्रण आदि होना। इनमें से प्रत्येक को एक पत्र के रूप में माना जाता है। एल्गोरिथ्म इन जनरेटर में कुछ शब्द बाहर थूक देगा। समूह इन जनरेटर और कई संबंधों के साथ समूह है$S_i^4=1$ तथा $X_i Y_j = Y_j X_i$ कब $i \neq j$कई अन्य संबंधों के बीच। तो यह कुछ सूक्ष्मता से उत्पन्न समूह को परिभाषित करता है। क्योंकि हमारे पास प्रदान किए गए एल्गोरिदम से एक शब्द है, लेकिन इसे अनुकूलित नहीं किया गया है, इस समूह के लिए शब्द समस्या में एक सुविधाजनक सबसे छोटा संभव सामान्य रूप प्रदान करना है। इसलिए अगर शब्द दिया जाए$S_1 S_1 S_2 S_1 S_1$ कोई भी संबंध का उपयोग कर सकता है $S_1 S_2 = S_2 S_1$ दो बार और $S_1^4=1$ एक बार पाने के लिए संबंध $S_2$एक छोटे शब्द के रूप में जो एक ही समूह तत्व का प्रतिनिधित्व करता है। किसी दिए गए समूह प्रस्तुति के लिए, कोई एक एल्गोरिथम पसंद करेगा जो एक मनमाना शब्द लेता है और इसे कम करता है। सामान्य तौर पर यह संभव नहीं है।

नीचे के लिए अस्वीकरण: आगामी परियोजना / हास्केल कार्यान्वयन संयुक्त w / जॉन Aytac।

मुझे क्लिफर्ड + टी गेट सेट के लिए शब्द समस्या की सॉल्वेबिलिटी के बारे में पता नहीं है, लेकिन कोई केवल इनवोल्यूशन के साथ कुछ सरल कर सकता है (उन्हें कॉल करें $r_i$) उस सेट में और केवल फॉर्म के संबंध $(r_i r_j)^{m_{ij}}=1$। यह क्लोफ़र्ड + टी गेट सेट से संबंधित एक कॉक्सेटर समूह है, लेकिन एक कुशलतापूर्वक हल करने योग्य शब्द समस्या के साथ। तो कोई गाइल्स-सेलिंगर अल्गोरिदम का परिणाम ले सकता है और संभावित रूप से केवल बहुत ही सरल संबंधों (केवल उन निमंत्रण पत्रों के साथ खंडों को देखने के बाद) का उपयोग करके इसे छोटा कर सकता है। वास्तव में कोई भी एल्गोरिथ्म जो किसी दिए गए एकात्मक को ले जाता है और इसे क्लिफोर्ड + टी में संश्लेषित करता है या इसे थोड़ा छोटा करने के लिए इस प्रक्रिया में शामिल किया जा सकता है।