क्वांटम गेट्स एकात्मक क्यों हैं और विशेष एकात्मक नहीं?

Question

यह देखते हुए कि राज्यों के वैश्विक चरणों को शारीरिक रूप से विचलित नहीं किया जा सकता है, ऐसा क्यों है कि क्वांटम सर्किट को इकाईयों के संदर्भ में चिह्नित किया गया है और विशेष इकाइयों को नहीं? मुझे एक जवाब मिला कि यह सिर्फ सुविधा के लिए है लेकिन मैं अभी भी अनिश्चित हूं।

एक संबंधित प्रश्न यह है: क्या कुछ एकात्मक (गणितीय मैट्रिक्स) और के भौतिक कार्यान्वयन में कोई अंतर है , कुछ प्राथमिक द्वार के संदर्भ में कहें? मान लीजिए कि वहाँ नहीं है (जो मेरी समझ है)। फिर का भौतिक कार्यान्वयन और समान होना चाहिए (केवल प्राथमिक द्वारों पर नियंत्रण जोड़ें)। लेकिन फिर मैं इस विरोधाभास में आ गया कि और इन दो इकाइयों का चरण (गणितीय गणितीय के रूप में) के बराबर नहीं हो सकता है, इसलिए यह प्रशंसनीय लगता है कि वे अलग-अलग शारीरिक परीक्षाओं के अनुरूप हैं ।वी : = ई आई α यू सी - यू सी - वी सी - यू सी - $U$$V: =e^{i\alpha}U$$c\text{-}U$$c\text{-}V$$c\text{-}U$$c\text{-}V$

मैंने अपने तर्क में यहां क्या गलत किया है, क्योंकि अब यह पता चलता है कि और को अलग-अलग तरीके से लागू किया जाना चाहिए, भले ही वे चरण के बराबर हों?$U$$V$

एक अन्य संबंधित प्रश्न (वास्तव में मेरी उलझन की उत्पत्ति, मैं इस एक के जवाब के लिए अतिरिक्त आभारी रहूंगा): ऐसा लगता है कि कोई एक क्वांटम सर्किट का उपयोग कर सकता है, जो जटिल अतिव्यापी के मापांक और चरण दोनों का अनुमान लगा सकता है। (देखें https://arxiv.org/abs/quant-ph/0203016 )। लेकिन क्या इसका मतलब यह नहीं है कि और औसत रूप से अलग हैं?$\langle\psi|U|\psi\rangle$ई आई α$U$$e^{i\alpha}U$

Comments

इसके बजाय प्रोजेक्टिव एकात्मक समूह को कहना दार्शनिक रूप से अधिक सटीक है । ऐसा इसलिए है क्योंकि ऑपरेशन एक मनमाना एकात्मक मैट्रिक्स लेना है और चरण बनाम सबसेट को खोना है जिसके लिए वह चरण । नक्शे जाते हैं ताकि वे तीर के विपरीत दिशा में हों। 1 S U → U → P $PU$$1$$SU \to U \to PU$

— हुसैन

@ कहे "नक्शे" कौन से हैं? बाहर उद्धृत करने के संदर्भ में, यह । $U\to SU\to PU$

— नोर्बर्ट शुच

नंबर SU निर्धारक 1 के साथ सबसेट है, इसलिए इसमें U. PU का नक्शा शामिल है जो कि भागफल है। आप एक एकात्मक ले सकते हैं और निर्धारक 1 के साथ एसयू में एक प्रतिनिधि दे सकते हैं, लेकिन यह स्वचालित नहीं है।

— हसैन

Answer 1

यहां तक ​​कि अगर आप केवल खुद को विशेष-एकात्मक संचालन तक सीमित करते हैं, तो भी राज्य वैश्विक चरण में जमा होंगे। उदाहरण के लिए, विशेष एकात्मक लेकिन है ।$Z = \begin{bmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{bmatrix}$$Z \cdot |0\rangle = i |0\rangle \neq |0\rangle$

राज्यों सर्वनाश वैश्विक चरण जमा करने के लिए जा रहे हैं वैसे भी , क्या लाभ हम अपने आप को विशेष एकात्मक संचालन करने के लिए सीमित से बाहर मिलता है?

एकात्मक (गणितीय मैट्रिक्स) और के भौतिक कार्यान्वयन में कोई अंतर है , कुछ प्राथमिक द्वार के संदर्भ में कहें?$U$$V :=e^{i\alpha}U$

जब तक आप ऐसा कुछ भी नहीं कर रहे हैं जो वैश्विक चरणों को प्रासंगिक बना सकता है, उनका कार्यान्वयन समान हो सकता है। लेकिन अगर आप कुछ करने जा रहे हैं, तो उह-

प्राथमिक द्वारों पर नियंत्रण जोड़ें

हाँ, ऐसे ही। यदि आप ऐसा सामान करते हैं, तो आप वैश्विक चरणों की अनदेखी नहीं कर सकते। नियंत्रण वैश्विक चरणों को सापेक्ष चरणों में बदलते हैं। यदि आप वैश्विक चरण को पूरी तरह से अनदेखा करना चाहते हैं, तो आपके पास एक ब्लैक बॉक्स "नियंत्रण जोड़ें" ऑपरेशन संशोधक नहीं हो सकता है।

Comments

धन्यवाद, लेकिन एक "नियंत्रण जोड़ें" संशोधक एक सार्वभौमिक गेट सेट में फाटकों के लिए मौजूद नहीं है और आप नियंत्रण जोड़ने के लिए पहले इन फाटकों में और वी को विघटित कर सकते हैं, जैसे सी- एक्स सीएनओटी गेट है। $U$$V$$X$

— dcw

@ डाओचेन हाँ, आप ऐसा कर सकते हैं, लेकिन यह उप-संचालन के वैश्विक चरण की अनदेखी करते हुए नियंत्रण जोड़ने का एक उदाहरण नहीं है। आपको उप-ऑपरेशन के वैश्विक चरण पर स्पष्ट रूप से निर्णय लेना होगा जब यह तय करना कि समग्र नियंत्रित ऑपरेशन क्या करना चाहिए और इसे कैसे विघटित करना चाहिए।

— क्रेग गिदनी

Answer 2

तथ्य यह है कि क्वांटम द्वार एकात्मक हैं, इस तथ्य में निहित है कि श्रोडीनर समीकरण द्वारा (बंद) क्वांटम सिस्टम का विकास है। एक समय अंतराल के लिए जिसमें हम एक स्थिर दर पर एक विशेष एकात्मक परिवर्तन का एहसास करने की कोशिश कर रहे हैं, हम समय-स्वतंत्र श्रोडिंगर समीकरण का उपयोग करते हैं:

$$\tfrac{\mathrm d}{\mathrm dt} \lvert \psi(t) \rangle = \tfrac {1}{i\hbar}H \lvert \psi(t) \rangle,$$

जहां सिस्टम का हैमिल्टन है: एक हर्मिटियन मैट्रिक्स, जिसके आइजनवेल्यूज ऊर्जा eigenvalues ​​का वर्णन करते हैं। विशेष रूप से, एच के स्वदेशी असली हैं। इस समीकरण का हल है$H$$H$

$$\lvert \psi(t) \rangle = \exp\bigl(-i H t/\hbar\bigr) \lvert \psi(0) \rangle$$ $U = \exp(-iHt/\hbar)$$H$$E$$\mathrm{e}^{iEt/\hbar}$। इस प्रकार, वास्तविक eigenvalues ​​वाले मैट्रिक्स से, हमें एक मैट्रिक्स मिलता है जिसका eigenvalues ​​इकाई मान के साथ जटिल संख्याएं हैं।

$1$$1$$H$$H$इसके ईजेंवल्यूल्स का योग शून्य के बराबर है यह इस बात पर निर्भर करता है कि आपने अपने शून्य ऊर्जा बिंदु को ठीक करने का निर्णय कैसे लिया है - जो संदर्भ फ्रेम के एक व्यक्तिपरक विकल्प के रूप में है। (विशेष रूप से, यदि आप इस कन्वेंशन को अपनाने का निर्णय लेते हैं कि आपके सभी ऊर्जा स्तर गैर-नकारात्मक हैं, तो इसका मतलब यह है कि किसी भी दिलचस्प प्रणाली में कभी भी ऊर्जा के गुण नहीं होंगे, जो शून्य में योग करते हैं।)

संक्षेप में, फाटक विशेष एकात्मक के बजाय एकात्मक हैं, क्योंकि एक गेट का निर्धारक भौतिक रूप से सार्थक गुणों के अनुरूप नहीं है - स्पष्ट अर्थों में कि गेट भौतिकी से उत्पन्न होता है, और गेट के निर्धारक के अनुरूप स्थितियां 1 होती हैं। अपने स्वयं के संदर्भ फ्रेम की एक शर्त है न कि भौतिक गतिकी।

Answer 3

जब फाटक लेखन, के लिए उदाहरण के लिए, एक लंबी सर्किट आरेख, आप सकता है हमेशा उन्हें निर्धारक एक (विशेष एकात्मक समूह से) होने के परंपरा का उपयोग करके लिख सकते हैं, लेकिन यह सिर्फ एक सम्मेलन है। यह आपके द्वारा कार्यान्वित सर्किट में कोई भौतिक अंतर नहीं डालता है। जैसा कि कहीं और कहा गया है , चाहे आप स्वाभाविक रूप से जो विशेष रूप से एकात्मक से सीधे जुड़ते हैं, वह वास्तव में सम्मेलन का एक विकल्प है, और जहां आप अपनी 0 ऊर्जा को परिभाषित करते हैं।

$U$$V=e^{i\alpha}$$V$$U$$U$$\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & e^{i\alpha} \end{array}\right)$$U$$\left(\begin{array}{cc} e^{-i\alpha/2} & 0 \\ 0 & e^{i\alpha/2}\end{array}\right)$

Answer 4

$|\psi(t)\rangle = e^{-iHt}|\psi(0)\rangle$$H$