क्वांटम टेलीपोर्टेशन के भीतर शास्त्रीय बिट्स की एक आंशिक संख्या का उपयोग करना

Question

हाल ही में, मैंने सुना है कि क्वांटम टेलीपोर्टेशन के माध्यम से तर्कसंगत शास्त्रीय बिट्स (उदाहरण के लिए 1.5 सेंटीमीटर) एक पार्टी से दूसरे में स्थानांतरित किया जा सकता है। में स्टैंडर्ड Teleportation प्रोटोकॉल , 2 शास्त्रीय बिट और 1 अधिकतम उलझ साझा संसाधन राज्य अज्ञात स्थिति का सही टेलीपोर्टेशन लिए आवश्यक है। लेकिन मुझे यह समझ में नहीं आता है कि $1.x$ बिट्स को शास्त्रीय चैनल में कैसे भेजा जा सकता है।

1. क्या यह संभव है? यदि हाँ, तो क्या आप एक संक्षिप्त विवरण दे सकते हैं?

2. यह मददगार होगा यदि आप मुझे कुछ कागजात की ओर इशारा कर सकते हैं जिसमें भिन्नात्मक बिट्स (और संभवतः अतिरिक्त क्वांटम संसाधनों) का उपयोग करके सही टेलीपोर्टेशन संभव है।

कुछ लोग सोच रहे होंगे कि यह क्वांटम कंप्यूटिंग के लिए कैसे प्रासंगिक हो सकता है। डी। गोट्समैन और आईएल चुआंग ने सुझाव दिया कि क्वांटम टेलीपोर्टेशन क्वांटम कम्प्यूटेशन में एक आदिम सबरूटीन के रूप में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाएगा। जी। ब्रैसर्ड, एसएल ब्रुनस्टीन और आर। क्लेव ने दिखाया कि क्वांटम टेलीपोर्टेशन को क्वांटम कम्प्यूटेशन के रूप में समझा जा सकता है।

Comments

@ एमईई सूचना हस्तांतरण और टेलीपोर्टेशन प्रोटोकॉल क्वांटम सूचना सिद्धांत के भाग हैं, जो पूरी तरह से विषय पर है। हालांकि मैं इस बात से सहमत हूं कि सवाल को थोड़ा बेहतर किया जा सकता है।

— संचेतन दत्ता

@MEE ज़रूर, मैं अधिक वर्णनात्मक होने की कोशिश करूँगा (और संसाधन अनुरोध नीति के माध्यम से जाना)। लेकिन, मेरा मानना ​​है कि क्वांटम जानकारी इस चैनल का एक अभिन्न हिस्सा होना चाहिए। यदि नहीं, तो मैं ईमानदारी से माफी माँगता हूँ!

— विजथ अराध्य

@VijethAradhya यह शामिल करने के लिए उपयोगी हो सकता है कि आपने वास्तव में वक्तव्य कहाँ सुना है।

— संचेतन दत्ता

@MEE 'अतिरिक्त संसाधनों' से, मेरा मतलब एलिस और बॉब के बीच अतिरिक्त क्वांटम संसाधन से है! गलतफहमी के लिए खेद है।

— विजथ अराध्या

@ लेकिन मैंने इसे पास के कुछ विश्वविद्यालय में अपनी यात्रा के दौरान सुना जहां कुछ छात्र टेलीपोर्टेशन के बारे में चर्चा कर रहे थे। मैं क्यूआई / क्यूसी में अनुसंधान कर रहा हूं, लेकिन मैं इससे अनजान था। वैसे भी, मुझे उनसे पूछने का समय नहीं मिला! इसलिए, मैंने पूछा, "क्या यह भी संभव है?"

— विजथ अराध्या

Answer 1

मुझे यकीन है कि के लिए पता नहीं कैसे आप एक टेलीपोर्टेशन के लिए शास्त्रीय संचार के दो से कम बिट्स को प्राप्त होता है, लेकिन यहां एक तरह से आप एक गैर पूर्णांक संख्या हो सकता है है: यदि आप टेलीपोर्ट एक qudit साथ आयाम की एक शक्ति नहीं है दो। प्रत्येक टेलीपोर्टेशन प्रोटोकॉल के लिए, आपको दो सूचनाएँ भेजनी होंगी , जिन्हें आप port 2 लॉग 2 ( d ) बिट्स का उपयोग करके बिट्स में दर्शा सकते हैं । यदि आप प्रोटोकॉल को कई बार दोहराते हैं, तो आप उन शास्त्रीय संदेशों को जोड़ सकते हैं जो आप भेज रहे हैं और इसे औसतन प्रति टेलीपोर्टेशन प्रोटोकॉल में 2 लॉग 2 ( डी ) में घटा सकते हैं ।$d$$\lceil 2\log_2(d)\rceil$$2\log_2(d)$

शास्त्रीय संचार के दो से कम बिट्स की ओर एक संभावित मार्ग (यदि आप इसके बाद हैं) अपूर्ण टेलीपोर्टेशन और गैर-सार्वभौमिक टेलीपोर्टेशन के संयोजन का उपयोग करना है (जहां हमें कुछ पूर्व ज्ञान है कि राज्य को टेलीपोर्ट किया जा सकता है) । यदि आपकी संसाधन स्थिति , तो टेलीपोर्टेशन प्रोटोकॉल में प्रत्येक माप के परिणाम प्राप्त होने की संभाव्यता के मूल्य पर निर्भर करता हैα: एक राज्य teleporting(क्योंकि$\alpha|00\rangle+\sqrt{1-\alpha^2}|11\rangle$$\alpha$चार अलग-अलग बेल मापों की जांच करता है, | बीएक्सy⟩=$(\cos\frac{\theta}{2}|0\rangle+\sin\frac{\theta}{2}e^{i\phi}|1\rangle)$ के रूप में पीएक्सy=

$$|B_{xy}\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0x\rangle+(-1)^y|1\bar x\rangle\right)$$ जहांएक्सऔरवाईएकल बिट कर रहे हैं। अज्ञात क्वांटम राज्य के लिए इनपुट वितरण का उपयोग करना, हम के औसत मूल्य की गणना कर सकतेपापθ। $$p_{xy}=\frac{1}{4}(1+(-1)^x(2\alpha^2-1)\cos\theta),$$ $x$$y$$\sin\theta$

सार्वभौमिक टेलीपोर्टेशन (जहां इनपुट राज्य किसी भी राज्य हो सकता है) के लिए, एक है । इस मामले में, संभावनाएं सभी समान हैं, और हम जो सबसे अच्छा कर सकते हैं, वह माप परिणाम को दो बिट्स, x y के रूप में भेजने के लिए है ।$\int_0^{\pi}\cos\theta\sin\theta d\theta=0$$xy$

अब मामले की कल्पना जहां । फिर, संभावनाएं हैं($(2\alpha^2-1)\langle\cos\theta\rangle=\frac12$। उदाहरण के लिए, हफ़मैन एन्कोडिंग का उपयोग करके इस जानकारी को संपीड़ित किया जा सकता है:{00,01,10,11}↦{0,10,110,111}। यह एक अपेक्षित संदेश लंबाई$(\frac38,\frac38,\frac18,\frac18)$$\{00,01,10,11\}\mapsto\{0,10,110,111\}$ । इस प्रकार, यदि आप इस प्रोटोकॉल को कई बार दोहराते हैं, तो औसतन आप प्रति टेलीपोर्टेशन में 1.875 बिट्स भेजते हैं। यह, ज़ाहिर है, सिर्फ एक उदाहरण है। कोई भी मान(2α2-1)⟨क्योंकिθ⟩>$\frac{15}{8}$ संपीड़न देता है।$(2\alpha^2-1)\langle\cos\theta\rangle>\frac13$

व्यापार बंद है कि जब तक (जहां आपको कोई कंप्रेशन नहीं मिलता है), टेलीपोर्टेशन अपूर्ण है।$|\alpha|^2=|\beta|^2=\frac12$

Comments

उत्तर @DaftWullie के लिए बहुत बहुत धन्यवाद, लेकिन मैं एक संपूर्ण टेलीपोर्टेशन प्रोटोकॉल (एक सामान्य मामले में) की तलाश में था।

— विजथ अराध्या

Answer 2

मुझे हाल ही में सुभाष काक द्वारा एक पेपर मिला जिसमें टेलीपोर्टेशन प्रोटोकॉल का परिचय दिया गया है जिसमें कम शास्त्रीय संचार लागत (अधिक क्वांटम संसाधन के साथ) की आवश्यकता होती है। मैंने सोचा कि एक अलग उत्तर लिखना बेहतर होगा।

काक तीन प्रोटोकॉल पर चर्चा करता है; उनमें से दो का उपयोग करते हैं 1 cbit और अंतिम एक को 1.5 cbits की आवश्यकता होती है। लेकिन पहले दो प्रोटोकॉल एक अलग सेटिंग में हैं, यानी उलझे हुए कण शुरुआत में ऐलिस की प्रयोगशाला में हैं (और कुछ स्थानीय ऑपरेशन किए जाते हैं), फिर एक उलझा हुआ कण बॉब की प्रयोगशाला में स्थानांतरित हो जाता है; यह मानक सेटिंग के विपरीत है जहां प्रोटोकॉल शुरू होने से पहले उलझे हुए कण ऐलिस और बॉब के बीच पूर्व साझा किए जाते हैं। इच्छुक लोग उन प्रोटोकॉल के माध्यम से जा सकते हैं जो केवल 1 cbit का उपयोग करते हैं। मैं अंतिम प्रोटोकॉल को समझाने की कोशिश करूंगा जो केवल 1.5 cbits (आंशिक अंश) का उपयोग करता है ।

और यू नाम के चार कण हैं । एक्स एक unkown कण (या राज्य) है जिसे एलिस की लैब से बॉब की लैब में टेलीपोर्ट किया जाना है। एक्स , वाई और जेड ऐलिस के साथ हैं, और यू बॉब के साथ हैं। आइए एक्स के रूप में प्रतिनिधित्व किया जा अल्फा | 0 ⟩ + बीटा | 1 that , ऐसा | α | 2 + | β | 2 = 1 । तीन कण Y $X, Y, Z$$U$$X$$X, Y$$Z$$U$$X$$\alpha|0\rangle + \beta|1\rangle$$|\alpha|^2+|\beta|^2=1$ और U शुद्ध उलझी अवस्था में हैं | 000 ⟩ + | 111 the (अभी के लिए सामान्यीकरण स्थिरांक छोड़कर)।$Y, Z$$U$$|000\rangle+|111\rangle$

तो, पूरे सिस्टम की प्रारंभिक स्थिति है:

$$\alpha|0000\rangle + \beta|1000\rangle + \alpha|0111\rangle + \beta|1111\rangle$$

चरण 1 : और Z (i) XOR पर X और Y (ii) XOR के राज्य Y और Z के राज्य में जंजीर XOR परिवर्तन लागू करें ।$X, Y$$Z$$X$$Y$$Y$$Z$

: एकात्मक द्वारा दिया जाता है एक्स ओ आर = [ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 ]$XOR$

$$XOR = \left[{\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}}\right].$$

दूसरे शब्दों में, राज्य परिवर्तन निम्नलिखित हैं:

$$|00\rangle \rightarrow |00\rangle \\ |01\rangle \rightarrow |01\rangle \\ |10\rangle \rightarrow |11\rangle \\ |11\rangle \rightarrow |10\rangle \\ $$

$$\alpha|0000\rangle + \beta|1110\rangle + \alpha|0101\rangle + \beta|1011\rangle$$

$X$

$$\alpha(|0000\rangle + |1000\rangle) + \beta(|0110\rangle - |1110\rangle) + \alpha(|0101\rangle + |1101\rangle) + \beta(|0011\rangle - |1011\rangle)$$

$X$$Y$

$$|00\rangle(\alpha|00\rangle + \beta|11\rangle) + |01\rangle(\alpha|01\rangle + \beta|10\rangle) + |10\rangle(\alpha|00\rangle - \beta|11\rangle) + |11\rangle(\alpha|01\rangle - \beta|10\rangle).$$

$Z$$U$

$|00\rangle$

$|10\rangle$$\left[{\begin{array}{cc}1 & 0 \\0 & -1 \end{array}}\right]$

$|01\rangle$$\left[{\begin{array}{cc}0 & 1 \\1 & 0 \end{array}}\right]$

$|11\rangle$$\left[{\begin{array}{cc}1 & 0 \\0 & -1 \end{array}}\right]$$\left[{\begin{array}{cc}0 & 1 \\1 & 0 \end{array}}\right]$

$\left[{\begin{array}{cc}1 & 0 \\0 & 1 \end{array}}\right]$$\left[{\begin{array}{cc}1 & 0 \\0 & -1 \end{array}}\right]$$\left[{\begin{array}{cc}0 & 1 \\1 & 0 \end{array}}\right]$$\left[{\begin{array}{cc}0 & 1 \\-1 & 0 \end{array}}\right]$$Z$$U$$\alpha|00\rangle + \beta|11\rangle$$|01\rangle$$|11\rangle$$Z$$U$$\alpha|00\rangle + \beta|11\rangle$

$Z$

$Z$$U$$\alpha|00\rangle + \beta|11\rangle$$Z$$U$

$$\alpha|00\rangle + \alpha|10\rangle + \beta|01\rangle - \beta|11\rangle \\ = |0\rangle(\alpha|0\rangle + \beta|1\rangle) + |1\rangle(\alpha|0\rangle - \beta|1\rangle).$$

$Z$

अपने माप के आधार पर, वह बॉब के लिए एक शास्त्रीय बिट की जानकारी प्रसारित करती है ताकि वह अनकाउंट स्टेट प्राप्त करने के लिए उपयुक्त एकात्मक का उपयोग कर सके!

$1.5$$|10\rangle$$|00\rangle$$\left[{\begin{array}{cc}0 & 1 \\1 & 0 \end{array}}\right]$0.5 सेंट की (क्योंकि समय का 50%, बॉब को एकात्मक लागू करने की आवश्यकता नहीं है)। इसलिए, पूरे प्रोटोकॉल के लिए केवल 1.5 सेंट की आवश्यकता होती है ।

$t_1$$t_2$, एक cbit भेजें)। तो, ऐलिस को हर उस समय, ठीक से भेजना होगा? उस स्थिति में, प्रोटॉक को 2 cbits (चरण 4 में एक और चरण 6 में एक) की आवश्यकता होती है। मुझे लगा कि इस विशेष भाग पर चर्चा होगी तो अच्छा होगा।

Comments

मैं सहमत हूँ; मुझे लगता है कि संचार के 2 बिट कहते हैं। बेशक, हो सकता है कि आप के बारे में एक चर्चा सुन लिया गया है!

— दफ्तुल्ली

मैं इस बात से भी सहमत हूं कि उस पेपर के अन्य प्रोटोकॉल में छूट दी जा सकती है। प्रोटोकॉल को इस तरह से पुनर्व्यवस्थित किया जाता है कि मुझे समझ में नहीं आता है कि राज्य को सिर्फ ऐलिस से बॉब को सीधे क्यों नहीं भेजा जाता है, किसी भी शास्त्रीय संचार की आवश्यकता से बिल्कुल भी परहेज नहीं है!

— DaftWullie