क्वांटम सर्किट के रूप में असतत फूरियर ट्रांसफॉर्म को कुशलता से क्यों लागू किया जा सकता है?

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यह एक अच्छी तरह से ज्ञात परिणाम है कि संख्याओं के असतत फूरियर ट्रांसफॉर्म (DFT) में सबसे अच्छी ज्ञात एल्गोरिथ्म के साथ जटिलता है , जबकि एक क्वांटम राज्य के एम्पलीट्यूड के फूरियर रूपांतरण का प्रदर्शन करते हुए, साथ शास्त्रीय QFT एल्गोरिथ्म , केवल आवश्यकता है प्राथमिक द्वार। $N=2^n$ $\mathcal O(n2^n)$ $\mathcal O(n^2)$

क्या ऐसा होने का कोई ज्ञात कारण है? इससे मेरा मतलब है कि क्या डीएफटी की ज्ञात विशेषताएं हैं जो इसे एक कुशल "क्वांटम संस्करण" को लागू करना संभव बनाती हैं।

दरअसल, -डायमेंशनल वैक्टर पर एक डीएफटी को रैखिक ऑपरेशन के रूप में सोचा जा सकता है $N$

\vec{y} = DFT \vec{x}, {DFT}_{j k} \equiv \frac{1}{\sqrt{N}} \exp (\frac{2 π i}{N} j k) .

$\vec y=\operatorname{DFT} \vec x, \qquad \text{DFT}_{jk}\equiv \frac{1}{\sqrt N}\exp\left(\frac{2\pi i}{N}jk\right).$

इस समस्या का "क्वांटम संस्करण" एक कार्य है, जिसे एक क्वांटम राज्य दिया गया है , आउटपुट स्थिति प्राप्त कर रहा है जैसे कि $|\boldsymbol x\rangle\equiv\sum_{k=1}^N x_k|k\rangle$ $|\boldsymbol y\rangle\equiv\sum_{k=1}^N y_k |k\rangle$

| y ⟩ = DFT | x ⟩ = QFT | x ⟩ .

$|\boldsymbol y\rangle=\operatorname{DFT}|\boldsymbol x\rangle=\operatorname{QFT}|\boldsymbol x\rangle.$

एक पहला सरलीकरण इस तथ्य से आता है कि, क्यूएम की रैखिकता के कारण, हम आधार राज्यों पर ध्यान केंद्रित कर सकते हैं $|j\rangle, \,\,j=1,...,N$ , सामान्य वैक्टर के विकास के साथ $|\boldsymbol x\rangle$ तो मुफ्त में आ रहा है।
यदि $N=2^n$ , कोई व्यक्त कर सकता है $|j\rangle$ बेस दो में, होने $|j\rangle=|j_1,...,j_n\rangle$ ।
मानक QFT एल्गोरिथ्म में एक तब इस तथ्य का फायदा उठाता है कि परिवर्तन के रूप में लिखा जा सकता है $| j_{1}, . . ., j_{n} ⟩ \to 2^{- n / 2} ⨂_{l = 1}^{n} [| 0 ⟩ + \exp (2 π i (0. j_{n - l + 1} \dots j_{n})) | 1 ⟩],$ $|j_1,...,j_n\rangle\to2^{-n/2}\bigotimes_{l=1}^n\big[|0\rangle+\exp(2\pi i (0.j_{n-l+1}\cdots j_{n}))|1\rangle\big],$ जो तब फार्म की एक लंबी सर्किट के रूप में लागू किया जा सकता $QFT | {जे}_{1}, । । ।, {जे}_{n} ⟩ = (Π_{क = 1}^{n} {यू}_{क}) | {जे}_{1}, । । ।, {जे}_{n} ⟩,$ $\operatorname{QFT}|j_1,...,j_n\rangle=\Big(\prod_{k=1}^n \mathcal U_k\Big)|j_1,...,j_n\rangle,$ जहां $\mathcal U_k$ लागू किया गया है $\mathcal O(n)$ प्राथमिक द्वार।

मान लीजिए कि हमें अब कुछ एकात्मक परिवर्तन है है, और हम एक सर्किट कुशलता से बराबर मात्रा परिवर्तन को लागू करने लगाना चाहते हैं ऊपर बताए गए पहले दो ट्रिक हमेशा लागू किए जा सकते हैं, लेकिन यह तब है जब हम QFT के लिए दक्षता परिणाम प्राप्त करने के लिए दूसरे बिंदु का उपयोग कैसे और कैसे कर सकते हैं। $A$

| y ⟩ = A | x ⟩ .

$|\boldsymbol y\rangle=A|\boldsymbol x\rangle.$

क्या यह सच होने के लिए ज्ञात मानदंड हैं? या दूसरे शब्दों में, क्या यह सटीक रूप से पिन करना संभव है कि डीएफटी की क्या विशेषताएं हैं जो संबद्ध क्वांटम परिवर्तन को कुशलतापूर्वक लागू करना संभव बनाती हैं?

algorithm speedup quantum-fourier-transform

— GLS
स्रोत

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QFT की संख्या के साथ पुनरावर्ती संरचना उस दक्षता में योगदान देती है।

— हुसैन

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शास्त्रीय असतत फूरियर रूपांतरण का परिचय:

DFT जटिल संख्याओं के अनुक्रम को रूपांतरित करता है जटिल संख्याओं का एक और दृश्य में द्वारा परिभाषित किया गया है जो $N$ $\{\mathbf{x}_n\}:=x_0,x_1,x_2,...,x_{N-1}$ $\{\mathbf{X}_k\}:=X_0,X_1,X_2,...$ हम आवश्यक रूप से उपयुक्त सामान्यीकरण स्थिरांक से गुणा कर सकते हैं। इसके अलावा, चाहे हम सूत्र में प्लस या माइनस साइन लें या नहीं, यह हमारे द्वारा चुने गए कन्वेंशन पर निर्भर करता है।

X_{k} = \sum_{n = 0}^{N - 1} x_{n} . e^{\pm \frac{2 π i k n}{N}}

$X_k=\sum_{n=0}^{N-1}x_n.e^{\pm\frac{2\pi i k n}{N}}$

मान लीजिए, यह दिया गया है कि और । $N=4$ $\mathbf{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2-i \\ -i \\ -1+2i \end{pmatrix}$

हमें कॉलम वेक्टर खोजने की आवश्यकता है । सामान्य विधि पहले से ही विकिपीडिया पृष्ठ पर दिखाई जाती है । लेकिन हम उसी के लिए एक मैट्रिक्स नोटेशन विकसित करेंगे। को मैट्रिक्स द्वारा पूर्व गुणा द्वारा आसानी से प्राप्त किया जा सकता है : $\mathbf{X}$ $\mathbf{X}$ $\mathbf{x}$

M = \frac{1}{\sqrt{N}} (\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & w & w^{2} & w^{3} \\ 1 & w^{2} & w^{4} & w^{6} \\ 1 & w^{3} & w^{6} & w^{9} \end{matrix})

$M=\frac{1}{\sqrt{N}}\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & w & w^{ 2 } & w^{ 3 } \\ 1 & w^ 2 & w^4 & w^6 \\ 1 & w^3 & w^6 & w^9 \end{pmatrix}$

जहां है $w$ । मैट्रिक्स का प्रत्येक तत्व मूल रूप से। $e^{\frac{-2\pi i}{N}}$ $w^{ij}$ बस एक सामान्यीकरण स्थिरांक है। $\frac{1}{\sqrt{N}}$

अंत में, निकला: $\mathbf{X}$ । $\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 2 \\ -2-2i \\ -2i \\ 4+4i \end{pmatrix}$

अब, थोड़ी देर के लिए वापस बैठें और कुछ महत्वपूर्ण गुणों पर ध्यान दें:

मैट्रिक्स सभी स्तंभ एक दूसरे के लिए ऑर्थोगोनल हैं। $M$
सभी कॉलम में परिमाण है । $M$ $1$
यदि आप बहुत से शून्य (बड़े प्रसार) वाले स्तंभ वेक्टर के साथ को गुणा करते हैं, तो आप केवल कुछ शून्य (संकीर्ण प्रसार) वाले स्तंभ वेक्टर के साथ समाप्त होंगे। आक्षेप भी सही है। (चेक!) $M$

यह बहुत आसानी से देखा जा सकता है कि शास्त्रीय डीएफटी में एक समय जटिलता । ऐसा इसलिए है क्योंकि की प्रत्येक पंक्ति को प्राप्त करने के लिए , संचालन करने की आवश्यकता है। और में रो हैं । $\mathcal O(N^2)$ $\mathbf{X}$ $N$ $N$ $\mathbf{X}$

फास्ट फूरियर रूपांतरण:

अब, फास्ट फूरियर ट्रांसफॉर्म पर नजर डालते हैं। तेजी से फूरियर रूपांतरण गणना समय को कम करने के लिए फूरियर रूपांतरण की समरूपता का उपयोग करता है। सीधे शब्दों में, हम आकार के दो फूरियर रूपांतरण के रूप में आकार के फूरियर रूपांतरण को फिर से लिखते हैं - विषम और समान शब्द। फिर हम समय-समय पर तेजी से कम करने के लिए इसे बार-बार दोहराते हैं। यह देखने के लिए कि यह कैसे काम करता है, हम फूरियर रूपांतरण के मैट्रिक्स की ओर मुड़ते हैं। जब हम इससे , तो नज़र के लिए आपके सामने होना मददगार हो सकता है । ध्यान दें कि एक्स्पोनेंट्स सापेक्ष लिखा गया है , के बाद से । $N$ $N/2$ $\text{DFT}_8$ $8$ $w^8 = 1$

ध्यान दें कि पंक्ति कैसे पंक्ति समान है । यह भी ध्यान दें कि कॉलम कैसे कॉलम समान है । इससे प्रेरित होकर, हम फूरियर को उसके सम और विषम कॉलम में विभाजित करने जा रहे हैं। $j$ $j + 4$ $j$ $j + 4$

पहले फ्रेम में, हमने th row और th कॉलम: का वर्णन करके पूरे फूरियर ट्रांसफॉर्म मैट्रिक्स का प्रतिनिधित्व किया है । अगले फ्रेम में, हम विषम और यहां तक कि कॉलम को अलग करते हैं, और उसी तरह वेक्टर को अलग करते हैं जिसे बदलना है। आपको खुद को यह समझाना चाहिए कि पहली समानता वास्तव में एक समानता है। तीसरे फ्रेम में, हम उस ( ) को देखते हुए थोड़ा समरूपता जोड़ते हैं । $j$ $k$ $w^{jk}$ $w^{j+N/2} = −w^j$ $w^{n/2} = −1$

ध्यान दें कि दोनों विषम पक्ष और समकोण पक्ष में शब्द है । लेकिन यदि एकता की आदिम मूल जड़ है, तो एकता की आदिम nd जड़ है। इसलिए, matrices जिसका , th प्रविष्टि , वास्तव में सिर्फ ! अब हम को एक नए तरीके से लिख सकते हैं : अब मान लें कि हम फ़ंक्शन के फूरियर रूपांतरण की गणना कर रहे हैं $w^{2jk}$ $w$ $w^2$ $N/2$ $j$ $k$ $w^{2jk}$ $\text{DFT}_{(N/2)}$ $\text{DFT}_N$ $f(x)$ । हम एक समीकरण है कि JTH अवधि की गणना करता है, जैसा कि ऊपर जोड़तोड़ लिख सकते हैं । $\hat{f}(j)$

नोट: छवि में QFT इस संदर्भ में केवल DFT के लिए है। इसके अलावा, एम उस चीज को संदर्भित करता है जिसे हम एन कह रहे हैं।

यह की हमारी गणना को दो अनुप्रयोगों में बदल देता है । हम इसे चार अनुप्रयोगों में बदल सकते हैं , और इसके बाद। लंबे समय के रूप के रूप में कुछ के लिए , हम के बारे में हमारी गणना करना बंद कर सकता में की गणना । यह हमारी गणना को सरल करता है। $\text{DFT}_N$ $\text{DFT}_{(N/2)}$ $\text{DFT}_{(N/4)}$ $N = 2n$ $n$ $\text{DFT}_N$ $N$ $\text{DFT}_1 = 1$

फास्ट फूरियर के मामले में समय जटिलता को कम कर देती है इसे स्वयं साबित करने का प्रयास करें)। यह शास्त्रीय डीएफटी पर बहुत बड़ा सुधार है और आपके आईपॉड जैसे आधुनिक दिन के संगीत प्रणालियों में उपयोग किए जाने वाले अत्याधुनिक एल्गोरिदम के लिए बहुत अधिक है! $\mathcal{O}(N\log(N))$

क्वांटम फूरियर रूपांतरण के साथ क्वांटम गेट्स:

एफएफटी की ताकत यह है कि हम अपने लाभ के लिए असतत फूरियर रूपांतरण की समरूपता का उपयोग करने में सक्षम हैं। QFT का सर्किट अनुप्रयोग समान सिद्धांत का उपयोग करता है, लेकिन सुपरपोज़िशन की शक्ति के कारण QFT और भी तेज़ है।

क्यूएफटी एफएफटी से प्रेरित है इसलिए हम समान चरणों का पालन करेंगे, लेकिन क्योंकि यह एक क्वांटम एल्गोरिथ्म है इसलिए चरणों का कार्यान्वयन अलग होगा। यही है, हम पहले विषम और यहां तक कि भागों के फूरियर रूपांतरण को लेते हैं, फिर चरण द्वारा विषम शब्दों को गुणा करते हैं । $w^{j}$

एक क्वांटम एल्गोरिथ्म में, पहला कदम काफी सरल है। अजीब और यहां तक कि शब्द एक साथ सुपरपोजिशन में हैं: विषम शब्द वे हैं जिनका कम से कम महत्वपूर्ण बिट , और यहां तक कि साथ भी । इसलिए, हम को विषम और यहां तक कि दोनों शब्दों को एक साथ लागू कर सकते हैं। हम इसे लागू करते हैं हम केवल को सबसे महत्वपूर्ण बिट्स पर लागू करेंगे, और हैडमार्ड को कम से कम महत्वपूर्ण बिट पर लागू करके विषम और यहां तक कि पुन: संयोजन करेंगे। $1$ $0$ $\text{QFT}_{(N/2)}$ $\text{QFT}_{(N/2)}$ $n-1$

अब चरण गुणा को पूरा करने के लिए, हमें चरण द्वारा प्रत्येक विषम पद को गुणा करना होगा । लेकिन याद रखें, बाइनरी में एक विषम संख्या साथ समाप्त होती है जबकि एक साथ भी समाप्त होती है । इस प्रकार हम नियंत्रित चरण शिफ्ट का उपयोग कर सकते हैं, जहां कम से कम महत्वपूर्ण बिट नियंत्रण है, यहां तक कि चरण द्वारा केवल विषम शब्दों को गुणा करने के लिए, यहां तक कि कुछ शर्तों के बिना कुछ भी करने के लिए। याद रखें कि नियंत्रित चरण शिफ्ट CNOT गेट के समान है कि यह केवल लक्ष्य पर एक चरण लागू करता है यदि नियंत्रण बिट एक है। $j$ $w^{j}$ $1$ $0$

नोट: छवि में M से तात्पर्य है जिसे हम N कह रहे हैं।

प्रत्येक नियंत्रित चरण शिफ्ट के साथ जुड़ा हुआ चरण बराबर होना चाहिए जहाँ -th बिट से से जुड़ा होता है । इस प्रकार, नियंत्रण के रूप में कम से कम महत्वपूर्ण बिट के साथ, पहले qubits में से प्रत्येक के लिए नियंत्रित चरण बदलाव लागू करें । नियंत्रित चरण शिफ्ट और हैडमार्ड परिवर्तन के साथ, को में घटा दिया गया है । $w^{j}$ $j$ $k$ $j = 2k$ $n − 1$ $\text{QFT}_N$ $\text{QFT}_{(N/2)}$

नोट: छवि में, एम उस को संदर्भित करता है जिसे हम एन कह रहे हैं।

उदाहरण:

निर्माण करें । एल्गोरिथ्म का पालन करते हुए, हम को और कुछ क्वांटम गेट्स में बदल देंगे । फिर इस तरह से जारी रखते हुए हम को में बदल देते हैं (जो कि सिर्फ एक हैमर्ड द्वार है) और दूसरा कुछ द्वार। नियंत्रित चरण फाटकों को द्वारा दर्शाया जाएगा । फिर छुटकारा पाने के लिए एक और पुनरावृत्ति के माध्यम से चलाएं । अब आपको लिए सर्किट की कल्पना अधिक आसानी से करने में सक्षम होना चाहिए । इसके अलावा, आप देख सकते हैं कि को ले जाने के लिए आवश्यक गेटों की संख्या ठीक $\text{QFT}_3$ $\text{QFT}_3$ $\text{QFT}_2$ $\text{QFT}_2$ $\text{QFT}_1$ $R_\phi$ $\text{QFT}_2$ $\text{QFT}$ $\text{QFT}_N$

\sum_{i = 1}^{\log (N)} i = \log (N) (\log (N) + 1) / 2 = O (\log^{2} N)

$\sum_{i=1}^{\log(N)} i=\log(N)(\log(N)+1)/2 = \mathcal{O}(\log^2 N)$

सूत्रों का कहना है:

^{PS: यह उत्तर इसके प्रारंभिक संस्करण में है। जैसा कि @DaftWillie टिप्पणियों में उल्लेख करता है, यह " किसी भी अंतर्दृष्टि के बारे में बहुत कुछ नहीं बताता है जो अन्य संभावित एल्गोरिदम के संबंध में कुछ मार्गदर्शन दे सकता है "। मैं मूल प्रश्न के वैकल्पिक उत्तर को प्रोत्साहित करता हूं। मुझे व्यक्तिगत रूप से थोड़ा पढ़ने और संसाधन-खुदाई करने की आवश्यकता है ताकि मैं प्रश्न के उस पहलू का उत्तर दे सकूं।}

— संचेतन दत्ता
स्रोत

पुनरावर्ती संरचना के बारे में: एक परिभाषा के अनुसार कम या ज्यादा ले सकते हैं। यदि आप एक एल्गोरिथ्म के स्केलिंग के बारे में बात करना चाहते हैं, तो आपको विभिन्न आकार के इनपुट के लिए सर्किट के परिवार की आवश्यकता है। जिस तरह से यह आम तौर पर किया जाता है वह आकार के लिए सर्किट n + 1 के लिए सर्किट का निर्माण होता है आकार n के लिए। क्या मैं वास्तव में यहां नहीं देख रहा हूं कोई भी अंतर्दृष्टि है जो अन्य संभव एल्गोरिदम के संबंध में कुछ मार्गदर्शन दे सकती है (यह नहीं कि मैं दावा करें कि यह एक आसान काम है)

— DaftWullie

@DaftWullie "जो मैं वास्तव में यहां नहीं देख रहा हूं, वह कोई भी अंतर्दृष्टि है जो अन्य संभावित एल्गोरिदम के संबंध में कुछ मार्गदर्शन दे सकती है (यह नहीं कि मैं दावा करता हूं कि यह एक आसान काम है)" ठीक है, हाँ! मैं उसके बारे में भी सोचता रहा हूं। यह प्रारंभिक उत्तर का अधिक है। जब मुझे थोड़ा और सीखने को मिलेगा (और जब मुझे अधिक खाली समय मिलेगा)। मुझे इस प्रश्न के वैकल्पिक उत्तर देखकर बहुत खुशी होगी। :-)

— संचेतन दत्ता

सिर्फ इसलिए कि आपके पास समस्याओं का एक क्रम है, इसका मतलब यह नहीं है कि एक एल्गोरिथ्म अगले के लिए देता है (अकेले एक अच्छा है)। यह विशिष्ट है क्योंकि हम आम तौर पर अच्छे कार्यों के बारे में सोचते हैं। इतने सरल तरीके से पुनरावर्ती होना समस्याओं के अनुक्रम का एक गुण है। यहाँ मेरा मतलब है कि वहाँ एक कारक

। इस प्रश्न का उपयोग करने के लिए कि क्या एक अनुक्रम

में एक ही प्रभावकारिता गुण हैं।

U_{n} = U_{n - 1} x

$U_n=U_{n-1} x$

U_{∙}

$U_{\bullet}$

— हुसैन

नमस्ते, QFT में यह स्पष्ट रूप से माना जाता है कि एक, 8 x 1, इनपुट वेक्टर x_classical 3-qubits के साथ एन्कोडेड आयाम है? फिर क्यूएफटी ऑपरेशन एन्कोडेड क्वाइबेट्स पर किए जाते हैं? इसके अलावा, क्या आप "... पर विस्तार से बता सकते हैं और हडामर्ड को कम से कम महत्वपूर्ण बिट पर लागू करके अजीब और उचित रूप से पुनर्संयोजित करें?"

— अब्दुल्ला राख- साकी

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क्यूएफटी को हम कुशलता से महसूस कर सकते हैं कि इसका संभावित उत्तर इसके गुणांकों की संरचना के नीचे है। सटीक होने के लिए, हम इसे एक द्विघात रूप विस्तार के रूप में आसानी से प्रस्तुत कर सकते हैं , जो कि उन रास्तों पर एक राशि है जो एक द्विघात फ़ंक्शन द्वारा दिए गए चरण हैं: जहां एक द्विघात पर परिभाषित रूप है -बिट तार। क्वांटम फूरियर विशेष रूप से बदलने के एक द्विघात जिसका कोण द्वारा दिया जाता है शामिल है

F_{2^{n}} = \frac{1}{\sqrt{2^{n}}} \sum_{k, x \in {0, 1}^{n}} \exp (i Q (k, x)) | k ⟩ ⟨ x |,

$F_{2^n} = \frac{1}{\sqrt{2^n}} \sum_{k,x \in \{0,1\}^n} \exp\bigl(i Q(k,x)\bigr) \; \lvert k \rangle\!\langle x \rvert,$

Q (z) = \sum_{1 ⩽ j ⩽ k ⩽ 2 n} θ_{j, k} z_{j} z_{k}

$Q(z) = \sum_{1 \leqslant j \leqslant k \leqslant 2n} \theta_{j,k} z_j z_k$

2 n

$2n$

इन कोणों की संरचना में एक महत्वपूर्ण विशेषता है, जिससे QFT को एकात्मक सर्किट के रूप में आसानी से महसूस किया जा सकता है:

θ_{j, k} = {\begin{cases} π / 2^{2 n - j - k}, & if 1 ⩽ j ⩽ n < k ⩽ 2 n - j + 1 \\ 0, & otherwise . \end{cases}

$\theta_{j,k} = \begin{cases} \pi\big/2^{2n-j-k}, & \text{if $1 \leqslant j \leqslant n < k \leqslant 2n-j+1$} \\ 0, & \text{otherwise}. \end{cases}$

वहाँ एक समारोह है ऐसी है कि प्रत्येक के लिए (जहां क्यूएफटी के मामले में); $f: \{1,2,\ldots,n\} \to \{n{+}1,n{+}2,\ldots,2n\}$ $\theta_{j,k} = \pi$ $1 \leqslant j \leqslant n$ $f(j) = 2n-j+1$
किसी भी जिसके लिए $1 \leqslant h,j \leqslant n$ , हमारे पास $\theta_{h,\,f(j)} \ne 0$ । $\theta_{j,\,f(h)} = 0$

हम क्वांटम सर्किट के इनपुट और आउटपुट तारों के रूप में के सूचकांकों के बारे में सोच सकते हैं , जहां हमारा काम यह दिखाना है कि बीच में सर्किट क्या दिखाता है आउटपुट से कनेक्ट करें। ऊपर दिए गए फ़ंक्शन हमें आउटपुट तारों के जुड़ाव को इनपुट तारों तक देखने की अनुमति देता है, कि प्रत्येक मामले में एक हैमर्ड गेट है जो दो छोरों को एक साथ जोड़ता है, और इसके अलावा हैडमार्ड्स (और SWAP गेट्स) जो उलटफेर के लिए खाते हैं बीच सूचकांकों का क्रम $z = (k,x) \in \{0,1\}^{2n}$ $f$ और ), अन्य कार्यों के सभी दो qubit के रिश्तेदार चरणों के लिए नियंत्रित चरण द्वार हैं । पर दूसरी शर्तयह सुनिश्चित करने के लिए कार्य करती है कि इन नियंत्रित-चरण फाटकों को एक अच्छी तरह से परिभाषित समय क्रम दिया जा सकता है। $(1,2,\ldots,n)$ $(f(1), f(2), \ldots, f(n))$ $\exp(i \theta_{j,k})$ $f$

अधिक सामान्य स्थितियां हैं, जिनके बारे में वर्णन तब किया जा सकता है जब एक द्विघात रूप विस्तार एक वास्तविक परिपथ को जन्म देता है, इसी तरह की रेखाओं के साथ। उपरोक्त सबसे सरल मामलों में से एक का वर्णन करता है, जिसमें इनपुट और आउटपुट राज्यों के मानक आधार के अलावा राशि में कोई सूचक नहीं होता है (जिस स्थिति में संबद्ध एकात्मकता के गुणांक सभी में समान परिमाण होते हैं)।

— निएल डी ब्यूड्रैप
स्रोत

मुझे यकीन नहीं है कि मैं पूरी तरह से समझता हूं। क्या आप यह कह रहे हैं कि किसी भी विकास को एक द्विघात रूप में एक द्विघात रूप के रूप में दर्शाया गया है जो उन दो स्थितियों को संतोषजनक रूप से कार्यान्वित कर सकता है? बहुत ही रोचक

— glS

@ जीआईएस: हां, और इसके अलावा संरचना अनिवार्य रूप से कोपरसमिथ क्यूएफटी सर्किट (या बल्कि, यह तथ्य है कि क्यूएफटी का वह रूप है, यही कारण है कि कोपरसमिथ सर्किट संरचना क्यूएफटी का एहसास करने के लिए पर्याप्त है)।

— नील डी बेउड्रैप

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यह मूल प्रश्न से थोड़ा विचलित कर रहा है, लेकिन मुझे आशा है कि थोड़ी अधिक जानकारी मिलेगी जो अन्य समस्याओं के लिए प्रासंगिक हो सकती है।

कोई यह पूछ सकता है कि "यह आदेश खोजने के बारे में क्या है जो क्वांटम कंप्यूटर पर कुशल कार्यान्वयन के लिए उधार देता है?"। ऑर्डर फाइंडिंग एल्गोरिदम फैक्टरिंग का मुख्य घटक है और इसमें फूरियर ट्रांसफॉर्म भी शामिल है।

दिलचस्प बात यह है कि आप "हिडन सबग्रुप प्रॉब्लम" नामक एक सामान्य संदर्भ में ऑर्डर फाइंडिंग और साइमन की समस्या जैसी चीजों को रख सकते हैं ।

हम एक समूह लें $G$ के साथ अनुक्रमित तत्वों के साथ $g$ , और एक समूह ऑपरेशन ' $\oplus$ '। हमें एक ओरेकल दिया जाता है जो फ़ंक्शन का मूल्यांकन करता है $f(g)$ , और हमें आश्वासन दिया जाता है कि एक उपसमूह है, $K$ , का $G$ तत्वों के साथ $k$ ऐसे सभी के लिए $g\in G$ तथा $k\in K$ , $f(g)=f(g\oplus k)$ । उपसमूह के जनरेटर को उजागर करना हमारा काम है $K$ । उदाहरण के लिए, साइमन की समस्या के मामले में, समूह $G$ सब है $n$ -बिट संख्या, और उपसमूह $K$ तत्वों की एक जोड़ी है $\{0,s\}$ । समूह संचालन बिटवाइस जोड़ है।

कुशल समाधान (उस बहुपद के रूप में पैमाने $\log|G|$ ) मौजूद है अगर समूह $G$ एबेलियन है, यानी यदि ऑपरेशन $\oplus$ संबंधित समूह पर फूरियर ट्रांसफॉर्म का उपयोग करने के लिए कम्यूटेटिव है। समूह संरचना के बीच अच्छी तरह से स्थापित लिंक हैं (जैसे $\{0,1\}^n,\oplus$ ) और वह समस्या जिसे कुशलता से हल किया जा सकता है (जैसे साइमन की समस्या)। उदाहरण के लिए, यदि हम सममित समूह के लिए हिडन सबग्रुप समस्या को हल कर सकते हैं, तो यह ग्राफ आइसोमॉर्फिज्म समस्या के समाधान में मदद करेगा । इस विशेष मामले में, फूरियर ट्रांसफॉर्म कैसे किया जाता है, यह ज्ञात है, हालांकि यह अपने आप में एक एल्गोरिथ्म बनाने के लिए पर्याप्त नहीं है, भाग में क्योंकि कुछ अतिरिक्त पोस्ट-प्रोसेसिंग की आवश्यकता होती है। उदाहरण के लिए, साइमन की समस्या के मामले में, हमें निर्धारित करने के लिए पर्याप्त रैखिक रूप से स्वतंत्र वैक्टर खोजने के लिए कई रनों की आवश्यकता थी $s$ । फैक्टरिंग के मामले में, हमें आउटपुट पर एक निरंतर अंश एल्गोरिदम चलाने की आवश्यकता थी। इसलिए, अभी भी कुछ शास्त्रीय पोस्ट-प्रोसेसिंग हैं जिन्हें कुशलतापूर्वक किया जाना है, यहां तक कि एक बार उपयुक्त फूरियर रूपांतरण भी लागू किया जा सकता है।

कुछ और जानकारी

सिद्धांत रूप में, एबेलियन समूहों के लिए हिडन सबग्रुप समस्या निम्नानुसार हल की गई है। हम दो रजिस्टरों से शुरू करते हैं, $|0\rangle|0\rangle$ , और सभी समूह तत्वों के एक समान सुपरपोजिशन में पहला तैयार करें,

\frac{1}{\sqrt{| जी |}} \underset{जी \in जी}{Σ} | जी ⟩ | 0 ⟩,

$\frac{1}{\sqrt{|G|}}\sum_{g\in G}|g\rangle|0\rangle,$ और फ़ंक्शन मूल्यांकन करें

\frac{1}{\sqrt{| जी |}} \underset{जी}{Σ} | जी ⟩ | च (जी) ⟩ = \frac{1}{\sqrt{| जी |}} \underset{जी \in क^{⊥}}{Σ} \underset{क \in क}{Σ} | जी \oplus क ⟩ | च (जी) ⟩,

$\frac{1}{\sqrt{|G|}}\sum_g|g\rangle|f(g)\rangle=\frac{1}{\sqrt{|G|}}\sum_{g\in K^\perp}\sum_{k\in K}|g\oplus k\rangle|f(g)\rangle,$ कहाँ पे

K^{⊥}

$K^\perp$ इस तरह परिभाषित किया गया है कि प्रत्येक तत्व को लेने और के सदस्यों के साथ संयोजन करके

K

$K$ पूरे समूह की पैदावार करता है

G

$G$ (यानी के प्रत्येक सदस्य

K^{⊥}

$K^\perp$ एक अलग कोसेट बनाता है, के विभिन्न मूल्यों की उपज

f (g)

$f(g)$ ), और ऑर्थोगोनल उपसमूह के रूप में जाना जाता है। दूसरे रजिस्टर पर ट्रेसिंग,

\frac{1}{| क |} \underset{जी \in क^{⊥}}{Σ} \underset{क, क^{'} \in क}{Σ} | जी \oplus क ⟩ ⟨ जी \oplus क^{'} | ।

$\frac{1}{|K|}\sum_{g\in K^\perp}\sum_{k,k'\in K}|g\oplus k\rangle\langle g\oplus k'|.$ अब हम समूह पर फूरियर ट्रांसफॉर्म करते हैं

G

$G$ , उत्पादन राज्य दे रहा है

\frac{| क |}{| जी |} \underset{जी \in क^{⊥}}{Σ} | जी ⟩ ⟨ जी | ।

$\frac{|K|}{|G|}\sum_{g\in K^\perp}|g\rangle\langle g|.$ प्रत्येक वैक्टर

| g \in K^{⊥} ⟩

$|g\in K^\perp\rangle$ की संभावना है

| K | / | G |

$|K|/|G|$ पाया जा रहा है, और अन्य सभी में 0 संभावना है। एक बार के जनरेटर

K^{⊥}

$K^\perp$ निर्धारित किया गया है, हम के जनरेटर का पता लगा सकते हैं

K

$K$ कुछ रैखिक बीजगणित के माध्यम से।

— DaftWullie
स्रोत

3

कई संभावित निर्माणों में से एक, जो इस प्रश्न में कुछ अंतर्दृष्टि देता है, कम से कम मेरे लिए, इस प्रकार है। CSD (cosine-sine decomposition) का उपयोग करके, आप किसी भी एकात्मक ऑपरेटर को कुशल गेट V के उत्पाद में विस्तारित कर सकते हैं जो एक बाइनरी ट्री पैटर्न में अच्छी तरह से फिट होता है। QFT के मामले में, बाइनरी ट्री पेड़ की एक एकल शाखा तक ढह जाती है, शाखा में सभी V 1 नहीं हैं।

Ref: क्वांटम फास्ट फूरियर ट्रांसफॉर्म को कोसाइन-साइन डिकम्पोजिशन के पुनरावर्ती अनुप्रयोग के एक विशेष मामले के रूप में देखा गया है ।

— रारुटुकी
स्रोत

दिलचस्प है, धन्यवाद। क्या आप उत्तर में तर्क का एक स्केच शामिल कर सकते हैं, यदि संभव हो तो?

— glS

1

जो मैंने पहले ही प्रस्तुत किया है वह एक "स्केच" का मेरा संस्करण है। यदि आप समीकरणों और चित्रों के साथ और अधिक गहराई से खोदना चाहते हैं, तो अंत में दिए गए arxiv रेफ पर जाना सबसे अच्छा है

— rrtucci