ग्रोवर के एल्गोरिथ्म का उपयोग संख्याओं के सेट के माध्य और माध्यिका का अनुमान लगाने के लिए कैसे किया जाता है?

ग्रोवर के एल्गोरिथ्म के लिए विकिपीडिया पृष्ठ पर , यह उल्लेख किया गया है कि:

"ग्रोवर के एल्गोरिथ्म का उपयोग संख्याओं के सेट के माध्य और माध्यिका के आकलन के लिए भी किया जा सकता है"

अब तक मैं केवल यह जानता था कि इसका उपयोग किसी डेटाबेस को खोजने के लिए कैसे किया जा सकता है। लेकिन यह निश्चित नहीं है कि संख्याओं के समुच्चय के माध्य और माध्यिका का अनुमान लगाने के लिए उस तकनीक को कैसे लागू किया जाए। इसके अलावा, उस पेज पर कोई उद्धरण नहीं है (जहां तक मैंने देखा) जो तकनीक की व्याख्या करता है।

algorithm grovers-algorithm

— संचेतन दत्ता
स्रोत

या तो यदि आप अपने स्वयं के प्रश्न का उत्तर देना चाहते हैं, या जो कोई भी अपने लिए कार्य चुनता है, यह लिंक एक शानदार जगह की तरह लगता है कि कैसे ग्रोवर के एल्गोरिथ्म का उपयोग करें एक

— वीवो

@agaitaarino धन्यवाद। मैं इसके माध्यम से देखूंगा। वैसे, आपकी टिप्पणी ठीक से लिंक के रूप में प्रस्तुत नहीं कर रही है क्योंकि आपने शुरुआती कोष्ठक के बाद एक रिक्त स्थान छोड़ दिया है। :)

— संचेतन दत्ता

मुझे लगता है कि संबंधित पेपर "एक इष्टतम क्वांटम एल्गोरिथ्म है, जो माध्य और अनुमानित अनुप्रयोग के मध्य बिंदु को सेट करने के लिए एक मनमाना दूरी पर सेट करता है" ब्रासर्ड एट अल ।

— क्रेग गिदनी

माध्य का अनुमान लगाने का विचार इस प्रकार है:

किसी भी जो वास्तविक में आउटपुट देता है, एक rescaled को परिभाषित करता है जो 0 से 1. रेंज में आउटपुट देता है। हम के माध्य का अनुमान लगाना चाहते हैं । $f(x)$ $F(x)$ $F(x)$
एक एकात्मक परिभाषित करें जिसका संचालनयह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि इस एकात्मक को आसानी से लागू किया जाता है। आप पहले रजिस्टर पर हैडमार्ड ट्रांसफॉर्म के साथ शुरू करते हैं, एंकिल रजिस्टर पर की गणना करते हैं, दूसरे रजिस्टर के नियंत्रित-रोटेशन को लागू करने के लिए इसका उपयोग करते हैं, और फिर एनीला रजिस्टर को अनस्यूट करते हैं। $U_a$
$U_{a} : | 0 ⟩ | 0 ⟩ \mapsto \frac{1}{2^{n / 2}} \sum_{x} | x ⟩ (\sqrt{1 - F (x)} | 0 ⟩ + \sqrt{F (x)} | 1 ⟩) .$ $U_a:|0\rangle|0\rangle\mapsto\frac{1}{2^{n/2}}\sum_x|x\rangle(\sqrt{1-F(x)}|0\rangle+\sqrt{F(x)}|1\rangle).$ $f(x)$
परिभाषित करें एकात्मक । $G=U_a (\mathbb{I}-2|0\rangle\langle 0|\otimes |0\rangle\langle 0|)U_a^\dagger \mathbb{I}\otimes Z$
एक राज्य से शुरू करना , उपयोग करें जैसे कि आप किसी खोज समस्या के समाधान की संख्या का अनुमान लगाने के लिए ग्रोवर उपयोग करेंगे। $U_a|0\rangle|0\rangle$ $G$

इस एल्गोरिथ्म का मुख्य थोक आयाम प्रवर्धन है, जैसा कि यहां वर्णित है । मुख्य विचार यह है कि आप दो राज्यों को परिभाषित कर सकते हैं और यह विकास के लिए एक उप-क्षेत्र को परिभाषित करता है। प्रारंभिक स्थिति । यदि हम सिर्फ इसका अनुमान लगा सकते हैं, तो आयाम शब्द में के माध्य के बारे में जानकारी है। आप बस बार-बार इस स्थिति को तैयार कर सकते हैं और एक होने की संभावना को माप सकते हैं

| ψ ⟩ = \frac{1}{\sqrt{\sum_{x} F (x)}} \sum_{x} \sqrt{F (x)} | x ⟩ | 1 ⟩ | ψ^{⊥} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{\sum_{x} 1 - F (x)}} \sum_{x} \sqrt{1 - F (x)} | x ⟩ | 0 ⟩,

$|\psi\rangle=\frac{1}{\sqrt{\sum_x F(x)}}\sum_x\sqrt{F(x)}|x\rangle|1\rangle \qquad |\psi^\perp\rangle=\frac{1}{\sqrt{\sum_x 1-F(x)}}\sum_x\sqrt{1-F(x)}|x\rangle|0\rangle,$

U_{a} | 0 ⟩ | 0 ⟩ = (\sqrt{\sum_{x} F (x)} | ψ ⟩ + \sqrt{\sum_{x} 1 - F (x)} | ψ^{⊥} ⟩) 2^{- n / 2}

$U_a|0\rangle|0\rangle=(\sqrt{\sum_x F(x)}|\psi\rangle+\sqrt{\sum_x 1-F(x)}|\psi^\perp\rangle)2^{-n/2}$

| ψ ⟩

$|\psi\rangle$

F (x)

$F(x)$

| 1 ⟩

$|1\rangle$ दूसरे रजिस्टर पर, लेकिन ग्रोवर की खोज आपको एक द्विघात सुधार देती है। यदि आप आमतौर पर ग्रोवर के तरीके की तुलना करते हैं, तो इस का आयाम जिसे आप 'चिह्नित' कर सकते हैं (इस मामले में ) को लागू करके ) होगा। जहाँ समाधानों की संख्या है।

| ψ ⟩

$|\psi\rangle$

I \otimes Z

$\mathbb{I}\otimes Z$

\sqrt{\frac{m}{2^{n}}}

$\sqrt{\frac{m}{2^n}}$

m

$m$

संयोग से, यह "एक स्वच्छ qubit की शक्ति" की तुलना करने के लिए दिलचस्प है, जिसे DQC1 के रूप में भी जाना जाता है। वहां, यदि आप to1 उत्तर प्राप्त करने की संभावना गैर-त्वरित संस्करण के समान ही है, और आपको माध्य का अनुमान देता है। $U_a$ $\frac{\mathbb{I}}{2^n}\otimes|0\rangle\langle 0|$

मध्यिका के लिए, इसे स्पष्ट रूप से मान रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जो कम यहां दो चरण हैं। पहला यह महसूस करना है कि जिस फ़ंक्शन को हम कम से कम करने की कोशिश कर रहे हैं वह मूल रूप से एक मतलब है। फिर दूसरा कदम एक न्यूनतमकरण एल्गोरिदम का उपयोग करना है जिसे ग्रोवर खोज द्वारा त्वरित किया जा सकता है। यहां विचार एक ग्रोवर की खोज का उपयोग करना है, और उन सभी वस्तुओं को चिह्नित करना है जिनके लिए फ़ंक्शन मूल्यांकन कुछ सीमा से कम मूल्य देता है । आप इनपुट की संख्या का अनुमान लगा सकते हैं जो , फिर एक अलग लिए दोहराएं जब तक कि आप न्यूनतम मूल्य को पर्याप्त रूप से स्थानीय न कर दें। $z$

\sum_{x} | f (x) - f (z) | .

$\sum_x|f(x)-f(z)|.$

T

$T$

x

$x$

f (x) \leq T

$f(x)\leq T$

T

$T$

बेशक, मैं सटीक चलने के समय, त्रुटि अनुमान आदि के कुछ विवरणों को छोड़ रहा हूं।

— DaftWullie
स्रोत

क्या आपको चरण 1 में rescaling करने से पहले फ़ंक्शन के न्यूनतम और अधिकतम मान की गणना करने के लिए ग्रोवर के एल्गोरिथ्म को पहले बार एक लघुगणक संख्या चलाने की आवश्यकता है?

— १२:०६

@tparker जो शायद निर्भर करता है। अक्सर यह माना जाता है कि आप फ़ंक्शन एफ के बारे में पर्याप्त जानते हैं ताकि इसके संभावित मूल्यों को बांधा जा सके।

— DaftWullie