यह महत्वपूर्ण क्यों है कि प्रारंभिक हैमिल्टन ने एडियाबेटिक क्वांटम अभिकलन में अंतिम हैमिल्टन के साथ क्या नहीं किया है?

Question

मैंने एडियाबेटिक क्वांटम कम्प्यूटेशन (AQC) पर कई स्रोतों और किताबों में पढ़ा है कि यह प्रारंभिक हैमिल्टनियन लिए है, अंतिम हैमिल्टनियन , यानी । लेकिन मैंने कभी यह तर्क नहीं देखा कि यह इतना महत्वपूर्ण क्यों है। एच एफ[ एच मैं, एच एफ]≠$\hat{H}_i$ $\hat{H}_f$$\left[\hat{H}_i,\hat{H}_f\right]\neq 0$

अगर हम एक रैखिक समय पर निर्भरता मान लेते हैं, तो AQC का हैमिल्टनियन जहां एडियाबेटिक टाइम स्केल है।

$$\hat{H}\left(t\right)~=~\left(1-\frac{t}{\tau}\right)\hat{H}_i+\frac{t}{\tau}\hat{H}_f, \qquad \left(0\leq t\leq \tau \right)$$ $\tau$

तो मेरा सवाल है: यह महत्वपूर्ण क्यों है कि प्रारंभिक हैमिल्टन अंतिम हैमिल्टन के साथ नहीं है?

Answer 1

एडियाबेटिक क्यूसी में, आप अपनी समस्या को हैमिल्टनियन में सांकेतिक शब्दों में बदलना करते हैं ताकि आपका परिणाम जमीनी स्थिति से निकाला जा सके। उस जमीनी स्थिति को सीधे करना कठिन है, इसलिए आप इसके बजाय एक 'आसान' हैमिल्टन की जमीनी स्थिति को तैयार करते हैं, और फिर धीरे-धीरे दोनों के बीच अंतर पैदा करते हैं। यदि आप काफी धीमी गति से चलते हैं, तो आपके सिस्टम की स्थिति जमीनी स्थिति में रहेगी। आपकी प्रक्रिया के अंत में, आपके पास समाधान होगा।

यह एडियाबेटिक प्रमेय के अनुसार काम करता है । प्रमेय को धारण करने के लिए, जमीन की अवस्था और पहले उत्तेजित अवस्था के बीच एक ऊर्जा अंतर होना चाहिए। छोटी खाई बन जाती है, जिस धीमे से आपको जमीन की स्थिति और पहले उत्तेजित राज्यों के बीच मिश्रण को रोकने के लिए प्रक्षेपित करने की आवश्यकता होती है। यदि अंतर बंद हो जाता है, तो ऐसे मिश्रण को रोका नहीं जा सकता है, और आप पर्याप्त रूप से धीमा नहीं जा सकते। उस बिंदु पर प्रक्रिया विफल हो जाती है।

यदि प्रारंभिक और अंतिम हैमिल्टनियन हंगामा करते हैं, तो इसका मतलब है कि उनके पास समान ऊर्जा है। इसलिए वे इस बात पर सहमत होते हैं कि किन राज्यों को नियत ऊर्जा मिलती है, और उन्हें मिलने वाली ऊर्जाओं पर केवल असहमत हैं। दो हैमिल्टन के बीच अंतर करने से ऊर्जा में परिवर्तन होता है। इसलिए अंतिम जमीनी राज्य शुरुआत में एक उत्साहित राज्य होगा, और मूल जमीन राज्य अंत में उत्साहित हो जाता है। कुछ बिंदु पर, जब एक-दूसरे से गुजरते हैं, तो इन राज्यों की ऊर्जा बराबर होगी, और इसलिए उनके बीच की खाई बंद हो जाती है। यह देखने के लिए पर्याप्त है कि ऊर्जा अंतर कुछ बिंदु पर बंद होना चाहिए।

इसलिए हैमिल्टन के न आने के कारण अंतराल को खुला रखना एक आवश्यक शर्त है, और इसलिए AQC के लिए।

Comments

यह काफी ठोस और स्पष्ट लगता है। क्या आप स्पष्ट रूप से बता सकते हैं कि एडियाबेटिक इवोल्यूशन के दौरान एक क्रॉसिंग से बचा क्यों नहीं जा सकता है (जो जमीनी स्थिति की प्रकृति को बदलने की अनुमति देगा लेकिन कोई पतन के साथ नहीं)?

— अगस्तैरोिनो

Answer 2

अगर दो मैट्रिसेस (इस मामले में, हैमिल्टनियन) हंगामा करते हैं, तो उनके पास एक ही आइजन्वेक्टर हैं। इसलिए, यदि आप पहले हैमिल्टन की एक जमीनी स्थिति तैयार करते हैं, तो वह (मोटे तौर पर बोलना) पूरे एडियाबेटिक विकास के दौरान एक स्वदेशी बना रहेगा, और इसलिए आप सिर्फ वही निकालते हैं जो आप डालते हैं। इसका कोई मूल्य नहीं है।

यदि आप थोड़ा और सख्त होना चाहते हैं, तो यह हो सकता है कि आपके प्रारंभिक हैमिल्टन में एक अध: पतन हो, जिसे दूसरे हैमिल्टन ने हटा दिया हो, और आप सिस्टम को अनूठे जमीनी अवस्था में विकसित होने की उम्मीद कर रहे हों। ध्यान दें, हालांकि, कि पतित को हटा दिया जाता है, दूसरा हैमिल्टन की गैर-शून्य राशि है। जो भी प्रभाव हो सकता है वह तात्कालिक है। मेरा मानना ​​है कि आपको उचित एडियाबेटिक विकास नहीं मिलता है। इसके बजाय, आपको अपने प्रारंभिक राज्य को नए आइजनस्टेट्स के सुपरपोजिशन के रूप में लिखना होगा, और ये समय के साथ विकसित होने लगते हैं, लेकिन आप कभी भी अपने राज्य के ओवरलैप को लक्ष्य राज्य (ग्राउंड स्टेट) के साथ नहीं बढ़ाते हैं।

Comments

अगर आपका पहला बयान सच है तो बस सोच रहा था। उदाहरण के लिए आइडेंटिटी मैट्रिक्स को लें, यह हर हैमिल्टन की विशेषता है। लेकिन निश्चित रूप से पहचान मैट्रिक्स के लिए एक ही eigenvectors के रूप में एक मनमाना हैमिल्टन के लिए कोई कारण नहीं है।

— टर्बोटेंटेन

आप हैमिल्टनियन के आधार सहित किसी भी आधार पर पहचान को विघटित कर सकते हैं । लेकिन बात यह है कि यह बहुत पतित है, इसलिए आप मेरे दूसरे पैराग्राफ के बारे में बात कर रहे हैं।

— दफ्तुउली

Answer 3

एक प्रारंभिक Hamiltonian होने आइसिंग अनुकूलक के संदर्भ में है कि समस्या Hamiltonian साधन यह अनिवार्य रूप से उत्पादों है के साथ आवागमन ऑपरेटरों, जिसका अर्थ है कि अपने eigenstates शास्त्रीय bitstrings हैं। इसलिए शुरुआत में आधार ( t = 0) शास्त्रीय होने के साथ-साथ सभी संभव बिस्तरों का सुपरपोजिशन नहीं होगा।$\sigma^Z$$t$

इसके अलावा, AQC (जैसे ओपन-सिस्टम क्वांटम एनेलिंग, QAOA आदि) की सख्त सीमाओं से परे होने पर, यदि ड्राइविंग हैमिल्टनियन शुरू करता है, तो यह समस्या हैमिलियन के आइजिनेट्स के बीच संक्रमण को प्रेरित नहीं कर सकता है, लेकिन केवल तरंग दैर्ध्य में एम्पलीट्यूड के चरण को बदल देता है। ; और आप एक ड्राइवर चाहते हैं जो सर्च स्पेस का पता लगाने के लिए स्पिन-फ्लिप्स को प्रेरित करने में सक्षम हो।

Answer 4

आइए एक सरल उदाहरण से शुरू करते हैं जहां और H f कम्यूट होते हैं क्योंकि वे दोनों विकर्ण हैं:$H_i$$H_f$

$H_i= \begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}$

$H_p= \begin{pmatrix}-1 & 0\\ 0 & -0.1 \end{pmatrix}$

सबसे कम eigenvalue (यानी जमीन राज्य) के साथ आइजन्वेक्टर है | 1 start इसलिए हम इस राज्य में शुरू करते हैं। H f की जमीनी अवस्था है | 0 is तो यह वही है जो हम खोज रहे हैं।$H_i$$|1\rangle$$H_f$$|0\rangle$

न्यूनतम क्रम याद रखें AQC एक त्रुटि के भीतर करने के लिए सही जवाब देने के लिए के लिए : τ ≥ अधिकतम टी ( | | एच मैं - एच एफ | |$\epsilon$
।$\tau\ge \max_t\left(\frac{||H_i - H_f||^2}{\epsilon E_{\rm{gap}}(t)^3}\right)$

यह Eq में दिया और समझाया गया है। टेनबर्न एट अल के 2 । (२०१५) है ।

• मान लीजिए कि हम चाहते हैं ।$\epsilon = 0.1$
• ध्यान दें कि ईक के अनुसार। एक ही पेपर के 4।$||H_i - H_f||^2 = 0.1$
• ध्यान दें कि (मैंनेϵचुना हैताकि ऐसा हो, लेकिन यह कोई फर्क नहीं पड़ता)।$\frac{||H_i - H_f||^2}{\epsilon}=1$$\epsilon$
• अब हम $\tau \ge \max_t\left(\frac{1}{E_{\rm{gap}}(t)^3}\right)$

तो जमीन और पहले उत्साहित राज्य (जो देता है ) के बीच न्यूनतम अंतर क्या है ? जब टी = 20 τ / 29 , हैमिल्टन है:$\max_t$
$t=20\tau/29$

$H=\frac{9}{29}H_i + \frac{20}{29}H_p$

$H=\frac{9}{29}\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix} + \frac{20}{29}\begin{pmatrix}-1 & 0\\ 0 & -0.1 \end{pmatrix}$

$H=\begin{pmatrix}\frac{9}{29} & 0\\ 0 & -\frac{9}{29} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-\frac{20}{29} & 0\\ 0 & -\frac{2}{29} \end{pmatrix}$

$H=\begin{pmatrix}\frac{-11}{29} & 0\\ 0 & -\frac{11}{29} \end{pmatrix}$

तो जब , हमईजीएकपी=0औरकम बाध्यपरτअनिवार्य है∞।$t=\frac{20}{29}\tau$$E_{\rm{gap}}=0$$\tau$$\infty$

इसलिए एडियाबेटिक प्रमेय अभी भी लागू होता है, लेकिन जब यह बताता है कि हैमिल्टन को "धीरे-धीरे पर्याप्त" बदलने की आवश्यकता है, तो यह पता चला कि इसे "असीम रूप से धीरे-धीरे" बदलने की आवश्यकता है, जिसका अर्थ है कि आपको संभवतः AQC का उपयोग करके उत्तर नहीं मिलेगा।

Comments

$\tau \gg \frac{\underset{0\leq s \leq 1}{\text{max}} \left|\langle\psi_1(s)| \dfrac{d \hat{\mathscr{H}}(s)} {d s}|\psi_0(s)\rangle\right|} {\underset{0\leq s \leq 1}{\text{min}}\Delta^2(s)}; \qquad s\equiv\frac{t}{\tau}$$\Delta^2(s) = (E_1(s)-E_0(s))^2$

@Turbotanten: इनाम के लिए धन्यवाद। मेरा प्रमाण काम करता है कि क्या हम 1 / गैप ^ 2 या 1 / गैप ^ 3 का उपयोग करते हैं। दोनों मामलों में अंतर = 0 का मतलब रनटाइम = अनन्तता है। आपकी अभिव्यक्ति में, हमारे पास बाहर में "max_s" हो सकते हैं, फिर हमें हर में "min_s" की आवश्यकता नहीं है। टेनबर्न पेपर के संदर्भ 2 से भी जुड़ा हुआ है, जो गैप ^ 3 फॉर्मूला देता है, जो कि गैप 2 फॉर्मूला की तुलना में थोड़ा हल्का है। इसका उपयोग अभी भी लोकप्रिय है (गैप बाउंड्स ऑफ) गैप ^ 2 का उपयोग करना, मुख्यतः क्योंकि कुछ लोगों ने हाल के साहित्य को गैप ^ 3 पर नहीं देखा है।

— user1271772