क्वांटम फैक्टराइज़ेशन को सार्थक बनाने के लिए न्यूनतम पूर्णांक मान क्या है?

Question

आइए मान लें कि हमारे पास क्वांटम और शास्त्रीय कंप्यूटर हैं जैसे, प्रयोगात्मक रूप से, गणितीय कारक का प्रत्येक प्राथमिक तार्किक संचालन शास्त्रीय और क्वांटम फैक्टराइजेशन में समान रूप से समय खर्च करने वाला है: यह न्यूनतम पूर्णांक मान है, जिसके लिए क्वांटम कार्यवाही शास्त्रीय की तुलना में तेज है एक?

Comments

एक बहुत ही सटीक गणना विवरणों पर निर्भर करती है जैसे कि क्वांटम एल्गोरिथ्म में अतिरिक्त संचालन के कार्यान्वयन के साथ-साथ सर्वोत्तम शास्त्रीय कारक विभाजन में उपयोग किए गए सटीक संचालन पर भी। दोनों मामलों में, हम अक्सर आवश्यक कार्य की मात्रा में निरंतर कारकों की अनदेखी करने के आदी होते हैं, लेकिन क्वांटम मामले की तुलना में शास्त्रीय मामले में भी मोरसो। क्या आप एक ऑर्डर-ऑफ-परिमाण अनुमान से संतुष्ट होंगे (जैसे कि 350-370 बिट्स के बीच कहीं क्वांटम लाभ प्राप्त हो रहा है --- एक संभावित उत्तर प्रदान करने के लिए जो मैंने बिना वास्तविक विश्लेषण के आधार पर पतली हवा से बनाया है)?

— निल डे ब्यूड्रैप

@ नीलडब्यूड्रैप मैं कहूंगा कि आपके द्वारा बताए गए कारणों के लिए, एक सटीक संख्या प्रदान करना असंभव होगा। यदि आपका 'आउट ऑफ द एयर' अनुमान किसी तर्क पर आधारित है, तो मुझे लगता है कि यह दिलचस्प होगा। (दूसरे शब्दों में, एक शिक्षित अनुमान में मूल्य है, लेकिन एक जंगली अनुमान नहीं है)

— छिपकली छिपकली

@ डिसक्रीट छिपकली: यदि मेरे पास हाथ करने के लिए तैयार होने का अनुमान लगाने का एक ध्वनि साधन है, तो मैंने कोई विश्लेषण के आधार पर एक उदाहरण उत्तर का उत्पादन नहीं किया होगा :-) मुझे यकीन है कि एक दिलचस्प अनुमान लगाने का एक उचित तरीका है, लेकिन जो मैं होगा आसानी से प्रदान करने में सक्षम होने के लिए त्रुटि बार बहुत दिलचस्प होगा।

— निएल डे बेउड्रप

चूँकि यह समस्या (आमतौर पर) विशिष्ट "प्रमाण" के रूप में ली गई है कि क्वांटम कंप्यूटर शास्त्रीय कंप्यूटिंग के दायरे से बाहर करतब करने में सक्षम हैं, लेकिन लगभग हमेशा सख्त कम्प्यूटेशनल जटिलता के संदर्भ में (इसलिए, सभी स्थिरांक की उपेक्षा और केवल मनमाने ढंग से उच्च इनपुट के लिए मान्य है) आकार) मैं कहूंगा कि एक मोटा-मोटा क्रम-उत्तर (और इसकी व्युत्पत्ति) पहले से ही उपयोगी / शैक्षणिक होगा। हो सकता है कि CS / सैद्धांतिक लोग मदद के लिए तैयार हों।

— अगस्तैरोिनो

@agaitaarino: मैं सहमत हूं, हालांकि जवाब में फैक्टरशिप के लिए सर्वश्रेष्ठ शास्त्रीय एल्गोरिदम के प्रदर्शन के कुछ और-या-कम सटीक खाते को मानना ​​होगा। बाकी तो क्वांटम गणना के एक अच्छे छात्र द्वारा किया जा सकता है।

— निएल डे बेउड्रप

Answer 1

शोर के एल्गोरिथ्म का क्वांटम हिस्सा अनिवार्य रूप से, सुपरपोजिशन के तहत किया गया एक एकल मॉड्यूलर एक्सप्रेशन है जो फूरियर ट्रांसफॉर्म और फिर एक माप है। मॉड्यूलर घातांक अब तक का सबसे महंगा हिस्सा है।

आइए हम मानते हैं कि [...] गणितीय कारक के प्रत्येक प्राथमिक तार्किक संचालन को शास्त्रीय और क्वांटम कारक में समान रूप से समय-लागत है

अगर हम यह मान लें कि मॉड्यूलर घातांक एक क्वांटम कंप्यूटर पर ठीक उतना ही समय लगता है जितना कि यह एक क्लासिकल कंप्यूटर पर होता है, तो यह परिवर्तन जहां क्वांटम कम्प्यूटेशन बेहतर हो जाता है वह बहुत कम संख्या में होता है। कम्प्यूटिंग मॉड्यूलर एक्सपोजरिएशन बहुत तेजी से, शास्त्रीय रूप से होते हैं, क्योंकि आप बार-बार स्क्वेरिंग का उपयोग कर सकते हैं। मैं बेतहाशा अनुमान लगाऊंगा कि इससे पहले कि आप 30 बिट संख्या (एक बिलियन से अधिक) भी प्राप्त कर लें।

लेकिन क्वांटम कंप्यूटर्स गणित को उतनी तेजी से करने वाले नहीं हैं, जितने कि शास्त्रीय कंप्यूटर । उदाहरण के लिए, मेरे लैपटॉप पर, मैं सेकंड के एक अंश में अजगर में 1000-बिट मॉड्यूलर एक्सप्लोरेशन कर सकता हूं। लेकिन भारी मात्रा में कंप्यूटर पर, यह घंटों या दिन लगेंगे। एक और गेट की कीमत में मुद्दा ( बड़े पैमाने पर ) अंतर है।

$|T\rangle$

तो मान लीजिए कि हमें प्रति सेकंड एक लाख टी राज्य मिलते हैं, और हम इसे शास्त्रीय मशीन के साथ तुलना करने के लिए 64-बिट परिवर्धन की दर में परिवर्तित करना चाहते हैं। 64-बिट अतिरिक्त के लिए 64 और गेट की आवश्यकता होती है, प्रत्येक में 4 टी गेट की आवश्यकता होती है। 4 मिलियन से विभाजित 4 64 से विभाजित होता है ... 4KHz के बारे में। इसके विपरीत एक शास्त्रीय मशीन प्रति सेकंड एक अरब जोड़ आसानी से कर देगी। क्वांटम योजक शास्त्रीय योजक की तुलना में एक लाख गुना धीमा है (फिर से, बेतहाशा अनुमान लगाते हुए, और ध्यान रखें कि यह संख्या समय में सुधार होनी चाहिए)।

विचार करने लायक एक अन्य कारक क्वांटम और शास्त्रीय कंप्यूटरों की अलग-अलग लागत है। यदि आपके पास एक सौ मिलियन डॉलर हैं, और आप एक क्वांटम कंप्यूटर और एक हजार शास्त्रीय कंप्यूटरों के बीच चयन कर रहे हैं, तो 1000 के उस कारक का हिसाब देना होगा। इस अर्थ में, हम कह सकते हैं कि क्वांटम योजक शास्त्रीय योजक (FLOPS / $) की तुलना में एक अरब गुना कम कुशल हैं।

एक अरब का निरंतर कारक दंड सामान्य रूप से एक तत्काल सौदा ब्रेकर है। और क्वांटम एल्गोरिदम के साथ एक मात्र द्विघात लाभ (जैसे ग्रोवर) के लिए, मैं मानता हूं कि यह वास्तव में एक सौदा ब्रेकर है। लेकिन शोर की एल्गोरिथ्म शास्त्रीय रणनीति के सापेक्ष तेजी से बेहतर हो जाता है क्योंकि आप कारक की संख्या में बिट्स की संख्या बढ़ाते हैं। इससे पहले कि हम कितने बिट खाएं कि "औसतन" 10 ^ 9 लाभ में हमारी घातीय वृद्धि के साथ निरंतर?

यह विचार करें कि RSA-640 2005 में ~ 33 सीपीयू वर्षों का उपयोग करके फैक्टर किया गया था । एक क्वांटम कंप्यूटर एक दिन में उस संख्या को करने में सक्षम होना चाहिए। यदि आपके पास समस्या पर काम करने वाले एक हजार शास्त्रीय कंप्यूटर हैं, तो वे लगभग दो सप्ताह में समाप्त हो जाएंगे। तो ऐसा लगता है कि क्वांटम 640 बिट्स से जीत रहा है, लेकिन केवल परिमाण या तीन के आदेश से। तो शायद कटऑफ कहीं 500 बिट्स के आसपास होगा?

वैसे भी, मुझे पता है कि यह एक कठिन और तेज़ जवाब नहीं है। लेकिन उम्मीद है कि मैंने कुछ मात्राओं के बारे में बता दिया है जो मैं शास्त्रीय और क्वांटम की तुलना करते समय सोचता हूं। वास्तव में कोई भी लगातार शामिल कारकों को नहीं जानता है, इसलिए मुझे आश्चर्य होगा कि यदि कोई आपको "सैकड़ों बिट्स में कहीं" से बेहतर अनुमान लगा सकता है।

Comments

यह एक अच्छा प्रयास है, लेकिन आप 30 बिट्स के अनुमान के बारे में कैसे जानते हैं? जब आप एक संभावित क्रॉसओवर बिंदु पर विचार करते हैं, तो आप शोर के एल्गोरिथ्म की तुलना में क्या ठीक हैं?

— निएल डी ब्यूड्रैप

@NieldeBeaudrap जैसा मैंने कहा, यह एक जंगली अनुमान है। मैं आंकड़ा: मॉड्यूलर गुणन एक सभ्य निरंतर कारक (शास्त्रीय) है। तो निरंतर अंशों करता है। फैक्टरिंग एल्गोरिदम में भी लगातार अच्छे कारक होते हैं? शायद ऩही? यदि ऐसा है, तो क्रॉसओवर बड़ी संख्याओं के बजाय लगभग तुरंत होगा। अगर कोई वास्तव में उन दो चीजों को एक दूसरे के खिलाफ बेंचमार्क करना चाहता है, तो मैं जवाब को अपडेट करूंगा। मैं "मांस" को इसका बाकी हिस्सा मानता हूं।

— क्रेग गिदनी

मैं आमतौर पर इसे अंतर्ज्ञान प्रदान करने पर आपत्ति नहीं जताता, सिवाय इसके कि आपका जंगली अनुमान प्रश्न के विषय पर ठीक है। (प्रश्न को इस तरह से भी प्रस्तुत किया गया है जो घड़ी की गति के मुद्दों के बारे में जागरूकता का सुझाव देता है।) बहुत बड़ी संख्या में कारक बनाने की सबसे तेज़ तकनीकों में बड़े स्थिर कारक शामिल हैं, लेकिन वास्तव में उनके साथ सवाल का बिंदु है; लेकिन लगभग एक बिलियन की संख्या के लिए हम लगभग 32,767 तक की प्राइमरी टेबल का उपयोग करके ट्रायल डिवीजन पर विचार कर सकते हैं, जो व्यवहार में बहुत तेज़ होगा। इसके साथ एक मात्रात्मक तुलना भी एक शुरुआत होगी।

— निल डे ब्यूड्रैप

Answer 2

जैसा कि मैंने टिप्पणियों में उल्लेख किया है, एक बहुत सटीक उत्तर संभवतः बहुत सारे तकनीकी विकल्पों पर निर्भर करेगा जो कुछ हद तक मनमाना हैं। ऑर्डर-ऑफ-परिमाण अनुमान प्राप्त करने के लिए, और इसे बनाने में जितना संभव हो उतना संभव हो, और अधिक महत्वपूर्ण होने की संभावना है।

यह उत्तर निश्चित उत्तर के रूप में नहीं है, बल्कि मौजूदा साहित्य के संदर्भ में सही दिशा में एक कदम के रूप में है (हालांकि अब तक एक दशक से अधिक पुराना है), विशेष रूप से:

• वैन मीटर, इटोह, और लड्ड। शोर के एल्गोरिथ्म का आर्किटेक्चर-डिपेंडेंट एक्ज़ीक्यूशन टाइम । प्रोक। मेसोस्कोपिक सुपरकंडक्टिविटी + स्पिनट्रॉनिक्स 2006; [ arXiv: quant-ph / 0507023 ]

वैन मीटर, इटोह, और लैड ने उपलब्ध कंप्यूटिंग तकनीक के साथ शोर के एल्गोरिथ्म के प्रदर्शन की तुलना करने की कोशिश की, जिसमें नंबर फील्ड छलनी (गुणन के लिए सबसे अच्छा ज्ञात शास्त्रीय एल्गोरिदम) का प्रदर्शन किया गया। मेरे पास कागज के विवरणों के माध्यम से डुबकी लगाने का समय नहीं है - ऐसा करने से एक बेहतर उत्तर प्राप्त किया जा सकता है - लेकिन उस लेख का चित्र 1 हमें एक उचित संख्यात्मक अनुमान बनाने की अनुमति देता है:

यहां, खड़ी वक्र शास्त्रीय कंप्यूटिंग नेटवर्क के कंप्यूटिंग समय का प्रतिनिधित्व करते हैं। 2004 में आरएसए सिक्योरिटी इंक द्वारा रिपोर्ट किए गए 'एनएफएस, 104 पीसी, 2003' नामक वक्र में एक सौ चार व्यक्तिगत कंप्यूटरों के संगणना (और अनुमानित कंप्यूटिंग समय) का अनुमान लगाया गया है । com / rsalabs / node.asp? id = 2096] ।

$n$$n \cdot v$$v$$2 \times 10^{11}$संचालन प्रति सेकंड। शोर की एल्गोरिथ्म का एक काल्पनिक बेंचमार्क एक क्वांटम कंप्यूटर के खिलाफ एक तुलनीय घड़ी की गति पर प्रदर्शन करना होगा।

$10^9$

• 200 या उससे अधिक के एक कारक के संचालन-प्रति-सेकंड के लाभ के बावजूद, प्लॉट यह इंगित करता है कि जब यह 200GHz शास्त्रीय एनएफएस कार्यान्वयन 1GHz क्वांटम कंप्यूटर द्वारा शोर के एल्गोरिथ्म (लगभग 200 अंकों की संख्या पर) और 1MHz कंप्यूटर द्वारा किया जाता है। लगभग 330 अंकों की संख्या पर)।
• हमारे पास "2018" में प्रदर्शन का अनुमान लगाने के लिए एक वक्र है, जो शास्त्रीय गणना शक्ति का 1000 गुना प्रतिनिधित्व करता है: 1GHz और 1MHz क्वांटम कंप्यूटर के साथ इंटरसेप्ट 350 बिट संख्या और 530 बिट संख्या पर हैं।

क्वांटम अभिकलन के खिलाफ क्रॉसिंग पॉइंट में वृद्धि, 2003 में गणना से 2018 में अनुमानित एक तक, 1000 की घड़ी की गति को बढ़ावा देने के बारे में, 5/3 का कारक है। इससे हम अनुमान लगा सकते हैं कि 200 के एक कारक की गति में वृद्धि के कारण संख्याओं के आकार के लिए कम्प्यूटेशनल लाभ जो एक शास्त्रीय कंप्यूटर द्वारा जल्दी से हल किया जा सकता है, लगभग 7/6 है। तब हम अनुमान लगा सकते हैं कि NFS के एक एकल 1GHz शास्त्रीय कंप्यूटर के पार बिंदु, 1GHz क्वांटम कंप्यूटर के साथ शोर के एल्गोरिथ्म का प्रदर्शन कर रहा है, लगभग 170 बिट संख्या पर है।

निचला रेखा - एक सटीक उत्तर कई तकनीकी मान्यताओं पर निर्भर करेगा जो सटीक परिणाम को महत्वपूर्ण रूप से बदल सकता है, इसलिए किसी मोटे अनुमान की तलाश करना बेहतर है। लेकिन इस सवाल पर कम से कम एक बार पहले शोध किया गया है, और 2003 में शास्त्रीय प्रदर्शन के आधार पर प्रदर्शन पर कुछ मान्यताओं और अतिरिक्तताओं का निर्माण किया गया है, ऐसा लगता है कि शोर के एल्गोरिदम नंबर के आधार पर ऑपरेशन-ऑपरेशन के आधार पर सर्वश्रेष्ठ ज्ञात शास्त्रीय एल्गोरिदम को बेहतर बनाएंगे। लगभग 170 बिट्स।

Comments

यह एक अच्छा जवाब है। यह ध्यान देने योग्य है कि इस पत्र का "प्राथमिक तार्किक संचालन" का विचार बहुत (उचित रूप से) एक AND गेट के स्तर पर है, जैसा कि CPU निर्देश या BigInt ऑपरेशन के स्तर पर विरोध किया जाता है (जो मुझे संदेह है कि पूछने वाला क्या है) विचारधारा)। अपने स्वयं के उत्तर में मैं मान रहा था कि मॉड्यूलर घातांक "जैसे कि शास्त्रीय रूप से" किया गया था, जिसमें एफएफटी गुणन शामिल होगा। यही कारण है कि मैंने एक संख्या का अनुमान लगाया जो इस पत्र की तुलना में बहुत कम थी, जो (उचित रूप से) अपने मात्रात्मक अंकगणित के लिए रिपल कैरी एडर्स के साथ स्कूलबुक गुणा करता है।

— क्रेग गिदनी

@ साल्वाकार्डोना: मेरी सलाह है कि आप मेरे उत्तर को स्वीकार न करें। मेरा विश्लेषण बहुत ही सरसरी है, और आपको बेहतर विश्लेषण के लिए पकड़ बना लेनी चाहिए।

— नील डी बेउड्रैप