बलोच के विकल्प के लिए एक एकल qubit का प्रतिनिधित्व करते हैं

Question

एकल कोटि का प्रतिनिधित्व करने के लिए $|\psi\rangle$ हम एक में एक एकात्मक वेक्टर का उपयोग $\mathbb{C}^2$ हिल्बर्ट अंतरिक्ष जिसका orthonormal आधार (में से एक) है $(|0\rangle, |1\rangle)$ ।

हम आकर्षित कर सकते हैं $|\psi\rangle$ एक का उपयोग कर बलोच गेंद । हालांकि, मुझे यह नोटेशन काफी भ्रामक लगा, क्योंकि ऑर्थोगोनल वैक्टर स्थानिक रूप से एंटीपैरल ( इस फिजिक्स स्टैकएक्सचेंज प्रश्न में संक्षिप्त विवरण ) हैं।

क्या आप किसी एकल qubit के लिए कोई अलग चित्रमय प्रतिनिधित्व जानते हैं?

Answer 1

आपके प्रश्न में शामिल लिंक में, user098876 द्वारा लिखित एक अन्य प्रश्न के बारे में, "बलोच क्षेत्र को समझना", डैनियल एक उपयोगी टिप्पणी करता है:

"एक क्वांटम दो-स्तरीय प्रणाली की स्थिति का प्रतिनिधित्व करने के लिए गोले पर आरेखण अंक का मतलब यह नहीं है कि आपको उन बिंदुओं के बारे में सोचना चाहिए जो 3 डी अंतरिक्ष में वास्तविक वैक्टर हैं। - डैनियलसैंक 3 सितंबर '20:15 पर।"

सुस्पष्ट स्पष्टीकरण: यह एक दो-पक्षीय विमान (या दो विमान) एक गोले पर प्रक्षेपित होता है।

"मुझे यह नोटेशन काफी भ्रामक लगा, क्योंकि ऑर्थोगोनल वैक्टर स्थानिक रूप से एंटीपैरल ( इस फिजिक्स स्टैकएक्सचेंज प्रश्न में संक्षिप्त विवरण ) हैं। क्या आप किसी एकल क्वैबिट के लिए कोई अलग ग्राफिकल प्रतिनिधित्व जानते हैं?"

अधिक सामान्य प्रतिनिधित्व प्रदान करने के लिए कई तरह के प्रयास चल रहे हैं जो कि qubits से qudits तक फैले हुए हैं। मेजराना क्षेत्र का उपयोग करते हुए यह स्पष्टीकरण और प्रतिनिधित्व इतना अलग नहीं है , यह अभी भी एक क्षेत्र है, लेकिन शायद यह कम भ्रामक है:

एक मेजराना क्षेत्र पर qubits के लिए देखें: " एन-क्वेट राज्यों के रूप में बलोच क्षेत्र पर अंक "।

"सार। हम दिखाते हैं कि कैसे एन-क्वेट सिस्टम के शुद्ध राज्यों को व्यक्त करने के लिए मेजराना प्रतिनिधित्व का उपयोग किया जा सकता है ... निष्कर्ष में, स्पिन- कणों का अध्ययन किए जाने पर मेजराना प्रतिनिधित्व उपयोगी होता है , जबकि वैकल्पिक प्रतिनिधित्व बेहतर होता है जब एक एन- क्क्वेट सिस्टम के राज्यों पर चर्चा की जाती है। एन- क्रैब राज्यों की कल्पना करने में मदद करने के अलावा और जिस तरह से वे रोटेशन और अन्य कार्यों में बदल जाते हैं, बाद के प्रतिनिधित्व से कुछ विशेष एन- क्वैब राज्यों की पहचान करने में भी मदद मिल सकती है, जैसे कि मेजराना प्रतिनिधित्व ने किया था। स्पिनर बोस-आइंस्टीन का संदर्भ घनीभूत है। ”$S$$N$$N$$N$

देखें: " मेजराना प्रतिनिधित्व, क्यूट्रिट हिल्बर्ट स्पेस और एनएमआर कार्यान्वयन क्यूट्रिट गेट्स ":

पृष्ठ 1:

"बलोच क्षेत्र ( एकल तीन वास्तविक आयामों में एक इकाई गोले) की क्वांटम अवस्थाओं का प्रतिनिधित्व प्रदान करता है , सतह पर मैप किए गए शुद्ध राज्यों और आंतरिक में पड़ी हुई मिश्रित अवस्थाओं के साथ। यह ज्यामितीय प्रतिनिधित्व उपयोगी है। क्वांटम राज्यों और उनके परिवर्तनों का एक दृश्य प्रदान करना, विशेष रूप से एनएमआर-आधारित क्वांटम गणना के मामले में, जहां स्पिन- 1$\mathcal S^2$$\frac{1}{2}$ चुंबककरण और एनएमआर आरएफ दालों के माध्यम से इसके परिवर्तन को बलोच क्षेत्र पर कल्पना की जाती है। उच्च-स्तरीय क्वांटम सिस्टम के लिए ज्यामितीय प्रतिनिधित्व के लिए कई प्रस्ताव आए हैं, हालांकि, एक उच्च गोले जैसी तस्वीर का विस्तार उच्चतर स्पिनरों के लिए सीधा नहीं है। मेजराना द्वारा एक ज्यामितीय प्रतिनिधित्व प्रस्तावित किया गया था, जिसमें एक स्पिन ' ' की एक शुद्ध स्थिति को एक इकाई क्षेत्र की सतह पर '2 s ' अंक द्वारा दर्शाया जाता है, जिसे मेजराना क्षेत्र कहा जाता है।$s$$_s$

के लिए Majorana प्रतिनिधित्व प्रणाली में इस तरह के, स्पिन के ज्यामितीय फेज़ का निर्धारण प्रतिनिधित्व के रूप में बड़े पैमाने पर आवेदन पत्र मिल गया है एन द्वारा spinors $s$$N$$N$ अंक, बहु qubit के ज्यामितीय प्रतिनिधित्व राज्यों, अराजक क्वांटम गतिशील प्रणालियां के आंकड़े और ध्रुवीकरण प्रकाश की विशेषताओं उलझ। एक एकल qutrit (तीन स्तरीय क्वांटम प्रणाली) qudit आधारित (में विशेष महत्व का है स्तर क्वांटम प्रणाली) क्वांटम कंप्यूटिंग योजनाओं। एक क्यूट्रिट सबसे छोटी प्रणाली है जो प्रासंगिकता जैसी अंतर्निहित क्वांटम विशेषताओं को प्रदर्शित करती है, जिसे क्वांटम कंप्यूटिंग के लिए एक संसाधन होने के लिए अनुमान लगाया गया है । एनएमआर क्विड क्वांटम कंप्यूटिंग स्पिन एस> 1 के साथ नाभिक का उपयोग करके किया जा सकता है$d$$\frac{1}{2}$ या दो या अधिक युग्मित स्पिन-1द्वारा मॉडलिंग की जा सकती है$\frac{1}{2}$ नाभिक। इस कार्य में हम एक ही क्यूट्रिट के मेजराना क्षेत्र के विवरण का उपयोग करते हैं, जहां एक यूनिट क्षेत्र पर एक अंक के जोड़े द्वारा एक क्यूट्रिट के राज्यों का प्रतिनिधित्व किया जाता है, जो कि क्यूट्रिट राज्य स्थान में अंतर्दृष्टि प्रदान करता है।

पेज 5:

चुंबकत्व वेक्टर की भयावहता → >> | एक एकल qutrit के शुद्ध कलाकारों की टुकड़ी में मान मान सकते हैं [ 0 , 1 ] । इसके विपरीत, एक qubit का शुद्ध पहनावा हमेशा इसके साथ जुड़े चुंबकत्व वेक्टर की इकाई परिमाण के पास होता है$\vert-$$\vec{M}$$\vert$$[0,1]$ । मेजराना निरूपण द्वारा एकल क्यूट्री मैग्नेटाइजेशन वेक्टर की ज्यामितीय तस्वीर प्रदान की गई है। मान → >> | द्विभाजक की लंबाई पर निर्भर करता है हे हे ' और साथ झूठ $\vert-$$\vec{M}$$\vert$$OO'$$z$-एक्सीस और घूर्णी रूप से अपरिवर्तनीय है। इस प्रकार द्विभाजक की लंबाई के दिए गए मान के अनुसार, व्यक्ति लगातार भिन्न रेडी के साथ संकेंद्रित गोले को ग्रहण कर सकता है, जिसकी सतहें निरंतर चुम्बकत्व की सतह होती हैं। इन गोले की त्रिज्या बराबर होती है → >> | , कि रेंज में भिन्न [ 0 , 1 ] ।$\vert-$$\vec{M}$$\vert$$[0,1]$

पृष्ठ 10:

समापन टिप्पणी

इस कार्य में एक क़ुतुबनुमे का ज्यामितीय प्रतिनिधित्व वर्णित है, जिसमें क़ुदरत राज्यों को मेजराना प्रतिनिधित्व के अनुसार एक इकाई क्षेत्र पर दो बिंदुओं द्वारा दर्शाया गया है। परिवर्तनों की कार्रवाई के माध्यम से एकल-राज्यों राज्यों का एक मानकीकरण विहित राज्यों के एक-पैरामीटर परिवार से मनमाना राज्यों को प्राप्त करने के लिए प्राप्त किया गया था । स्पिन- $SO(3)$$1$ मैग्नेटाइजेशन वेक्टर को मेजराना क्षेत्र पर दर्शाया गया था के शून्य या गैर-शून्य मूल्य के आधार पर राज्यों को 'पॉइंटिंग' या 'नॉन-पॉइंटिंग' के रूप में पहचाना गया था। एस यू की कार्रवाई से उत्पन्न परिवर्तन ( 3 )$SU(3)$जनरेटर भी मेजराना ज्यामितीय चित्र में एकीकृत किए गए थे। Qubits के विपरीत, रेडियो-आवृत्ति दालों के संदर्भ में एकल-कुट्टी क्वांटम फाटकों का अपघटन सीधा नहीं है और Majorana क्षेत्र प्रतिनिधित्व इन फाटकों को ज्यामितीय रूप से वर्णन करने का एक तरीका प्रदान करता है। विभिन्न क्वांटम गेट्स की कार्रवाई के तहत मेजराना क्षेत्र पर एक क्यूट्रिट का प्रतिनिधित्व करने वाले बिंदुओं की गतिशीलता के करीब अवलोकन आरएफ पल्स decompositions प्राप्त करने के लिए उपयोग किए गए थे और बुनियादी एकल-क्यूट्रिट गेट एनएमआर का उपयोग करके प्रयोगात्मक रूप से लागू किए गए थे।

अंजीर। 1. मेजराना क्षेत्र पर एक qutrit को दो बिंदुओं और P 2 द्वारा दर्शाया गया है, जो गोलाकार के केंद्र से क्रमशः लाल और नीले रंग में दिखाई गई लाइनों द्वारा जुड़ा हुआ है। θ 1 , φ 1 ध्रुवीय और azimuthal कोण बिंदु करने के लिए इसी हैं पी 1 ( θ 2 , φ 2 बिंदु के लिए कोण हैं पी 2 )। (क) Majorana बहुपद की जड़ें विमान में दिखाया जाता है जेड = 0 अंक पी ' 1 और पी ' $P_1$$P_2$$\theta_1$$\phi_1$$P_1$$\theta_2$$\phi_2$$P_2$$z = 0$$P'_1$$P'_2$, जिसका स्टीरियोग्राफिक प्रोजेक्शन मेजराना प्रतिनिधित्व को जन्म देता है। तीन उदाहरण एकल-कुतर्क आधार वैक्टर ( बी ) के मेजराना प्रतिनिधित्व के अनुरूप दिखाए गए हैं , ( ग $(b)\;\vert+1\rangle$ और ( घ $(c)\;\vert0\rangle$ । एक बिंदु को एक ठोस (लाल) सर्कल के रूप में दिखाया गया है, जबकि दूसरे बिंदु को एक खाली (नीला) सर्कल द्वारा दर्शाया गया है।$(d)\;\vert-1\rangle$

देखें: व्हीलर (वेबसाइट) द्वारा " उच्च स्पिन राज्यों का प्रमुख प्रतिनिधि " (.PDF ) या " मल्टीस्पिन क्वांटम राज्यों की विग्नर टोमोग्राफी ":

टोमोग्राफी का उपयोग करने में यह कैसा दिखता है - "इस पत्र में, हम सैद्धांतिक रूप से मनमानी मल्टीस्पिन क्वांटम राज्यों के गोलाकार कार्यों के लिए एक टोमोग्राफी योजना विकसित करते हैं। हम एक दिए गए घनत्व ऑपरेटर के सामान्यीकृत विग्नर प्रतिनिधित्व (मिश्रित या शुद्ध क्वांटम राज्यों का प्रतिनिधित्व करने) के पुनर्निर्माण के लिए प्रयोगात्मक योजनाओं का अध्ययन करते हैं। )। "

तुलना करें कि बलोच क्षेत्र की जटिलता को दर्शाया गया है: " तीन-शिखर ज्यामितीय चरणों का बलोच-गोला क्षेत्र "। आकार वही है जो आप उपयोग किए गए प्रक्षेपण की कल्पना करते हैं।

यहाँ एक कम व्यस्त छवि है:

कागज के एक बहुत बड़े पत्रक द्वारा बलोच के आधे हिस्से में कटौती के बारे में सोचें। कागज के किनारे पर (अनंत) शीट के शीर्ष पर कोई भी बिंदु (अनंत) गेंद के शीर्ष (शीट के नीचे के लिए गेंद के नीचे) के लिए एक रेखा खींचता है। पेपर के केंद्र (मिश्रित राज्यों) के निकटतम बिंदु, गोले के केंद्र की रेखाएँ खींचते हैं। यह छोटी गेंद पर अनंत तक की दूरी का प्रतिनिधित्व करता है, एक qubit / qudit परिमित है इसलिए कागज इतना बड़ा नहीं है।

अब 2 डी पेपर पर अंक बनाएं, कागज से गेंद की तरफ रेखाएं खींचें, कागज को हटा दें, और स्पष्ट गेंद के माध्यम से या लाइन के अन्य समापन बिंदु को देखने के लिए देखें।

उपरोक्त लिंक में बहुत अधिक सटीक और कठिन विवरण प्रस्तुत किया गया है।

Comments

आपके उत्तर के लिए धन्यवाद। कृपया, क्या आप एक बहुत संक्षिप्त विवरण जोड़ सकते हैं कि एक मेजराना क्षेत्र पर एक qubit (qutrit) का प्रतिनिधित्व कैसे करें? फिर मैं इस उत्तर को स्वीकार करूँगा क्योंकि यह पूरी तरह से मेरे प्रश्न का उत्तर देता है।

— incud

@incud - शीर्ष पर एक और पेपर जोड़ा गया जो कि थोड़ा आसान है और सीधे क्वेट ओरिएंटेड है।

— रोब

Answer 2

अपने उत्तर में बताए गए @pyramids को जोड़ना :

एक qubit राज्य आम तौर पर लिखा जाता है , जहां α , बीटा ∈ सी , और | α | 2 + | β | 2 = 1 ।$\alpha|0\rangle + \beta|1\rangle$$\alpha, \beta \in \Bbb{C}$$|\alpha|^2+|\beta|^2=1$

वास्तविक संख्या के क्षेत्र में एक चार-आयामी वेक्टर स्थान है। चूँकिकोई भी n -dimensional वास्तविक वेक्टर स्पेस, R n ( R ) के लिए आइसोमोर्फिक है, आप किसी भी क्वेट की अवस्था को4-डायमेंशनल रियल स्पेसमें एक बिंदु के रूप में भी दर्शा सकतेहैं, जिसके आधार वैक्टर को आप(1,0,0)मान सकते हैं।,0),(0,1,0,0),(0,0,$\Bbb{C}^2(\Bbb{R})$$n$$\Bbb{R}^n(\Bbb{R})$$4$ । ऐसी स्थिति में एक qubit के राज्य के रूप में प्रतिनिधित्व किया जाएगा एक ( 1 , 0 , 0 , 0 ) + ख ( 0 , 1 , 0 , 0 ) + ग ( 0 , 0 , 1 , 0 ) + घ ( 0 , 0 , 0 , 1 ) ।$(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)$$a(1,0,0,0)+b(0,1,0,0)+c(0,0,1,0)+d(0,0,0,1)$

कहो, (जहां एक , ख ∈ आर ) और β = ग + मैं घ (जहां ग , घ ∈ आर )। आपको शर्त की जरूरत है | a + i b | 2 + | c + i d | 2 = $\alpha = a + i b$$a,b\in \Bbb{R}$$\beta = c + id$$c,d\in \Bbb{R}$ संतुष्ट होने के लिए, जिसका मतलब है कि क्वेट की स्थिति3-क्षेत्रपर एक बिंदु होगी।$|a+ib|^2+|c+id|^2=1\implies a^2+b^2+c^2+d^2=1$

जैसा कि आप जानते हैं, एक कागज, या आपकी स्क्रीन जैसी 2 -आयामी सतह पर -आयामी अंतरिक्ष को कुशलता से प्रस्तुत करना मुश्किल है । इसलिए, आप यह नहीं देखते कि प्रतिनिधित्व अक्सर इस्तेमाल किया जाता है। बलोच क्षेत्र काफी है सबसे कारगर प्रतिनिधित्व , वहाँ (एक qubit के लिए) के बाद से यह स्वतंत्रता से एक डिग्री कम कर देता है (के जटिल संख्या अल्फा , β तथ्य के कारण, जिनमें से प्रत्येक स्वतंत्रता के दो डिग्री है) कि एक qubit के राज्य आमतौर पर के परिमाण को सामान्य बनाया है 1 यानी | α | 2 + | β | 2 = $4$$2$$\alpha,\beta$$1$$|\alpha|^2+|\beta|^2=1$।

अब, हॉपफ निर्देशांक का उपयोग करते हुए कहते हैं:

$$\alpha = e^{i\psi}\cos(\theta/2)$$

$$\beta = e^{i(\psi+\phi)}\sin(\theta/2)$$

इधर, से चला सकते हैं 0 करने के लिए π जबकि, ψ और φ + ψ के बीच मूल्यों ले जा सकते हैं 0 करने के लिए π ।$\theta$$0$$\pi$$\psi$$\phi+\psi$$0$$\pi$

मामले में आप सोच रहे हैं कि क्यों के स्थान पर प्रयोग किया जा रहा है θ पर जवाब पर एक नजर है इस भौतिकी स्टैक एक्सचेंज पर उत्कृष्ट धागा।$\theta/2$$\theta$

ठीक है, यहाँ तक कि अब आप स्वतंत्रता के तीन डिग्री नोटिस , एक इकाई त्रिज्या क्षेत्र में जबकि, आप केवल दो कोणों जो आप एक qubit के विभिन्न राज्यों प्राप्त करने के लिए बदल सकते हैं।$\psi,\phi,\theta$

ध्यान दें कि β मूल रूप से α और बीच "सापेक्ष चरण" है । दूसरी ओर ψ के "रिश्तेदार चरण" के लिए योगदान नहीं है α , β । इसके अलावा, न φ है और न ही ψ की भयावहता के लिए योगदान α , β (के बाद से | ई मैं φ | = 1 किसी भी कोण के लिए φ )। चूंकि ψ के लिए न तो है और न ही की "परिमाण" से "रिश्तेदार चरण" योगदान α , β यह कहा जाता है कि कोई शारीरिक रूप से नमूदार परिणाम$\phi$$\alpha$$\beta$$\psi$$\alpha,\beta$$\phi$$\psi$$\alpha,\beta$$|e^{i\varphi}|=1$$\varphi$$\psi$$\alpha,\beta$ और हम कर सकते हैं $\alpha$$e^{i\psi}$ ।

इस प्रकार हम समाप्त होते हैं:

$$\alpha = \cos(\theta/2)$$ $$\beta=e^{i\phi}\sin(\theta/2)$$ $\theta$$0$$\pi$$\phi$$0$$2\pi$

$2$$3$$2$-विभिन्न सतह, जैसा कि निम्नलिखित छवि में दिखाया गया है।

गणितीय रूप से, किसी भी स्वतंत्रता की डिग्री को कम करना संभव नहीं है, और इसलिए, मैं कहूंगा कि बलोच क्षेत्र की तुलना में एकल qubit का कोई अन्य "अधिक कुशल" ज्यामितीय प्रतिनिधित्व नहीं है।

_{स्रोत: विकिपीडिया: Bloch_Sphere}

Comments

टाइपो। आप 3-क्षेत्र का मतलब है। $n$ n- क्षेत्र में जहां कहीं यह एम्बेडेड नहीं है वहां यूक्लिडियन स्पेस ही के आयाम को इंगित करता है।

— AHusain

अद्भुत जवाब, मैं जो चाह रहा था, उससे कहीं ज्यादा। हालाँकि, मुझे पूरी तरह से समझ में नहीं आया जब आप कहते हैं कि 4 मापदंडों / dof के साथ मुझे 3-गोले की आवश्यकता है$\mathbb{R}^4$(मैं सहमत हूँ); 3 मापदंडों के साथ मुझे 2-क्षेत्र की आवश्यकता है$\mathbb{R}^3$(मैं सहमत हूँ); 2 मापदंडों के साथ मुझे अभी भी एक 2-क्षेत्र की आवश्यकता है$\mathbb{R}^3$ (मैं 1-क्षेत्र / सर्कल का उपयोग नहीं कर सकता था?)

— incud

@incud इकाई इकाई त्रिज्या के साथ एक सर्कल में आपको केवल एक डिग्री की स्वतंत्रता होगी अर्थात कोण रेफ़र एक निश्चित संदर्भ रेखा के साथ।

— सांच्यन दत्ता

@Blue My fault, I got confused. I wasn't thinking about the unit radius of the circle. Thank you for your answer

— incud

आप इकाई त्रिज्या के एक क्षेत्र (कुछ आयाम में) पर बिंदुओं के अनुरूप करने के लिए राज्यों की आवश्यकता क्यों थोप रहे हैं? जैसा कि @groupsgroupsgroups द्वारा उत्तर में बताया गया है, यदि आप केवल शुद्ध राज्यों के बारे में सोचते हैं, तो ऐसा करने का कोई कारण नहीं है। लेकिन आप मिश्रित राज्यों का कोई उल्लेख नहीं करते हैं ...

— DaftWullie

Answer 3

बलोच ऐतिहासिक रूप से उन पिंडों का वर्णन करने के बारे में आया, जहां अप और डाउन को वास्तव में (गणितीय रूप से) ऑर्थोगोनल के बजाय समानांतर (एंटी) के रूप में देखा जा सकता है।

आप स्वाभाविक रूप से (और शायद अधिक स्वाभाविक रूप से!) एक qubit के राज्य को इस तरह से चित्रित कर सकते हैं कि ऑर्थोगोनल राज्य वास्तव में ऑर्थोगोनल हैं। फिर एक शुद्ध 1-qubit राज्य 4-आयामी क्षेत्र की सतह पर एक बिंदु पर रहता है।

Answer 4

(सबसे पहले, "प्रतिष्ठा अंक" की आवश्यकता बेवकूफ है - यह टिप्पणी पिछले पोस्ट पर एक टिप्पणी होनी चाहिए।)

एक शुद्ध राज्य में एक एकल qubit में 2 वास्तविक स्वतंत्रताएं होती हैं, 3 नहीं, जब आप दोनों परिमाण और चरण (यानी, जटिल सामान्यीकरण) को उद्धृत करते हैं। इसलिए, सबसे उचित दो-आयामी सतहों का उपयोग किया जा सकता है (उदाहरण के लिए, 2-क्षेत्र या स्थैतिक रूप से समकक्ष कुछ भी)।

एक उपयोगी प्रतिनिधित्व ढूँढना एक और कहानी है। बलोच क्षेत्र का मिश्रित राज्यों के लिए एक प्राकृतिक विस्तार है (जिसमें स्वतंत्रता की 3 डिग्री है), जबकि ऐसा प्रतीत नहीं होता है।

Comments

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— मिथ्रंदिर 24601