बेतरतीब बेंचमार्किंग में निष्ठा का उपयोग करने का उद्देश्य

अक्सर, जब दो घनत्व मैट्रीस की तुलना करते हैं, तो और (जैसे कि जब एक आदर्श का प्रायोगिक कार्यान्वयन होता है ), इन दोनों राज्यों की निकटता क्वांटम राज्य की निष्ठा द्वारा दी जाती है जिसमें बेवफाई को रूप में परिभाषित किया गया है । $\rho$ $\sigma$ $\rho$ $\sigma$

F = t r (\sqrt{\sqrt{ρ} σ \sqrt{ρ}}),

$F = tr\left(\sqrt{\sqrt{\rho}\sigma\sqrt{\rho}}\right),$

1 - F

$1-F$

इसी तरह, जब एक गेट के कार्यान्वयन को एक आदर्श संस्करण के साथ कितना निकट किया जाता है, तो तुलना करना, निष्ठा जहां है हार उपाय शुद्ध राज्यों में। अप्रत्याशित रूप से, यह काम करने के लिए अपेक्षाकृत अप्रिय हो सकता है।

F (U, \tilde{U}) = \int {[t r (\sqrt{\sqrt{U | ψ ⟩ ⟨ ψ | U^{†}} \tilde{U} | ψ ⟩ ⟨ ψ | {\tilde{U}}^{†} \sqrt{U | ψ ⟩ ⟨ ψ | U^{†}}})]}^{2} d ψ,

$F\left( U, \tilde U\right) = \int\left[tr\left(\sqrt{\sqrt{U\left|\psi\rangle\langle\psi\right|U^\dagger}\tilde U\left|\psi\rangle\langle\psi\right|\tilde U^\dagger\sqrt{U\left|\psi\rangle\langle\psi\right|U^\dagger}}\right)\right]^2\,d\psi,$

d ψ

$d\psi$

अब, घनत्व मैट्रिक्स के मामले में एक मैट्रिक्स को परिभाषित $M = \rho - \sigma$ करते हैं, या गेट्स के साथ काम करते समय $M = U - \tilde U$ फिर, स्कैटन मानदंड ¹ , जैसे $\| M\|_1 = tr\left(\sqrt{M^\dagger M}\right)$ , $\| M\|_2^2 = tr\left(M^\dagger M\right)$ , या अन्य मानदंड, जैसे कि हीरे के मान की गणना की जा सकती है।

इन मानदंडों को अक्सर उपरोक्त फिडेलिटी की तुलना में ² गणना करना आसान है । जो बात ज्यादा खराब होती है, वह यह है कि बेतरतीब बेंचमार्किंग गणनाओं में, बेवफाई भी एक बेहतरीन उपाय नहीं दिखता है , फिर भी वह संख्या जो हर बार इस्तेमाल की जाती है, जो मैंने क्वांटम प्रोसेसर के लिए बेंचमार्किंग मूल्यों को देखते हुए देखी है। ³

तो, क्यों (में) फिडेलिटी को क्वांटम प्रोसेसर (रेंडमाइज्ड बेंचमार्किंग का उपयोग करके) में गेट त्रुटियों की गणना के लिए जाना जाता है, जब यह एक सहायक अर्थ और अन्य तरीकों, जैसे श्टेटन मानदण्डों के लिए आसान नहीं है, की गणना करना आसान है एक शास्त्रीय कंप्यूटर पर?

^{1 $M$ का Schatten p- मान $\| M\|_p^p = tr\left(\sqrt{M^\dagger M}^p\right)$}

^{2 यानी एक (शास्त्रीय) कंप्यूटर पर शोर मॉडल में प्लग करें और अनुकरण करें}

^{3 आईबीएम की QMX5 जैसे}

quantum-information randomised-benchmarking fidelity

— Mithrandir24601
स्रोत

नीलसन और चुआंग ने अपनी पुस्तक "क्वांटम कम्प्यूटेशन एंड क्वांटम इंफॉर्मेशन" में क्वांटम सूचना के लिए दूरी के उपायों पर अनुभाग (अध्याय 9) है।

आश्चर्यजनक रूप से वे धारा 9.3 में कहते हैं "एक क्वांटम चैनल कितनी अच्छी तरह से जानकारी को संरक्षित करता है?" जब ट्रेस मानक की निष्ठा की तुलना:

अंतिम भाग में स्थापित ट्रेस दूरी के गुणों का उपयोग करना मुश्किल नहीं है, अधिकांश भाग के लिए, ट्रेस दूरी के आधार पर एक समानांतर विकास देना है। हालांकि, यह पता चला है कि निष्ठा एक आसान उपकरण है जिसकी गणना की जाती है, और इस कारण से हम निष्ठा के आधार पर खुद को विचार तक सीमित रखते हैं।

मुझे लगता है कि यह भाग में है कि निष्ठा का उपयोग क्यों किया जाता है। ऐसा लगता है कि यह दूरी के स्थिर माप के रूप में काफी उपयोगी है।

राज्यों के पहनावे के प्रति निष्ठा के अपेक्षाकृत सीधे विस्तार भी प्रतीत होते हैं

F = \sum_{j} p_{j} F (ρ_{j}, E (ρ_{j}))^{2},

$F =\sum_j p_jF(\rho_j,\mathcal{E}(\rho_j))^2,$

$p_j$ राज्यों में सिस्टम तैयार करने की संभावना , और ब्याज की विशेष शोर चैनल, । $\rho_j$ $\mathcal{E}$ $0\leq F\leq 1$

एक चैनल में उलझाव को कितनी अच्छी तरह से संरक्षित किया जाता है, इसे मापने के लिए, उलझी हुई निष्ठा का विस्तार भी है। एक राज्य को किसी तरह से बाहरी दुनिया में उलझा हुआ माना जाता है, और राज्य का शुद्धिकरण (काल्पनिक प्रणाली ), जैसे कि शुद्ध है। राज्य को चैनल में गतिशीलता के अधीन किया गया है । प्राइम्स क्वांटम ऑपरेशन के आवेदन के बाद राज्य का संकेत देते हैं। सिस्टम पर पहचान मानचित्र है । $Q$ $R$ $RQ$ $\mathcal{E}$ $\mathcal{I}_R$ $R$

F (ρ, E) \equiv F (R Q, R' Q')^{2} = ⟨ R Q | (I_{R} \otimes E) (| R Q ⟩ ⟨ R Q |) | R Q ⟩

$F(\rho,\mathcal{E}) ≡ F(RQ,R′Q′)^2= ⟨RQ| \left(\mathcal{I}_R \otimes \mathcal{E}\right)\left(|RQ⟩⟨RQ|\right) |RQ⟩$

अध्याय में दिए गए निष्ठा और उलझी निष्ठा की गणना को सरल बनाने के लिए व्युत्पन्न कुछ सूत्र हैं।

उलझाव निष्ठा के आकर्षक गुणों में से एक यह है कि एक बहुत ही सरल सूत्र है जो इसे सटीक गणना करने में सक्षम बनाता है।

F (ρ, E) = \sum_{i} tr | (ρ E_{i}) |^{2}

$F(\rho,\mathcal{E})=\sum_i\operatorname{tr}|(\rho E_i)|^2$

जहां 'ऑपरेशन एलिमेंट्स' एक संपूर्णता संबंध को संतुष्ट करते हैं। शायद कोई और अधिक व्यावहारिक कार्यान्वयन पर टिप्पणी कर सकता है, लेकिन यह वही है जो मैंने पढ़ने से इकट्ठा किया है। $E_i$

अपडेट 1: Re M.Stern

यह एक ही संदर्भ नील्सन और चुआंग है। वे इस पर टिप्पणी करते हैं कि "आप आश्चर्यचकित हो सकते हैं कि परिभाषा के दाहिने हाथ की तरफ दिखाई देने वाली निष्ठा क्यों चुकती है। इस प्रश्न के दो उत्तर हैं, एक सरल और एक जटिल। साधारण उत्तर यह है कि इस वर्ग शब्द सहित। पहनावा निष्ठा अधिक स्वाभाविक रूप से उलझाव निष्ठा से संबंधित है, जैसा कि नीचे परिभाषित किया गया है। अधिक जटिल जवाब क्वांटम जानकारी है, वर्तमान में, शैशवावस्था की स्थिति में और यह पूरी तरह से स्पष्ट नहीं है कि जानकारी के बिना 'सही' परिभाषाएं क्या हैं। संरक्षण है! फिर भी, जैसा कि हम अध्याय 12 में देखेंगे, पहनावा औसत निष्ठा और उलझी निष्ठा क्वांटम सूचना के एक समृद्ध सिद्धांत को जन्म देती है, जो हमें विश्वास दिलाता है कि ये उपाय सही रास्ते पर हैं,

अपने दूसरे प्रश्न का उत्तर देने के लिए कि क्यों न की निष्ठा को , "क्वांटम राज्यों के टुकड़ियों के बीच भेद के उपायों" में एक अच्छा बिंदु बताया गया है, जो मुझे लगता है कि PhysRevA में है, लेकिन यहाँ एक arxiv संस्करण है । $\bar{\rho}$

बिंदु जो उन्होंने पीजी 4 पर उल्लेख किया है, मान लीजिए कि आपके पास दो अनुरुप और जो समान पहनावा औसत घनत्व मैट्रिक्स के होते हैं, , फिर fidelity उनके बीच अंतर नहीं कर सकता। $rho$ $\sigma$ $\bar{\rho}=\bar{\sigma}$ $F(\bar{\rho},\bar{\sigma})$

अद्यतन 2: Re Mithrandir24601 गेट फ़िडेलिटी के लिए एक परिभाषा यह सोचने से प्रेरित है कि किसी दिए गए इनपुट स्थिति के लिए चैनल का सबसे खराब व्यवहार क्या है । $\mathcal{E}$

F_{m i n} = min_{| ψ ⟩} F (| ψ ⟩ ⟨ ψ |, E (| ψ ⟩ ⟨ ψ |)) \equiv min_{| ψ ⟩} F (| ψ ⟩, E (| ψ ⟩ ⟨ ψ |))

$F_{min}=\min_{|\psi\rangle}F(|\psi\rangle\langle\psi|,\mathcal{E}(|\psi\rangle\langle\psi|))\equiv\min_{|\psi\rangle}F(|\psi\rangle,\mathcal{E}(|\psi\rangle\langle\psi|))$

दोनों तर्कों में सहमति के कारण आप इस न्यूनतम स्थिति में शुद्ध राज्यों तक ही सीमित रह सकते हैं, दूसरे भाग में समानता सिर्फ नोटेशन है।

परिभाषित करने में कि गेट को कितनी अच्छी तरह से कार्यान्वित किया जाता है, एक चैनल द्वारा एक यूनिकिटी गेट सबसे खराब मामले को देखने के साथ-साथ एक चैनल द्वारा परिभाषित किया जा सकता है। $U$ $\mathcal{E}$

F (U, E) = min_{| ψ ⟩} F (U | ψ ⟩, E (| ψ ⟩ ⟨ ψ |))

$F(U,\mathcal{E})=\min_{|\psi\rangle}F(U|\psi\rangle,\mathcal{E}(|\psi\rangle\langle\psi|))$

आपके द्वारा दिए गए सूत्र और आपके द्वारा लिंक किए गए पेपर में, वे एक उचित माप साथ एकीकृत करते हैं । इससे मुझे लगता है कि इसे औसत फ़िडेलिटी रूप में माना जाना चाहिए , जिसे आप कल्पना कर सकते हैं कि यह व्यावहारिक प्रयोगों में अधिक उपयोगी हो सकता है, खासकर यदि आप प्रयोग दोहरा रहे हैं। संभवतः सटीक न्यूनतम हासिल करने की संभावना नहीं है। $\psi$ $^*$ $\bar{F}(U,\tilde{U})$

माइकल नील्सन द्वारा यहां एक पेपर का एक आर्काइव संस्करण है जहां वह औसत गेट निष्ठा के बारे में बात करते हैं।

एक गेट के लिए निष्ठा और गेट के औसत निष्ठा के बीच एकमात्र अतिरिक्त अंतर जिसका उल्लेख आपके द्वारा शुरू किए गए सूत्र बनाम बनाम है, ट्रेस का वर्ग है: आपके पास है। में के रूप में अद्यतन 1 कुछ लोगों का उपयोग करना पसंद के बजाय निष्ठा के रूप में , के रूप में यह माना जाता है कि उलझाव निष्ठा के लिए और अधिक आसानी से जोड़ा जा सकता है। मुझे ठीक से टिप्पणी करने के लिए थोड़ा और पढ़ने की ज़रूरत है। $[\operatorname{trace}]^2$ $F^2$ $F$

(( ) इसके अलावा : मुझे लगता है कि इसे 'हर उपाय' कहना भ्रामक हो सकता है, मैंने इसे कागजों में भी देखा है। जहाँ तक मुझे पता है, -डायमेंशनल हिल्बर्ट स्पेस के लिए आमतौर पर शुद्ध राज्यों का स्थान topologically है। जाहिरा तौर पर वे जिस उपाय का उपयोग करते हैं, वह भागफल पर एक नापाक से विरासत में मिला है या इसलिए मैंने यहां पढ़ा है: /physics//a/98869/41998 । $\,^*$ $\Bbb{CP}^n$ $n$ $U(n)$

— snulty
स्रोत

यह इस बात का एक उचित विवरण देता है कि यह राज्यों के लिए उपयोगी क्यों हो सकता है और उलझी निष्ठा के बारे में थोड़ा निश्चित रूप से दिलचस्प है, निश्चित है। हालाँकि, मुझे जो मुद्दा मिला है वह ( इस कागज के अनुसार ) है कि गेट्स के लिए एक ही काम करना उसी तरह से काम नहीं करता है। (कुछ और जब तक मैं याद कर रहा हूँ)

— Mithrandir24601

क्या आप उन दासों की निष्ठा का संदर्भ दे सकते हैं जिनका आप उल्लेख करते हैं? यह मिश्रित राज्य की निष्ठा से अलग क्यों है ?

\sum_{j} p_{j} ρ_{j}

$\sum_j p_j \rho_j$

— एम। स्टर्न

@ M.Stern मैंने अपनी टिप्पणियों को अपडेट में स्थानांतरित कर दिया है।

— स्नाइपर

@ Mithrandir24601 उत्तर के लिए धीमा होने के लिए क्षमा याचना, मैं आपके द्वारा लिंक किए गए पेपर को पढ़ने और प्रतिक्रिया लिखने के लिए समय खोजने की कोशिश कर रहा हूं! अद्यतन 2 देखें।

— 11:26 पर फैकल्टी

अपनी तरफ के लिए, आप सही हैं - मैं सिर्फ एक आलसी भौतिक विज्ञानी हूं। यह है (मेरी जानकारी के लिए) एक हार उपाय, लेकिन यह 'राज्यों में हार उपाय' एक बुला है, हाँ, बिल्कुल सबसे तकनीकी रूप से सही बयान कभी ... क्या थोड़ा अधिक चिंता है कि arXiv वर्तमान में बंद हो गया है है :(

— Mithrandir24601