क्वांटम ट्यूरिंग मशीन में, मेमोरी टेप के साथ स्थानांतरित करने का निर्णय कैसे किया जाता है?

Question

एक क्वांटम ट्यूरिंग मशीन (क्यूटीएम) के लिए, राज्य सेट होना चाहिए , और प्रतीकों की वर्णमाला होनी चाहिए , जो टेप सिर पर दिखाई देती है। फिर, मेरी समझ के अनुसार, किसी भी समय क्यूटीएम की गणना करते समय, उसके सिर पर दिखाई देने वाली एक मनमाना वेक्टर । इसके अलावा, अगर | q_0 \ rangle; Q में q_1 \ rangle, ... \ , तो उस स्थिति में स्टेट वेक्टर भी एक मनमाना वेक्टर V_q = b_0 होगा। q_0 \ rangle + b_1। Q_ \ rangle + ... |Σ = { 0 , 1 } वी Σ = एक | 1 ⟩ + ख | 0 ⟩ | क्यू 0 ⟩ , | क्यू 1 ⟩ , । । । ∈ क्यू वी क्यू = बी ० | क्यू 0 ⟩ + ख 1 | क्यू 1 ⟩ + । । $Q$$\sum=\{0,1\}$$V_\sum = a|1\rangle+b|0\rangle$$|q_0\rangle , |q_1\rangle, ... \in Q$$V_q=b_0|q_0\rangle + b_1 |q_1\rangle+ ...$

अब, निर्देश चक्र पूरा होने के बाद, वैक्टर V_ $V_\sum$ और $V_q$ तय करेंगे कि क्यूटीएम Qubit टेप के साथ बाएँ या दाएँ जाएगा। मेरा सवाल यह है कि चूंकि क्यू \ ओटाइम्स \ _ द्वारा गठित हिल्बर्ट स्पेस $Q \otimes \sum$एक बेशुमार अनंत सेट है और $\{\text{Left,Right}\}$ एक असतत सेट है, उनके बीच की मैपिंग बनाना मुश्किल होगा।

तो बाएं या दाएं किए गए स्थानांतरित करने का निर्णय कैसे किया जाता है? क्या क्यूटीएम एक ही समय में बाएँ और दाएँ दोनों को घुमाता है, जिसका अर्थ है कि सेट $\{\text{Left,Right}\}$ भी एक अलग हिल्बर्ट स्पेस बनाता है, और इसलिए क्यूटीएम की गति कुछ ऐसी हो जाती है जैसे $a|\text{Left}\rangle+b|\text{Right}\rangle$ ।

या, एक शास्त्रीय ट्यूरिंग मशीन की तरह, क्यूटीएम या तो बाएं या दाएं चलता है, लेकिन एक ही समय में दोनों नहीं?

Comments

देखें कि क्या यह क्यूटीएम की गणना

— समुद्री डाकू एक्स

@PirateX मैंने वह पोस्ट पढ़ी है, लेकिन मुझे समझ नहीं आ रहा है कि क्यूटीएम की आंतरिक अवस्था क्लासिकल इकाई है या क्वांटम। क्या यह विभिन्न आंतरिक राज्यों के सुपरपोजिशन में जा सकता है? इसके अलावा, एक क्यूटीएम एक ही समय में मेमोरी टेप के साथ बाएं और दाएं दोनों को स्थानांतरित कर सकता है? $Q$

— प्रेम कुमार

Answer 1

यदि हमारे पास एक क्यूटीएम है जिसमें राज्य सेट और एक टेप वर्णमाला , तो हम यह नहीं कह सकते हैं कि टेप हेड द्वारा स्कैन की जाने वाली क्वाइंट एक सदिश रखती है। या वह (आंतरिक) अवस्था एक वेक्टर है जिसका आधार अनुरूप है । टेप पर बटनों को एक दूसरे के साथ और आंतरिक स्थिति के साथ, साथ ही टेप सिर की स्थिति के साथ सहसंबद्ध किया जा सकता है।Σ = { 0 , 1 } एक | 0 ⟩ + ख | 1 ⟩ $Q$$\Sigma = \{0,1\}$$a|0\rangle + b|1\rangle$$Q$

सादृश्य के रूप में, हम स्वतंत्र रूप से आंतरिक स्थिति और प्रत्येक टेप वर्ग के लिए एक वितरण निर्दिष्ट करके एक संभाव्य ट्यूरिंग मशीन की वैश्विक स्थिति का वर्णन नहीं करेंगे। बल्कि, हमें मशीन के विभिन्न हिस्सों के बीच सहसंबंधों को ठीक से दर्शाने के लिए सब कुछ एक साथ वर्णित करना होगा। उदाहरण के लिए, दो दूर के टेप वर्गों में संग्रहीत बिट्स पूरी तरह से सहसंबद्ध हो सकते हैं, दोनों की संभावना १/२ के साथ और दोनों १ की प्रायिकता १/२ के साथ।

इसलिए, क्वांटम मामले में, और यह मानकर कि हम क्वांटम ट्यूरिंग मशीनों की शुद्ध अवस्थाओं के बारे में बात कर रहे हैं, जिसमें एकात्मक (उदाहरण के लिए मिश्रित राज्यों के आधार पर अधिक सामान्य मॉडल के विपरीत) वैश्विक वेक्टर का प्रतिनिधित्व किया जाता है, जिसकी प्रविष्टियाँ अनुक्रमित होती हैं। ट्यूरिंग मशीन के विन्यास (यानी, आंतरिक स्थिति के शास्त्रीय विवरण, टेप सिर का स्थान और हर टेप वर्ग की सामग्री)। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि हम आम तौर पर मानते हैं कि टेप वर्णमाला में एक विशेष रिक्त प्रतीक है (जो 0 हो सकता है अगर हम चाहते हैं कि हमारे टेप वर्ग कोटे को स्टोर करें) और हम सबसे कम से कम कई वर्गों के गैर-रिक्त होने के साथ गणना शुरू करते हैं, ताकि सभी पहुंच योग्य विन्यासों का सेट गणनीय हो। इसका मतलब यह है कि राज्य को एक अलग हिल्बर्ट अंतरिक्ष में एक इकाई वेक्टर द्वारा दर्शाया जाएगा।

अंत में, और शायद यह शाब्दिक रूप से व्याख्या किए गए प्रश्न का वास्तविक उत्तर है, टेप हेड की गति को संक्रमण फ़ंक्शन द्वारा निर्धारित किया जाता है, जो प्रत्येक संभावित कार्रवाई (नया राज्य, नया प्रतीक और टेप हेड आंदोलन) को "आयाम" प्रदान करेगा। ) प्रत्येक शास्त्रीय जोड़ी के लिए वर्तमान स्थिति का प्रतिनिधित्व करता है और वर्तमान में स्कैन किया हुआ प्रतीक है। कुछ भी टेप सिर को निर्धारित रूप से स्थानांतरित करने के लिए मजबूर नहीं करता है - एक गैर-अक्षीय आयाम को दो या दो से अधिक कार्यों को सौंपा जा सकता है जिसमें बाएं और दाएं दोनों के लिए टेप सिर आंदोलनों शामिल हैं - इसलिए एक क्यूटीएम टेप सिर के लिए बाएं और दाएं दोनों को स्थानांतरित करना संभव है। superposition।$(q,\sigma)$

उदाहरण के लिए, आप और साथ एक क्यूटीएम की कल्पना कर सकते हैंΣ = { ० , १ $Q = \{0,1\}$$\Sigma = \{0,1\}$(और हम खाली प्रतीक होने के लिए 0 लेंगे)। हम राज्य में शुरू करते हैं 0 एक वर्ग को स्कैन करता है जो 1 स्टोर करता है, और अन्य सभी स्क्वायर स्टोर 0. मैं संक्रमण फ़ंक्शन को स्पष्ट रूप से नहीं लिखूंगा, लेकिन सिर्फ शब्दों में व्यवहार का वर्णन करेगा। प्रत्येक चाल पर, स्कैन किए गए टेप वर्ग की सामग्री को आंतरिक अवस्था पर एक हैमर्ड ऑपरेशन के लिए नियंत्रण बिट के रूप में व्याख्या की जाती है। नियंत्रित-हैडमार्ड किए जाने के बाद, यदि (नया) राज्य 0 है, तो हेड बायीं ओर चलता है और दायां चलता है यदि (नया) अवस्था 1. है (इस उदाहरण में हम वास्तव में टेप की सामग्री को कभी नहीं बदलते हैं।) एक कदम के बाद। क्यूटीएम टेप हेड स्कैनिंग स्क्वायर -1 के साथ राज्य 0 में होने के बीच और टेप हेड स्कैनिंग स्क्वायर +1 के साथ राज्य 1 में होने के बीच एक समान भारित सुपरपोजिशन में होगा। बाद की सभी चालों पर नियंत्रित-हाडमार्ड कुछ नहीं करता है क्योंकि वर्ग 0 से अलग हर वर्ग में 0 प्रतीक होता है। इसलिए टेप हेड बाएं और दाएं दोनों तरफ एक साथ चलते रहेंगे, जैसे कि सुपरपोजिशन में बाईं ओर दाईं ओर जाने वाला कण।

यदि आप चाहते थे, तो आप निश्चित रूप से क्वांटम ट्यूरिंग मशीन मॉडल के एक प्रकार को परिभाषित कर सकते हैं जिसके लिए टेप हेड लोकेशन और मूवमेंट नियतात्मक है, और यह मॉडल की कम्प्यूटेशनल सार्वभौमिकता को बर्बाद नहीं करेगा, लेकिन क्वांटम ट्यूरिंग की "क्लासिक" परिभाषा। मशीनें इस प्रतिबंध को नहीं लगाती हैं।

Comments

@Premkumar: इस उत्तर के लिए एक फुटनोट के रूप में --- यदि आप क्यूटीएम के इस खाते के लिए एक आधिकारिक संदर्भ की तलाश कर रहे हैं, तो विचार करने के लिए एक अच्छी जगह बर्नस्टीन और वाज़िरानी (पीआरसी। 25 वें वार्षिक) द्वारा सेमिनल कार्य "क्वांटम जटिलता सिद्धांत" होगा। ACM STOC (pp.1411-1473), 1997 [ citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.144.7852 ] पर नि: शुल्क पीडीएफ लिंक । जॉन की उपरोक्त सभी टिप्पणियां मूल रूप से परिभाषा 3.2 पर विस्तार से हैं। उस लेख में, और उसी धारा में कुछ चर्चा।

— नील दे ब्यूड्राप

@ निएल: मुझे यकीन नहीं है कि आप एक टिप्पणी संपादित कर सकते हैं, लेकिन जैसा कि मुझे यकीन है कि आपको बर्नस्टीन और वाज़िरानी के पेपर का सम्मेलन संस्करण 1993 में नहीं 1997 में दिखाई दिया था। 1997 का पत्रिका संस्करण SIAM जर्नल ऑफ़ कंप्यूटिंग में दिखाई दिया (में) वास्तव में क्वांटम कंप्यूटिंग पर एक विशेष स्मारक मुद्दा)।

— जॉन वाटरस

पर्याप्त रूप से सच है, और यहां तक ​​कि निशुल्क पीडीएफ लिंक वर्ष 1993 का वर्णन करता है; मुझे लगता है कि कुछ तार पार हो गए हैं। (टिप्पणियाँ 10 मिनट तक संपादित की जा सकती हैं।)

— नील डी बेउड्रैप 5'18

@ नीलदेब्यूड्रैप लघु सुधार: 5 मिनट तक :) (सामान्य उपयोगकर्ताओं के लिए)। मोड कभी भी टिप्पणी संपादित कर सकते हैं।

— सांच्यन दत्ता

Answer 2

क्वांटम ट्यूरिंग मशीन कर सकते हैं छोड़ दिया और सही हिलाने की एक superposition में कदम। यह क्लासिकल ट्यूरिंग मशीन से अलग है जो केवल बाएं या दाएं चलती है।