Wiesner की क्वांटम मनी के लिए कठोर सुरक्षा प्रमाण

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अपने प्रसिद्ध पत्र " कंजुगेट कोडिंग " (1970 के आसपास लिखित) में, स्टीफन विस्नर ने क्वांटम मनी के लिए एक ऐसी योजना प्रस्तावित की, जो नकली रूप से असंभव है, यह मानते हुए कि जारीकर्ता बैंक के पास यादृच्छिक संख्याओं की एक विशाल तालिका तक पहुंच है और उसे बैंक नोट वापस लाया जा सकता है। सत्यापन के लिए बैंक को विएस्नेर की योजना में, प्रत्येक नोट एक शास्त्रीय "सीरियल नंबर" के होते , एक साथ एक लंबी पैसा राज्य के साथ से मिलकर unentangled qubits, हर एक या तो $s$ $|\psi_s\rangle$ $n$

| 0 ⟩, | 1 ⟩, | + ⟩ = (| 0 ⟩ + | 1 ⟩) / \sqrt{2}, or | - ⟩ = (| 0 ⟩ - | 1 ⟩) / \sqrt{2} .

$|0\rangle,\ |1\rangle,\ |+\rangle=(|0\rangle+|1\rangle)/\sqrt{2},\ \text{or}\ |-\rangle=(|0\rangle-|1\rangle)/\sqrt{2}.$

बैंक को प्रत्येक लिए का शास्त्रीय विवरण याद है । और इसलिए, जब / को सत्यापन के लिए बैंक में वापस लाया जाता है, तो बैंक सही आधार में प्रत्येक को माप सकता है (या तो या) ), और जाँचें कि यह सही परिणाम प्राप्त करता है। $|\psi_s\rangle$ $s$ $|\psi_s\rangle$ $|\psi_s\rangle$ $\{|0\rangle,|1\rangle\}$ $\{|+\rangle,|-\rangle\}$

दूसरी ओर, अनिश्चितता के संबंध के कारण (या वैकल्पिक रूप से, नो-क्लोनिंग प्रमेय), यह "सहज रूप से स्पष्ट" है कि, अगर एक नकली जो सही ठिकानों को नहीं जानता है वह कॉपी करने की कोशिश करता है , तो संभावना है कि दोनों जालसाज़ी के उत्पादन राज्य पास करते हैं बैंक का सत्यापन परीक्षण कुछ निरंतर के लिए सबसे अधिक पर हो सकता है । इसके अलावा, यह इस बात पर ध्यान दिए बिना होना चाहिए कि क्वांटम यांत्रिकी के अनुरूप किस रणनीति का उपयोग करता है (उदाहरण के लिए, भले ही नकली फैंसी उलझी मापों का उपयोग करता है )। $|\psi_s\rangle$ $c^n$ $c<1$ $|\psi_s\rangle$

हालाँकि, अन्य क्वांटम मनी स्कीमों के बारे में एक पेपर लिखते समय, मेरे कोथोर और मैंने महसूस किया कि हमने कभी भी उपरोक्त दावे का कोई पुख्ता प्रमाण कहीं भी नहीं देखा है या पर एक स्पष्ट ऊपरी सीमा : न तो विस्नर के मूल पेपर में और न ही बाद में किसी में। $c$

तो, क्या इस तरह के प्रमाण ( पर एक ऊपरी सीमा के साथ ) प्रकाशित किए गए हैं? यदि नहीं, तो क्या कोई इस तरह के प्रमाण को अधिक-या-कम सीधे तरीके से (कह) नो-क्लोनिंग प्रमेय के अनुमानित संस्करणों से प्राप्त कर सकता है, या BB84 क्वांटम कुंजी वितरण योजना की सुरक्षा के बारे में परिणाम प्राप्त कर सकता है? $c$

मुझे शायद यह स्पष्ट करना चाहिए कि मैं BB84 की सुरक्षा से सिर्फ एक कमी से अधिक की तलाश कर रहा हूं। बल्कि, मैं सफल जालसाजी की संभावना पर एक स्पष्ट ऊपरी सीमा की तलाश कर रहा हूं (यानी, पर ) --- और आदर्श रूप से, यह भी कुछ समझ है कि इष्टतम जालसाजी की रणनीति क्या दिखती है। Ie, इस आधार पर इष्टतम रणनीति बस प्रत्येक qubit of स्वतंत्र रूप से है $c$ $|\psi_s\rangle$

{\cos (π / 8) | 0 ⟩ + \sin (π / 8) | 1 ⟩, \sin (π / 8) | 0 ⟩ - \cos (π / 8) | 1 ⟩} ?

$\{ \cos(\pi/8)|0\rangle+\sin(\pi/8)|1\rangle, \sin(\pi/8)|0\rangle-\cos(\pi/8)|1\rangle \}?$

या एक उलझा हुआ जालसाजी की रणनीति है जो बेहतर है?

अभी, सबसे अच्छी जालसाजी की रणनीतियाँ जो मुझे पता है कि (a) ऊपर की रणनीति है, और (b) वह रणनीति जो प्रत्येक बटुए को आधार पर और "उम्मीद है" श्रेष्ठ।" दिलचस्प बात यह है कि, ये दोनों रणनीतियाँ की सफलता की संभावना को प्राप्त करने के लिए बदल जाती हैं । तो, इस समय मेरा अनुमान है कि सही उत्तर हो सकता है। किसी भी स्थिति में, तथ्य यह है कि एक निचली सीमा है , जो कि विस्नर की योजना के लिए किसी भी सुरक्षा तर्क के नियमों पर आधारित है, जो कि "बहुत" सरल है (उदाहरण के लिए, इस आशय का कोई भी तर्क कि कुछ भी ऐसा नहीं है जो एक जालसाज़ी कर सकता है और इसलिए सही उत्तर 1/2 है $\{|0\rangle,|1\rangle\}$ $(5/8)$ ^$n$ $(5/8)$ ^$n$ $5/8$ $c=1/2$ )।

— DIDIx13
स्रोत

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नहीं, सही उत्तर नहीं है।

(5 / 8)^{n}

$(5/8)^n$

— पीटर शोर

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हाबिल मोलिना, थॉमस विडिक, और मैंने साबित किया कि इस पेपर में सही उत्तर 3/4 है : $c=3/4$

ए। मोलिना, टी। विडिक और जे। वॉट्रस विसेनर के क्वांटम मनी के लिए इष्टतम जालसाजी के हमले और सामान्यीकरण। क्वांटम कम्प्यूटेशन, संचार, और क्रिप्टोग्राफी के सिद्धांत पर 7 वें सम्मेलन की कार्यवाही, कंप्यूटर विज्ञान में व्याख्यान नोट्स की मात्रा 7582, पृष्ठ 45-64, 2013। (यह भी देखें arXiv: 1202.4010।)

यह माना जाता है कि नकली का उपयोग करता है जिसे हम "साधारण जालसाजी का हमला" कहते हैं, जिसका अर्थ है कि एक धनराशि की एक प्रति को दो राज्यों में बदलने का प्रयास। (मैं इस तरह के हमलों के बारे में आपके प्रश्न की व्याख्या करता हूं।)

Brodutch, Nagaj, Sattath, और Unruh के हमले का जो @Rob ने उल्लेख किया है (और जो मेरी राय में एक शानदार परिणाम है) के लिए जालसाज़ को बार-बार बैंक के साथ बातचीत करने की आवश्यकता होती है और मान लिया जाता है कि बैंक उसी पैसे की स्थिति के साथ जालसाजी प्रदान करेगा प्रत्येक सत्यापन।

पेपर इष्टतम चैनल का वर्णन करता है, जो एक उलझाव तोड़ने वाला नहीं है (यानी, माप और तैयार) चैनल। यह एक का एक उदाहरण है, और स्पष्ट रूप से यह इस तरह दिखता है: जहां

Φ (ρ) = A_{0} ρ A_{0}^{†} + A_{1} ρ A_{1}^{†}

$\Phi(\rho) = A_0 \rho A_0^{\dagger} + A_1 \rho A_1^{\dagger}$

A_{0} = \frac{1}{\sqrt{12}} (\begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) and A_{1} = \frac{1}{\sqrt{12}} (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix}) .

$A_0 = \frac{1}{\sqrt{12}} \begin{pmatrix} 3 & 0\\ 0 & 1\\ 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \quad\text{and}\quad A_1 = \frac{1}{\sqrt{12}} \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0\\ 1 & 0\\ 0 & 3 \end{pmatrix}.$

धन राज्यों के विभिन्न सेटों और योग्यता के आंकड़ों के लिए, आप विभिन्न इष्टतम मूल्यों और क्लोनर्स के साथ समाप्त हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि धन राज्यों में शामिल हैं , फिर Bužek-Hillery क्लोनर इष्टतम है और ड्रॉप का सही मान 2/3 है। $| 0\rangle \pm i |1\rangle$ $c$

— जॉन वॉट्रस
स्रोत

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"मैं सफल जालसाजी की संभावना पर एक स्पष्ट ऊपरी सीमा की तलाश कर रहा हूं ..."।

" व्हेनर के क्वांटम मनी पर एक अनुकूली हमले " में, अहरोन ब्रूडच, डैनियल नागाज, या सटथ और डोमिनिक उक्रुह द्वारा अंतिम बार 10 मई 2016 को संशोधित किया गया, लेखक दावा करते हैं: ~ 100% "।

कागज ये दावा करता है:

मुख्य परिणाम। हम दिखाते हैं कि विस्नर की स्कीम के सख्त परीक्षण संस्करण में (अर्थात, यदि केवल वैध धन स्वामी को लौटाया जाता है), एक एकल मान्य क्वांटम मनी स्टेट , एक नकली दिया। कुशलता से वह अपनी इच्छानुसार की कई प्रतियाँ बनाता है (इसलिए, योजना असुरक्षित है )। वह सुरक्षा के लिए क्वांटम ज़ेनो प्रभाव पर भरोसा कर सकता है - यदि वह केवल क्वांटम मनी स्टेट को थोड़ा परेशान करता है, तो बिल को परीक्षण के बाद मूल राज्य में वापस पेश किए जाने की संभावना है। दिलचस्प है, यह एक जालसाज को चार अलग-अलग qubit राज्यों को एक मनमाने ढंग से पकड़े जाने की छोटी संभावना के साथ भेद करने की अनुमति देता है । $(s,\left|\$_s\right>)$ $\left|\$_s\right>$

...

इस पत्र में, हमने एक नीरव वातावरण में विस्नर के धन पर ध्यान केंद्रित किया है। यही है, बैंक पैसे को अस्वीकार कर देता है अगर एक भी qubit गलत तरीके से मापा जाता है। में एक और अधिक यथार्थवादी सेटिंग , हम शोर से निपटने के लिए, और बैंक त्रुटियों की एक सीमित मात्रा में सहन करने के लिए चाहते हो जाएगा क्वांटम राज्य [PYJ + 12] में कहते हैं, 10%।

यह भी देखें: " क्वांटम बिटकॉइन: एक बेनामी और वितरित मुद्रा जो क्वांटम मैकेनिक्स के नो-क्लोनिंग प्रमेय द्वारा सुरक्षित है ", जोनाथन जोजफोरस द्वारा, 5 अप्रैल 2016, जहां उन्होंने विसनर की योजना पर चर्चा की और अपने स्वयं के एक प्रस्ताव रखा।

— लूटना
स्रोत