क्या ग्रोवर का एल्गोरिदम काम करता है इसके लिए एक आम आदमी की व्याख्या है?

Question

स्कॉट आरोनसन द्वारा यह ब्लॉगपोस्ट शोर के एल्गोरिथ्म का एक बहुत ही उपयोगी और सरल विवरण है ।

: अगर वहाँ दूसरा सबसे प्रसिद्ध क्वांटम एल्गोरिथ्म के लिए इस तरह के एक व्याख्या है मैं सोच रहा हूँ ग्रोवर एल्गोरिथ्म एक खोज करने के लिए अव्यवस्थित आकार के डेटाबेस $O(n)$ में समय।$O(\sqrt{n})$

विशेष रूप से, मैं चल रहे समय के शुरू में आश्चर्यजनक परिणाम के लिए कुछ समझने योग्य अंतर्ज्ञान देखना चाहूंगा!

Answer 1

वहाँ क्रेग Gidney से एक अच्छा विवरण है यहाँ (वह भी एक सर्किट सिम्युलेटर सहित अन्य महान सामग्री है, पर अपने ब्लॉग )।

अनिवार्य रूप से, ग्रोवर का एल्गोरिथ्म तब लागू होता है जब आपके पास एक फ़ंक्शन होता है जो Trueइसके संभावित आदानों में से एक के Falseलिए और अन्य सभी के लिए वापस लौटता है। एल्गोरिथ्म का काम है कि वह जो खोजता है उसे वापस लौटाए True।

ऐसा करने के लिए हम इनपुट को थोड़ा स्ट्रिंग्स के रूप में व्यक्त करते हैं, और इनका उपयोग करते हुए एन्कोड करते हैं $|0\rangle$ और $|1\rangle$ qubits के एक स्ट्रिंग के राज्यों। इसलिए बिट स्ट्रिंग 0011को चार क्विट अवस्था में एन्कोड किया जाएगा $|0011\rangle$उदाहरण के लिए 0011 for ।

हमें क्वांटम गेट्स का उपयोग करके फ़ंक्शन को लागू करने में भी सक्षम होना चाहिए। विशेष रूप से, हमें फाटकों के एक अनुक्रम को खोजने की आवश्यकता है जो एक एकात्मक $U$ को लागू करेगा जैसे कि

$U | a \rangle = - | a \rangle, \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, U | b \rangle = | b \rangle$

जहां $a$ बिट स्ट्रिंग है जिसके लिए फ़ंक्शन वापस आ जाएगा Trueऔर $b$ कोई भी है जिसके लिए वह वापस आ जाएगा False।

अगर हम सभी संभव बिट स्ट्रिंग्स के एक सुपरपोजिशन के साथ शुरू करते हैं, जो कि सिर्फ हेडमेयरिंग के द्वारा सब कुछ करना बहुत आसान है, सभी इनपुट 1 के समान आयाम से शुरू होते हैं$\frac{1}{\sqrt{2^n}}$ (जहां$n$बिट स्ट्रिंग्स की लंबाई है जिसे हम खोज रहे हैं, और इसलिए हम जितने क्वैट्स का उपयोग कर रहे हैं)। लेकिन यदि हम फिर ओरेकल$U$लागू करते हैं, तो हम जिस राज्य की तलाश कर रहे हैं उसका आयाम-1 मेंबदल जाएगा$-\frac{1}{\sqrt{2^n}}$ ।

यह कोई भी आसानी से देखने योग्य अंतर नहीं है, इसलिए हमें इसे बढ़ाना होगा। ऐसा करने के लिए हम ग्रोवर डिफ्यूजन ऑपरेटर , $D$ उपयोग करते हैं । इस ऑपरेटर का प्रभाव अनिवार्य रूप से यह देखने के लिए है कि प्रत्येक आयाम माध्य आयाम से अलग कैसे है, और फिर इस अंतर को उल्टा करें। इसलिए यदि एक निश्चित आयाम औसत आयाम से एक निश्चित मात्रा में बड़ा होता है, तो यह औसत से कम मात्रा में समान हो जाएगा, और इसके विपरीत।

विशेष रूप से, यदि आपके पास बिट स्ट्रिंग्स $b_j$ का सुपरपोजिशन है , तो प्रसार ऑपरेटर का प्रभाव होता है

$D: \,\,\,\, \sum_j \alpha_j \, | b_j \rangle \,\,\,\,\,\, \mapsto \,\,\,\,\,\, \sum_j (2\mu \, - \, \alpha_j) \, | b_j \rangle$

जहां $\mu = \sum_j \alpha_j$ है मतलब आयाम। किसी भी आयाम तो $\mu + \delta$ में बदल जाता है $\mu - \delta$ । यह देखने के लिए कि इसका प्रभाव क्यों है, और इसे कैसे लागू किया जाए, इन व्याख्यान नोटों को देखें ।

अधिकांश एम्पलीट्यूड माध्य (एकल - 1 के प्रभाव के कारण) से थोड़ा छोटा होगा$-\frac{1}{\sqrt{2^n}}$ ), इसलिए वे इस ऑपरेशन के माध्यम से एक छोटे से कम हो जाएंगे। बड़ा बदलाव नहीं।

हम जिस राज्य की तलाश कर रहे हैं, वह अधिक मजबूती से प्रभावित होगा। इसका आयाम माध्य से बहुत कम है, और इसलिए प्रसार संचालक लागू होने के बाद इसका अर्थ बहुत अधिक हो जाएगा। प्रसार संचालक का अंतिम प्रभाव इसलिए उन राज्यों पर हस्तक्षेप प्रभाव पैदा करता है जो 1 के आयाम को छोड़ते हैं$\frac{1}{\sqrt{2^n}}$सभी गलत उत्तरों से 2 एन और इसे दाईं ओर जोड़ता है। इस प्रक्रिया को दोहराने से, हम जल्दी से उस बिंदु पर पहुंच सकते हैं जहां हमारा समाधान भीड़ से बाहर खड़ा है ताकि हम इसे पहचान सकें।

बेशक, यह सब यह दिखाने के लिए जाता है कि सभी काम प्रसार संचालक द्वारा किया जाता है। खोज केवल एक अनुप्रयोग है जिसे हम इससे कनेक्ट कर सकते हैं।

कार्यों और प्रसार ऑपरेटर कैसे कार्यान्वित किए जाते हैं, इस बारे में जानकारी के लिए अन्य प्रश्नों के उत्तर देखें ।

Answer 2

मुझे बहुत अधिक तकनीकी प्राप्त किए बिना कुछ अंतर्दृष्टि देने के लिए एक ग्राफिकल दृष्टिकोण काफी अच्छा लगता है। हमें कुछ इनपुट चाहिए:

• हम एक राज्य का उत्पादन कर सकते हैं चिह्नित ’राज्य के साथ गैर-शून्य ओवरलैप के साथ | एक्स ⟩ : ⟨ x | ψ ⟩ ≠ 0 ।$|\psi\rangle$$|x\rangle$$\langle x|\psi\rangle\neq 0$
• हम एक ऑपरेशन को लागू कर सकते $U_1=-(\mathbb{I}-2|\psi\rangle\langle\psi|)$
• हम एक ऑपरेशन को लागू कर सकते हैं ।$U_2=\mathbb{I}-2|x\rangle\langle x|$

यह अंतिम ऑपरेशन वह है जो हमारे चिह्नित आइटम को -1 चरण के साथ चिह्नित कर सकता है। हम भी एक राज्य को परिभाषित कर सकते हैं होना | x the ऐसा कि { | एक्स ⟩ , | ψ ⊥ ⟩ } की अवधि के लिए एक orthonormal आधार बनाता है { | एक्स ⟩ , | ψ ⟩ } । हमारे द्वारा निर्धारित किए गए दोनों ऑपरेशन इस स्थान को संरक्षित करते हैं: आप { | एक्स ⟩ , | ψ ⊥ ⟩ $|\psi^\perp\rangle$$|x\rangle$$\{|x\rangle,|\psi^\perp\rangle\}$$\{|x\rangle,|\psi\rangle\}$$\{|x\rangle,|\psi^\perp\rangle\}$, और वे अवधि के भीतर एक राज्य लौटाते हैं। इसके अलावा, दोनों एकात्मक हैं, इसलिए इनपुट वेक्टर की लंबाई संरक्षित है।

$|\psi^\perp\rangle$$|x\rangle$

$|\psi\rangle$$|x\rangle$$|\psi^\perp\rangle$$|\psi\rangle$$|\psi\rangle$$|\psi^\perp\rangle$$\theta$

अब आइए एक पल के लिए सोचें कि हमारे दो एकात्मक कार्य क्या करते हैं। दोनों में एक-एक eigenvalue, और अन्य सभी eigenvalues ​​+1 हैं। हमारे दो आयामी उप-स्थान में, जो +1 eigenvalue और -1 eigenvalue को कम करता है। इस तरह के एक ऑपरेशन +1 eigenvector द्वारा परिभाषित अक्ष में एक प्रतिबिंब है। इसलिए,$U_1$ में एक प्रतिबिंब है $|\psi\rangle$ अक्ष, जबकि $U_2$ में एक प्रतिबिंब है $|\psi^\perp\rangle$ एक्सिस।

अब, इस स्थान पर एक मनमाना वेक्टर लें, और आवेदन करें $U_2$ के बाद $U_1$। शुद्ध प्रभाव यह है कि वेक्टर एक कोण से घुमाया जाता है$2\theta$ की तरफ $|x\rangle$ एक्सिस।

तो, अगर आप से शुरू करते हैं $|\psi\rangle$, आप इसे पर्याप्त रूप से कई बार दोहरा सकते हैं, और एक कोण में प्राप्त कर सकते हैं $\theta$ का $|x\rangle$। इस प्रकार, जब हम उस स्थिति को मापते हैं, तो हमें मूल्य मिलता है$x$ उच्च संभावना के साथ।

अब हमें स्पीड-अप को खोजने के लिए थोड़ी देखभाल की आवश्यकता है। मान लें कि खोजने की संभावना$|x\rangle$ में $|\psi\rangle$ है $p\ll 1$। इसलिए, शास्त्रीय रूप से, हमें इसकी आवश्यकता होगी$O(1/p)$इसे खोजने का प्रयास करता है। हमारे क्वांटम परिदृश्य में, हमारे पास वह है$\sqrt{p}=\sin\theta\approx\theta$ (जबसे $\theta$ छोटा है), और हम कई रन चाहते हैं $r$ ऐसा है कि $\sin((2r+1)\theta)\approx 1$। इसलिए,$r\approx \frac{\pi}{2\theta}\approx \frac{\pi}{2\sqrt{p}}$। आप स्क्वायर-रूट स्पीड-अप को वहीं देख सकते हैं।

Answer 3

कैसे (और इसलिए क्यों) ग्रोवर का एल्गोरिथ्म काम करता है के लिए सरल व्याख्या यह है कि एक क्वांटम गेट केवल संभावना फेरबदल (या अन्यथा वितरित) संभाव्यता आयाम कर सकता है। कम्प्यूटेशनल आधार के सभी राज्यों के लिए समान संभावना वाले आयामों के साथ एक प्रारंभिक अवस्था का उपयोग करना, एक के आयाम के साथ शुरू होता है$1/\sqrt{N}$। यह प्रत्येक पुनरावृत्ति में वांछित (समाधान) राज्य में "जोड़ा" जा सकता है, जैसे कि उसके बाद$\sqrt{N}$ पुनरावृत्तियों एक संभावना आयाम पर आता है $1$ अर्थ वांछित राज्य आसुत हो गया है।