क्वांटम कंप्यूटरों को अभाज्य कारकों की गणना करने में क्या अच्छा लगता है?

Question

क्वांटम कंप्यूटर के बारे में आम दावों में से एक पारंपरिक क्रिप्टोग्राफी को "ब्रेक" करने की उनकी क्षमता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि पारंपरिक क्रिप्टोग्राफी प्रमुख कारकों पर आधारित है, कुछ ऐसा है जो पारंपरिक कंप्यूटरों की गणना के लिए कम्प्यूटेशनल रूप से महंगा है, लेकिन जो क्वांटम कंप्यूटर के लिए एक कथित रूप से तुच्छ समस्या है।

क्वांटम कंप्यूटरों की कौन सी संपत्ति उन्हें इस कार्य के लिए इतना सक्षम बनाती है जहाँ पारंपरिक कंप्यूटर विफल हो जाते हैं और कैसे अभाज्य कारकों की गणना करने की समस्या को लागू किया जाता है?

Answer 1

संक्षिप्त उत्तर

$\newcommand{\modN}[1]{#1\,\operatorname{mod}\,N}\newcommand{\on}[1]{\operatorname{#1}}$क्वांटम कंप्यूटर्स किसी भी ज्ञात शास्त्रीय समकक्ष की तुलना में तेजी से फैक्टरिंग के लिए एक एल्गोरिथ्म के सबरूटीन्स को चलाने में सक्षम हैं। इसका मतलब यह नहीं है कि शास्त्रीय कंप्यूटर यह तेजी से भी नहीं कर सकते हैं, हम सिर्फ आज के शास्त्रीय एल्गोरिदम के लिए क्वांटम एल्गोरिदम के रूप में कुशल चलाने का एक तरीका नहीं जानते हैं

लंबा जवाब

क्वांटम कंप्यूटर असतत फूरियर ट्रांसफॉर्म में अच्छे हैं। यहाँ पर बहुत कुछ है जो केवल " यह समानांतर है " या " यह त्वरित है " द्वारा कैप्चर नहीं किया गया है " , तो चलो जानवर के खून में मिलें।

फैक्टरिंग समस्या निम्नलिखित है: एक नंबर को देखते हुए जहां पी , क्यू अभाज्य हैं, तुम कैसे ठीक हो करते पी और क्यू ? एक दृष्टिकोण निम्नलिखित पर ध्यान देना है:$N = pq$$p,q$$p$$q$

अगर मैं एक नंबर x को देखता हूं , फिर या तो एक्स एन के साथ एक सामान्य कारक साझाकरता है, या यह नहीं करता है।$\modN{x}$$x$$N$

यदि एक सामान्य कारक को साझा करता है, और स्वयं N के एक से अधिक नहीं है, तो हम आसानी से x और N के सामान्य कारकों के लिए पूछ सकते हैं$x$$N$$x$$N$ हैं (सबसे बड़े सामान्य कारकों के लिए यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म के माध्यम से)।

अब इतना स्पष्ट तथ्य नहीं है: सभी का सेट जो एन के साथ एक सामान्य कारक को साझा नहीं करता है एक गुणक समूह मोड एन । इसका क्या मतलब है? आप यहां विकिपीडिया में एक समूह की परिभाषा देख सकते हैं । विवरण में भरने के लिए समूह संचालन को गुणा करें, लेकिन हम वास्तव में यहां ध्यान रखते हैं कि उस सिद्धांत का निम्नलिखित परिणाम है: अनुक्रम$x$$N$$\on{mod} N$

$$\modN{x^0}, \quad\modN{x^1}, \quad\modN{x^2}, ...$$

आवधिक है, जब सामान्य कारकों को साझा नहीं करते हैं ( x = 2 , N = 5 का प्रयास करें ) इसे पहले हाथ के रूप में देखें:$x,N$$x = 2$$N = 5$

$$\newcommand{\mod}[1]{#1\,\operatorname{mod}\,5} \mod1 = 1,\quad \mod4 = 4,\quad \mod8 = 3,\quad \mod{16} = 1.$$

अब कितने प्राकृतिक संख्या से कम एन के साथ किसी भी आम कारण का हिस्सा नहीं है एन ? इसका उत्तर यूलर के फंक्शनिएंट फ़ंक्शन द्वारा दिया गया है , यह ( p - 1 ) ( q - 1 $x$$N$$N$$(p-1)(q-1)$ ।

अंत में, समूह सिद्धांत के विषय पर दोहन, दोहराए जाने वाले जंजीरों की लंबाई

$$\modN{x^0}, \quad\modN{x^1}, \quad\modN{x^2}, ...$$

उस संख्या विभाजित करता है । इसलिए यदि आप x N की शक्तियों के अनुक्रम की अवधि जानते हैं$(p-1)(q-1)$$x \mod N$ then you can start to put together a guess for what $(p-1)(q-1)$ is. Moreover, If you know what $(p-1)(q-1)$ is, and what $pq$ is (that's N don't forget!), then you have 2 equations with 2 unknowns, which can be solved through elementary algebra to separate $p,q$.

Where do quantum computers come in? The period finding. There's an operation called a Fourier transform, which takes a function $g$ written as a sum of periodic functions $a_1 e_1 + a_2 e_2 ...$ where $a_i$ are numbers, $e_i$ are periodic functions with period $p_i$ and maps it to a new function $\hat{f}$ such that $\hat{f}(p_i) = a_i$.

कम्प्यूटिंग फूरियर बदलना आम तौर पर एक अभिन्न रूप में पेश किया जाता है, लेकिन जब आप करना चाहते हैं सिर्फ डेटा की एक सरणी में इसे लागू (मैं ^वें सरणी के तत्व है ) यदि आप एक बुलाया इस उपकरण का उपयोग कर सकते हैं असतत फूरियर रूपांतरण जो मात्रा में अपने "एरे" को गुणा करना जैसे कि यह एक वेक्टर था, एक बहुत बड़ी एकात्मक मैट्रिक्स द्वारा।$f(I)$

एकात्मक शब्द पर जोर: यह यहाँ वर्णित एक बहुत ही मनमानी संपत्ति है । लेकिन प्रमुख टेकवेवे निम्नलिखित है:

भौतिकी की दुनिया में, सभी ऑपरेटर एक ही सामान्य गणितीय सिद्धांत का पालन करते हैं: यूनिटारिटी ।

तो इसका मतलब है कि क्वांटम ऑपरेटर के रूप में उस डीएफटी मैट्रिक्स ऑपरेशन को दोहराने के लिए यह अनुचित नहीं है।

Now here is where it gets deep an $n$ Qubit Array can represent $2^n$ possible array elements (consult anywhere online for an explanation of that or drop a comment).

And similarly an $n$ Qubit quantum operator can act on that entire $2^n$ quantum space, and produce an answer that we can interpret.

See this Wikipedia article for more detail.

If we can do this Fourier transform on an exponentially large data set, using only $n$ Qubits, then we can find the period very quickly.

If we can find the period very quickly we can rapidly assemble an estimate for $(p-1)(q-1)$

If we can do that fast then given our knowledge of $N=pq$ we can take a stab at checking $p,q$.

That's whats going on here, at a very high level.

Answer 2

What makes quantum computers good at factoring large numbers is their ability to solve the period finding problem (and a mathematical fact that relates finding prime factors to period finding). That's basically Shor's algorithm in a nutshell. Yet it only begs the question what makes quantum computers good at period finding.

At the core of period finding is the ability to calculate a function's value over its entire domain (that is, for every conceivable input). This is called quantum parallelism. This in itself is not good enough, but together with interference (the ability to combine results from quantum parallelism in a certain way), it is.

I suppose this answer might be a bit of a cliff hanger: How does one use these abilities to actually factor? Find the answer to that at wikipedia on Shor's algorithm.

Answer 3

First of all, factoring can be done on a quantum computer (with usage of 'unitary' quantum gates) by means of Shor's algorithm.

An explanation that doesn't require advanced mathematics nor any advanced knowledge of physics is this blog post by Scott Aaronson, titled "Shor, I'll do it."

A brief summary of his ideas is the following:

First, we represent our quantum gates/qubits with clocks (using the 'complex numbers as arrows (i.e. elements of $\mathbb{R}^2$ with weird multiplication), representation')

Then, we note that a CS researcher has very irregular sleeping periods. To find this strange period, we use the clocks. Then, we note that this period finding can be used to factor integers (using a similar construction as in the randomized Pollard -$\rho$ algorithm)

Hence, our strange quantum clocks can help us factor efficiently!