यदि सभी क्वांटम फाटकों को एकात्मक होना चाहिए, तो माप के बारे में क्या?

Question

सभी क्वांटम परिचालनों को एकरूपता की अनुमति देने के लिए एकात्मक होना चाहिए, लेकिन माप के बारे में क्या? मापन को एक मैट्रिक्स के रूप में दर्शाया जा सकता है, और उस मैट्रिक्स को क्वैब्स पर लागू किया जाता है, जिससे यह क्वांटम गेट के संचालन के बराबर लगता है। यह निश्चित रूप से प्रतिवर्ती नहीं है। क्या कोई ऐसी स्थिति है जहाँ गैर-एकात्मक फाटकों की अनुमति दी जा सकती है?

Answer 1

एकात्मक संचालन केवल क्वांटम परिचालनों का एक विशेष मामला है , जो रैखिक हैं, पूरी तरह से सकारात्मक नक्शे ("चैनल") हैं जो घनत्व ऑपरेटरों के लिए मानचित्र संचालकों को मैप करते हैं। इस चैनल की क्राउस-प्रतिनिधित्व में स्पष्ट हो जाता है, जहां तथाकथित क्राउस ऑपरेटरों पूरा ( नोटेशन )। अक्सर कोई केवल ट्रेस-संरक्षण क्वांटम संचालन पर विचार करता है, जिसके लिए पिछली असमानता में समानता है। यदि अतिरिक्त रूप से केवल एक क्रैस ऑपरेटर है (तो ), तो हम देखते हैं कि क्वांटम ऑपरेशन एकात्मक है। कश्मीर मैं Σ n मैं = 1 कश्मीर † मैं K मैं ≤

$$\Phi(\rho)=\sum_{i=1}^n K_i \rho K_i^\dagger,$$ $K_i$$\sum_{i=1}^n K_i^\dagger K_i\leq \mathbb{I}$$n=1$

हालांकि, क्वांटम गेट एकात्मक हैं, क्योंकि वे एक विशिष्ट समय के लिए हैमिल्टन की कार्रवाई के माध्यम से कार्यान्वित किए जाते हैं, जो श्रोडिंगर समीकरण के अनुसार एकात्मक समय विकास देता है।

Comments

+1 क्वांटम यांत्रिकी (न केवल क्वांटम जानकारी) में रुचि रखने वाले सभी को नील्सन और चुआंग से क्वांटम संचालन के बारे में जानना चाहिए। मुझे लगता है कि यह ध्यान देने योग्य है (चूंकि स्टाइन्सप्रिंग फैलाव पर विकिपीडिया पृष्ठ बहुत तकनीकी है) कि प्रत्येक परिमित आयामी क्वांटम ऑपरेशन गणितीय रूप से एक बड़े हिल्बर्ट स्पेस में कुछ एकात्मक ऑपरेशन के बराबर है, जिसके बाद सबसिस्टम (आंशिक ट्रेस द्वारा प्रतिबंध) ।

— निन्नत डांगनायम

Answer 2

संक्षिप्त जवाब

क्वांटम परिचालनों को एकात्मक होने की आवश्यकता नहीं है। वास्तव में, कई क्वांटम एल्गोरिदम और प्रोटोकॉल गैर-यूनिटेरिटी का उपयोग करते हैं।

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लंबा जवाब

माप यकीनन गैर एकात्मक संक्रमण एल्गोरिदम के एक बुनियादी घटक (अर्थ में है कि एक "माप" असम्बद्धता आपरेशन के बाद प्राप्त संभावना वितरण से नमूने के बराबर है होने का सबसे स्पष्ट उदाहरण हैं )।$\sum_k c_k\lvert k\rangle\mapsto\sum_k |c_k|^2\lvert k\rangle\langle k\rvert$

अधिक आम तौर पर, किसी भी क्वांटम एल्गोरिथ्म जिसमें संभावित कदम शामिल हैं, को गैर-एकात्मक संचालन की आवश्यकता होती है। एक उल्लेखनीय उदाहरण जो दिमाग में आता है वह है HHL09 के एल्गोरिदम को समीकरणों के रैखिक प्रणालियों को हल करने के लिए ( 0811.3171 देखें )। इस एल्गोरिथ्म में एक महत्वपूर्ण कदम है मैपिंग , जहां | λ जे ⟩ कुछ ऑपरेटर की eigenvectors हैं। यह मानचित्रण संभवतः संभाव्य है और इसलिए गैर-एकात्मक है।$|\lambda_j\rangle\mapsto C\lambda_j^{-1}|\lambda_j\rangle$$|\lambda_j\rangle$

कोई भी एल्गोरिथ्म या प्रोटोकॉल जो (शास्त्रीय) फ़ीड-फ़ॉरवर्ड का उपयोग करता है, गैर-एकात्मक संचालन का उपयोग भी कर रहा है। यह पूरे एक तरफा क्वांटम कम्प्यूटेशन प्रोटोकॉल है (जो कि जैसा कि नाम से पता चलता है, गैर-प्रतिवर्ती संचालन की आवश्यकता होती है)।

एकल फोटॉनों के साथ ऑप्टिकल क्वांटम अभिकलन के लिए सबसे उल्लेखनीय योजनाओं को भी अलग-अलग फोटॉन के राज्यों को उलझाने के लिए माप और कभी-कभी चयन की आवश्यकता होती है। उदाहरण के लिए, केएलएम प्रोटोकॉल संभाव्य द्वार बनाता है, जो कम से कम आंशिक रूप से गैर-प्रतिवर्ती हैं। विषय पर एक अच्छी समीक्षा क्वांट-ph / 0512071 है ।

विच्छेदन-प्रेरित क्वांटम राज्य इंजीनियरिंग (जैसे 1402.0529 या srep10656 ) द्वारा कम सहज ज्ञान युक्त उदाहरण दिए गए हैं । इन प्रोटोकॉल में, एक खुले मानचित्र के विघटनकारी डायनामिक का उपयोग करता है, और पर्यावरण के साथ राज्य की बातचीत को इस तरह से इंजीनियर करता है कि सिस्टम की लंबे समय तक स्थिर स्थिति वांछित है।

Answer 3

क्वांटम कंप्यूटिंग से और भौतिकी में ऑफ-टॉपिक जाने के जोखिम पर, मैं जवाब दूंगा कि मुझे क्या लगता है कि इस विषय का एक प्रासंगिक उपशमन है, और क्वांटम कंप्यूटिंग में एकात्मक द्वार की चर्चा को सूचित करने के लिए इसका उपयोग करें।

यहाँ सवाल यह है कि हम क्वांटम फाटकों में इकाईकरण क्यों चाहते हैं?

कम विशिष्ट उत्तर ऊपर है, यह हमें 'प्रतिशोध' देता है, या जैसा कि भौतिक विज्ञानी अक्सर इसके बारे में बात करते हैं, सिस्टम के लिए एक प्रकार का समरूपता है। मैं अभी क्वांटम यांत्रिकी में एक कोर्स ले रहा हूँ, और जिस तरह से एकात्मक फाटकों कि पाठ्यक्रम में काटी इच्छा से प्रेरित हुआ शारीरिक परिवर्तनों के लिए यू : समानताएं के रूप में है कि काम करते हैं। यह परिवर्तन पर दो शर्तों लगाया यू :$\hat{U}$$\hat{U}$

1. परिवर्तनों को राज्य पर रैखिक रूप से कार्य करना चाहिए (यह वह है जो हमें मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व देता है)।
2. परिवर्तनों को संभाव्यता, या अधिक विशेष रूप से आंतरिक उत्पाद को संरक्षित करना चाहिए । इसका मतलब है कि अगर हम परिभाषित करते हैं:

$$|\psi '\rangle = U |\psi\rangle, |\phi'\rangle = U |\phi\rangle$$

आंतरिक उत्पाद साधन के संरक्षण कि । इस दूसरे विनिर्देश से, यूनिटेरिटी व्युत्पन्न की जा सकती है (पूर्ण विवरण के लिए डॉ। वैन रामडोंक के नोट्स यहां देखें )।$\langle \phi | | \psi \rangle= \langle \phi' | | \psi'\rangle$

तो यह इस सवाल का जवाब देता है कि क्यों ऑपरेशन जो चीजों को "प्रतिवर्ती" रखते हैं, उन्हें एकात्मक होना चाहिए।

यह सवाल कि माप स्वयं एकात्मक क्यों नहीं है, क्वांटम गणना से अधिक संबंधित है। एक माप एक आधार पर एक प्रक्षेपण है; संक्षेप में, इसे राज्य के रूप में एक या अधिक आधार वाले राज्यों के साथ "उत्तर" देना होगा। यह राज्य को इस तरह से छोड़ देता है जो माप के लिए "उत्तर" के अनुरूप है , और उस अंतर्निहित संभावनाओं के अनुरूप नहीं है जो राज्य ने शुरू किया था। इसलिए ऑपरेशन हमारे परिवर्तन विनिर्देश 1 को संतुष्ट करता है , लेकिन निश्चित रूप से विनिर्देशन को संतुष्ट नहीं करता है। सभी मैट्रिस समान नहीं बने हैं!$U$

क्वांटम अभिकलन पर वापस गोल करने के लिए, तथ्य यह है कि माप विनाशकारी और अनुमानित हैं (यानी। हम केवल समान राज्यों के दोहराया माप के माध्यम से सुपरपोजिशन को फिर से संगठित कर सकते हैं, और हर माप हमें केवल 0/1 उत्तर देता है), जो बनाता है। क्वांटम कंप्यूटिंग और नियमित कंप्यूटिंग सूक्ष्म (और क्यों इसे नीचे पिन करना मुश्किल है इसका हिस्सा) के बीच अलगाव। एक मान सकता है कि क्वांटम कंप्यूटिंग हिल्बर्ट अंतरिक्ष के मात्र आकार के कारण अधिक शक्तिशाली है, हमारे पास उन सभी राज्यों के सुपरपोजिशन उपलब्ध हैं। लेकिन उस जानकारी को निकालने की हमारी क्षमता बहुत सीमित है।

जहां तक ​​मैं समझता हूं कि यह दिखाता है कि सूचना भंडारण प्रयोजनों के लिए, एक qubit केवल एक नियमित बिट के रूप में अच्छा है, और बेहतर नहीं है। लेकिन अंतर्निहित क्वांटम संरचना के कारण, जानकारी जिस तरह से कारोबार की जाती है, उसके साथ हम क्वांटम कम्प्यूटेशन में चतुर हो सकते हैं।

Comments

मुझे अंतिम पैराग्राफ थोड़ा सा गूढ़ लगता है। यहां "फिसलन" अलगाव से आपका क्या मतलब है? यह भी गैर-स्पष्ट है कि कैसे तथ्य यह है कि माप विनाशकारी हैं, इस तरह के अलगाव के बारे में कुछ कहते हैं। क्या आप इन बिंदुओं को स्पष्ट कर सकते हैं?

— glS 20

@glS, अच्छी बात है, जो खराब शब्द था। क्या यह मदद करता है? मुझे नहीं लगता कि मैं कुछ भी विशेष रूप से गहरी कह रहा हूं, बस हिल्बर्ट अंतरिक्ष आकार में एक प्राथमिकता नहीं है कि क्या क्वांटम गणना को शक्तिशाली बनाता है (और यह हमें कोई सूचना भंडारण लाभ नहीं देता है)

— एमिली टाइहर्स्ट

Answer 4

यहां कई गलत धारणाएं हैं, उनमें से अधिकांश केवल क्वांटम यांत्रिकी की शुद्ध राज्य औपचारिकता के संपर्क से उत्पन्न होती हैं , इसलिए आइए एक-एक करके उन्हें संबोधित करते हैं:

1. सभी क्वांटम परिचालनों को एकरूपता की अनुमति देने के लिए एकात्मक होना चाहिए, लेकिन माप के बारे में क्या?

यह गलत है। सामान्य तौर पर, एक क्वांटम प्रणाली की अवस्थाएँ हिल्बर्ट स्पेस में केवल वैक्टर नहीं होती हैं, बल्कि घनत्व मेट्रिसेस - यूनिट-ट्रेस, हिल्बर्ट स्पेस H यानी ρ : H → H , T r ( ρ ) = 1 पर सकारात्मक अर्धचालक संचालक होते हैं , और ρ ≥ 0 (ध्यान दें कि शुद्ध राज्य वैक्टर हिल्बर्ट अंतरिक्ष लेकिन में वैक्टर नहीं हैं एक जटिल प्रक्षेपीय अंतरिक्ष में किरणों , एक qubit के लिए हिल्बर्ट अंतरिक्ष को यह मात्रा में किया जा रहा है सी पी 1 और नहीं सी$\mathcal{H}$ $-$$\mathcal{H}$$\rho: \mathcal{H} \rightarrow \mathcal{H}$$Tr(\rho) = 1$$\rho \geq 0$$\mathbb{C}P^1$$\mathbb{C}^2$)। घनत्व मैट्रिक्स का उपयोग क्वांटम राज्यों के सांख्यिकीय कलाकारों की टुकड़ी का वर्णन करने के लिए किया जाता है।

घनत्व मैट्रिक्स को शुद्ध कहा जाता है यदि और मिश्रित हो तो ρ 2 < ρ । एक बार जब हम शुद्ध राज्य घनत्व मैट्रिक्स के साथ काम कर रहे होते हैं (अर्थात, इसमें कोई सांख्यिकीय अनिश्चितता शामिल नहीं है), चूंकि ρ 2 = ρ , घनत्व मैट्रिक्स वास्तव में एक प्रक्षेपण ऑपरेटर है और कोई एक खोज सकता है । ψ ⟩ ∈ एच ऐसी है कि ρ = | ψ ⟩ ⟨ ψ | ।$\rho^2 = \rho$$\rho^2 < \rho$$\rho^2 = \rho$$|\psi\rangle \in \mathcal{H}$$\rho = |\psi\rangle \langle\psi|$

सबसे सामान्य क्वांटम आपरेशन एक CP-नक्शा (पूरी तरह से सकारात्मक नक्शा), है यानी, ऐसी है कि Φ ( ρ ) = Σ मैं कश्मीर मैं ρ कश्मीर † मैं ; Σ मैं कश्मीर † मैं K मैं ≤ मैं (यदि Σ मैं कश्मीर † मैं K मैं = मैं तो इन कहा जाता है CPTP (पूरी तरह से सकारात्मक और पता लगाने के संरक्षण ) नक्शा या एक$\Phi: L(\mathcal{H}) \rightarrow L(\mathcal{H})$

$$\Phi(\rho) = \sum_i K_i \rho K_i^\dagger; \sum_i K_i^\dagger K_i \leq \mathbb{I}$$ $\sum_i K_i^\dagger K_i = \mathbb{I}$क्वांटम चैनल ) जहां को क्रस ऑपरेटर कहा जाता है ।$\{K_i\}$

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अब, ओपी के दावे पर आ रहा है कि सभी क्वांटम संचालन एकरूपता की अनुमति देने के लिए एकात्मक हैं - यह सिर्फ सच नहीं है। क्वांटम यांत्रिकी (बंद सिस्टम क्वांटम विकास के लिए) में समय विकास ऑपरेटर ( ) की इकाई बस Schrödinger समीकरण का एक परिणाम है।$e^{-iHt/\hbar}$

हालाँकि, जब हम घनत्व मैट्रीस पर विचार करते हैं, तो सबसे सामान्य विकास एक सीपी-मैप (या ट्रेस को संरक्षित करने के लिए एक बंद सिस्टम के लिए सीपीटीपी है और इसलिए संभावना)।

2. क्या कोई ऐसी स्थिति है जहाँ गैर-एकात्मक फाटकों की अनुमति दी जा सकती है?

हाँ। एक महत्वपूर्ण उदाहरण जो दिमाग में आता है वह है खुला क्वांटम सिस्टम जहां क्रूस ऑपरेटर (जो एकात्मक नहीं हैं) "गेट्स" हैं जिसके साथ सिस्टम विकसित होता है।

ध्यान दें कि अगर वहाँ केवल एक ही क्राउस ऑपरेटर तो, । लेकिन वहाँ केवल एक ही है मैं , इसलिए, हमारे पास है, कश्मीर † कश्मीर = मैं या, कश्मीर एकात्मक है। प्रणाली विकसित तो जैसा कि ρ → यू ρ यू † (जो मानक विकास इससे पहले कि आप देखा हो सकता है कि है)। हालांकि, सामान्य तौर पर, कई क्रैस ऑपरेटर हैं और इसलिए विकास गैर-एकात्मक है।$\sum_i K_i^\dagger K_i = \mathbb{I}$$i$$K^\dagger K = \mathbb{I}$$K$$\rho \rightarrow U \rho U^\dagger$

अंतिम बिंदु पर आ रहा है:

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3. मापन को एक मैट्रिक्स के रूप में दर्शाया जा सकता है, और उस मैट्रिक्स को क्वैब्स पर लागू किया जाता है, जिससे यह क्वांटम गेट के संचालन के बराबर लगता है। यह निश्चित रूप से प्रतिवर्ती नहीं है।

$-$$-$$|\phi\rangle \langle\phi|$$|\psi\rangle$$|\langle\phi|\psi\rangle|^2$$|\phi\rangle$

$\{M_{i}\}$$\mathcal{H}$$\sum _{{i=1}}^{n}M_{i}=\mathbb{I}$

$$\rho \rightarrow \frac{E_i \rho E_i^\dagger}{\text{Tr}(E_i \rho E_i^\dagger)}, \text{ where } M_i = E_i^\dagger E_i.$$

$\text{Tr}(E_i \rho E_i^\dagger) =: p_i$$M_i$$\rho \rightarrow E_i \rho E_i^\dagger$$p_i$

संपादित करें 1: आप रुचि रखने वाले स्टाइन्सप्रिंग डाइजेशन प्रमेय भी हो सकते हैं, जो आपको CPTP मैप के बीच एक आइसोमोर्फिज्म देता है और एक बड़ा हिल्बर्ट स्पेस पर एक एकात्मक ऑपरेशन होता है, जिसके बाद आंशिक रूप से (टेंसर्ड) हिल्बर्ट स्पेस ( 1 , 2 देखें) को ट्रेस किया जाता है ।

Answer 5

मैं माप के विचार के बारे में अन्य उत्तरों को पूरक करने के लिए एक छोटा सा जोड़ूंगा।

मापन को आमतौर पर क्वांटम यांत्रिकी के रूप में लिया जाता है। आमतौर पर कुछ पूर्ववर्ती हिल्बर्ट रिक्त स्थान के बारे में बताते हैं, लेकिन इसके बाद

• $A$$\hat{A}$$\mathcal{H}$
• $A$$\psi$$a_n$ $$\frac{\hat{P}_n|\psi\rangle}{\|\hat{P}_n|\psi\rangle\|},$$ $\hat{P}_n$$a_n$

$\hat{P}^\dagger=\hat{P}$$\hat{P}^2=\hat{P}$$1$$0$$\hat{P}_n$$1,0$$a_n$$|\psi\rangle$

Answer 6

माप एकात्मक संचालन हैं, भी, आप बस इसे नहीं देखते हैं: एक माप कुछ जटिल (क्वांटम) ऑपरेशन के बराबर है जो न केवल सिस्टम पर बल्कि इसके पर्यावरण पर भी कार्य करता है। यदि कोई एक क्वांटम सिस्टम (पर्यावरण सहित) के रूप में सब कुछ मॉडल करता है, तो सभी तरह से एकात्मक संचालन होगा।

हालाँकि, आमतौर पर इसका कोई मतलब नहीं है क्योंकि हम आमतौर पर पर्यावरण पर सटीक कार्रवाई नहीं जानते हैं और आमतौर पर परवाह नहीं करते हैं। यदि हम केवल सिस्टम पर विचार करते हैं, तो परिणाम तरंग फ़ंक्शन का अच्छी तरह से ज्ञात पतन है, जो वास्तव में एक गैर-एकात्मक ऑपरेशन है।

Answer 7

क्वांटम स्टेट्स दो तरह से बदल सकते हैं: 1. क्वांटमली , 2. क्लासिकल ।

1. सभी राज्य परिवर्तन मात्रात्मक रूप से हो रहे हैं, एकात्मक हैं। सभी क्वांटम गेट्स, क्वांटम त्रुटियां, आदि, क्वांटम परिवर्तन हैं ।

2. एकात्मक होने के लिए शास्त्रीय परिवर्तनों पर कोई बाध्यता नहीं है , उदाहरण के लिए माप एक शास्त्रीय परिवर्तन है ।

सभी अधिक कारण, क्यों यह कहा जाता है कि एक बार इसकी मात्रा को मापने के बाद क्वांटम राज्य 'परेशान' होता है।

Comments

त्रुटियाँ "क्वांटम" क्यों होंगी?

— नॉर्बर्ट शुच

@ नोर्बर्टशच: कुछ त्रुटियां राज्य के "मापने" वाले वातावरण के रूप में आ सकती हैं, जिन्हें इस उपयोगकर्ता की भाषा में शास्त्रीय माना जा सकता है, लेकिन अन्य त्रुटियां बलोच क्षेत्र में 'घुमाव' / परिवर्तन के रूप में आ सकती हैं। टी समझदारी से शास्त्रीय। निश्चित रूप से आपको पूर्ण क्वांटम डायनामिक्स करने की आवश्यकता है यदि आप वास्तविक रूप से गैर-मार्कोवियन और गैर-अनुलंब आदर्श बनाना चाहते हैं, लेकिन मार्कोवियन मास्टर समीकरण भी क्वांटम हैं)।

— user1271772

$\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z$

अधिक सटीक होने के लिए, त्रुटियों को QECCs द्वारा ध्यान रखा जाता है।

— अल्फा क्वॉन्ट

मुझे लगता है कि मुझे यकीन नहीं है कि "क्वांटम" और "शास्त्रीय" का क्या मतलब है। CP मानचित्र क्या होगा?

— नॉर्बर्ट शूच