क्या ऐसी समस्याएं हैं जिनमें क्वांटम कंप्यूटर को एक घातीय लाभ प्रदान करने के लिए जाना जाता है?

Question

यह आमतौर पर माना जाता है और दावा किया गया है कि क्वांटम कंप्यूटर कम से कम कुछ कार्यों में शास्त्रीय उपकरणों को बेहतर बना सकते हैं।

एक समस्या के सबसे सामान्य रूप से उद्धृत उदाहरणों में से एक, जिसमें क्वांटम कंप्यूटर शास्त्रीय उपकरणों को बेहतर , वह है , लेकिन फिर, यह भी ज्ञात नहीं है कि क्या एक क्लासिक कंप्यूटर के साथ भी कुशलता से सॉल्व है क्या, क्या ) है।$\text{Factoring}$$\text{Factoring}$$\text{Factoring}\in \text{P}$

अन्य सामान्य रूप से उद्धृत समस्याओं के लिए, जिसमें क्वांटम कंप्यूटर को लाभ प्रदान करने के लिए जाना जाता है, जैसे डेटाबेस खोज, स्पीडअप केवल बहुपद है।

क्या ऐसी समस्याओं के ज्ञात उदाहरण हैं जिनमें इसे दिखाया जा सकता है (या तो मजबूत कम्प्यूटेशनल जटिलता मान्यताओं के तहत साबित या साबित किया गया है) कि क्वांटम कंप्यूटर एक घातीय लाभ प्रदान करेंगे?

Comments

मैं कहूंगा कि यदि आप समस्याओं को निर्णय समस्या के रूप में सीमित करते हैं, तो इसका उत्तर नहीं है, क्योंकि नमूना समस्याएं हैं (उदाहरण के लिए BosonSampling और IQP), जिसके लिए एक घातीय क्वांटम लाभ दिखाया गया है (या बल्कि, मजबूत धारणाओं के तहत सिद्ध)। ऐसे अन्य भी हो सकते हैं जिन्हें मैं नहीं जानता।

— glS

ध्यान दें कि फैक्टरिंग के लिए पहले से ही कई उपसंचाई-लागत शास्त्रीय एल्गोरिदम हैं। (बहुपद और घातीय लागत के बीच पर्याप्त अंतर है।)

— स्क्विश ओस्सिफ्रेज

जैसा कि हीदर कहते हैं, यह वर्तमान में शास्त्रीय (और क्वांटम) कंप्यूटरों की सीमा के बाद से ज्ञात नहीं है। आपके मानदंड आपके प्रश्न में आगे बढ़ते हैं और अंततः उत्तरदाता को पी और एनपी से परे संबंध साबित करने से भी आगे जाने की आवश्यकता होती है। मेरा सुझाव है कि आप अन्य संभावित उदाहरणों (साथ ही फैक्टरिंग) के लिए पूछने के लिए अपने प्रश्न को फिर से लिखें।

— टॉबी हॉकिन्स

व्यावहारिक एक क्वांटम speedup, के परिणामों जैसे शोर एल्गोरिथ्म सकता है या नहीं वास्तव में शास्त्रीय GNFS मात, यह भी जरूरी नहीं कि के अनुसार लगाए गए asymptotic लागत के विकास घटता के संबंधों। इस उत्तर को असममित बनाम ठोस सेटिंग के बारे में थोड़ा और देखें , और क्रिप्टोग्राफी और व्यावहारिक प्रदर्शन की तुलना के लिए पी = एनपी के आसपास के प्रश्न लाल हेरिंग के एक बिट क्यों हैं।

— स्क्वीमिश ओसफ्रीज

@SqueamishOssifrage बिल्कुल। मैं जोड़ना चाहता हूं कि 'कुशल' के साथ पी की समान सदस्यता कंप्यूटर वैज्ञानिकों द्वारा पूर्ण सत्य की तुलना में अधिक इच्छाधारी सोच है। विचार यह है कि, एक बार यह दिखाया गया है कि एक समस्या P में है , भले ही उसका कुछ , वहाँ इसे समान कुछ करने के लिए शेविंग करने में सुधार होगा , आरामदायक 'सशर्त कम सीमा' के करीब। क्रेडिट करने के लिए, यह आमतौर पर अतीत में हुआ है। लेकिन यह कोई गारंटी नहीं है और व्यावहारिकता के लिए 'लीनियर' एल्गोरिदम भी मौजूद हैं, जिन्हें 'अमिट' माना जाता है। $O(n^{1235436546})$$O(n^3)$

— छिपकली

Answer 1

मान लीजिए कि एक फ़ंक्शन पास निम्न जिज्ञासु संपत्ति है: जैसे कि यदि और केवल यदि । यदि एकमात्र समाधान है, तो इसका मतलब है 1-टू -1 है; अन्यथा सभी लिए एक नॉनज़रो ऐसा है जो , क्योंकि अर्थ है कि , 2-टू -1 है।$f\colon {\mathbb F_2}^n \to {\mathbb F_2}^n$$s \in \{0,1\}^n$$f(x) = f(y)$$x + y = s$$s = 0$$f$$s$$f(x) = f(x + s)$$x$$2 = 0$$f$

शास्त्रीय या क्वांटम कंप्यूटर पर, एक समान यादृच्छिक 2-टू -1 फ़ंक्शन से एक समान रैंडम 1-टू -1 फ़ंक्शन को अलग करने की सफलता की किसी भी निर्धारित संभावना की कीमत क्या है, इस संपत्ति को संतुष्ट करना, यदि प्रत्येक विकल्प (1-टू) -1 या 2-टू -1 में समान संभावना है?

यानी, मैं चुपके से एक सिक्का निष्पक्ष रूप से फ्लिप करता हूं; अगर मुझे सिर मिले तो मैं आपको एक समान यादृच्छिक 1-टू -1 फ़ंक्शन लिए एक ब्लैक बॉक्स (शास्त्रीय या क्वांटम, रिस्पांस) सर्किट सौंपता हूं, जबकि अगर मुझे पूंछ मिलती है तो मैं एक समान यादृच्छिक 2-के लिए एक ब्लैक बॉक्स सर्किट आपको सौंपता हूं -1 फ़ंक्शन । आप कितना भुगतान करना है सफलता का एक निर्धारित संभावना पाने के लिए कह रहा है कि क्या मैं सिर या पूंछ मिल गया की?$f$$f$$p$

यह साइमन के एल्गोरिदम का परिदृश्य है । इसमें निरर्थक क्रिप्टोनालिसिस में गूढ़ अनुप्रयोग हैं , ^* और यह जटिलता वर्ग बीक्यूपी और बीपीपी का अध्ययन करने के लिए एक प्रारंभिक साधन था और शोर के एल्गोरिथ्म के लिए एक प्रारंभिक प्रेरणा था।

साइमन ने एक क्वांटम अल्गोरिथम (§3.1, पृष्ठ 7) प्रस्तुत किया , जिसकी लागत और अपेक्षित समय सफलता के निकट संभावना के लिए, जहां 1 आकार इनपुट पर के मानों के एक सुपरपोजिशन की गणना करने का समय है और जहां गणित के में रैखिक समीकरणों के सिस्टम को हल करने का समय है ।$O(n + |f|)$$O(n \cdot T_f(n) + G(n))$$T_f(n)$$f$$n$$G(n)$$n \times n$$\mathbb F_2$

साइमन ने एक सबूत (प्रमेय 3.1, पी। 9) का वर्णन किया है कि एक शास्त्रीय एल्गोरिथ्म जिसका मूल्यांकन से अधिक नहीं है अलग असतत मान सिक्के को से बेहतर लाभ का अनुमान नहीं लगा सकते हैं। एक समान यादृच्छिक अनुमान।$f$$2^{n/4}$$2^{-n/2}$

कुछ अर्थों में, यह सकारात्मक आपके प्रश्न के उत्तर: एक क्वांटम एक की आवश्यकता होती है अभिकलन रैखिक एक पर यादृच्छिक समारोह के मूल्यांकन की संख्या क्वांटम superposition आदानों की एक शास्त्रीय गणना एक की आवश्यकता होती है की तुलना में बेहतर सफलता संभावना प्राप्त कर सकते हैं घातीय पर एक यादृच्छिक समारोह के मूल्यांकन की संख्या असतत इनपुट्स , इनपुट्स के आकार में। लेकिन एक और अर्थ में यह सब पर आपके प्रश्न का उत्तर नहीं है, क्योंकि यह हो सकता है कि के लिए हर विशेष समारोह है एक तेजी से खोज की गणना करने के रास्ते।$f$

Deutsch-Jozsa एल्गोरिथ्म , अलग जटिलता कक्षाएं, पी और EQP अध्ययन करने के लिए एक अलग कृत्रिम समस्या के लिए एक समान चित्रण रूप में कार्य करता विवरण जिनमें से पाठक के लिए एक व्यायाम के रूप में छोड़ दिया जाता है पता लगाना।

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_{^* साइमन का क्रिप्टैनालिसिस के लिए निरर्थक है, क्योंकि केवल एक अनजाने में उलझन में पड़ा बेवकूफ इनपुट के क्वांटम सुपरपोजिशन पर उपयोग करने के लिए अपने गुप्त कुंजी को प्रतिकूल क्वांटम सर्किट में फीड करेगा, लेकिन किसी कारण से यह हर बार छप जाता है जब कोई साइमन के एल्गोरिथ्म का उपयोग करने पर एक नया पेपर प्रकाशित करता है। काल्पनिक हार्डवेयर के साथ बेवकूफों की चाबियाँ तोड़ने के लिए, जो इन सभी हमलों का काम करता है। अपवाद: यह संभव है कि इससे व्हाइट-बॉक्स क्रिप्टोग्राफी भंग हो सकती है , लेकिन शास्त्रीय विरोधियों के खिलाफ भी व्हाइट-बॉक्स क्रिप्टोग्राफी के लिए सुरक्षा कहानी आशाजनक नहीं है।}

Comments

दिलचस्प, उत्तर के लिए धन्यवाद। क्या आप इस बात का विस्तार कर सकते हैं कि यह इस बात का प्रमाण क्यों नहीं है कि ? मुझे लगता है कि उत्तर एक "नियमित" एक के विपरीत एक अलौकिक जुदाई दिखाने की तर्ज पर कुछ है , लेकिन मैं वास्तव में कहने के लिए इन विषयों में पारंगत नहीं हूं। मुझे लगता है कि इसकी संक्षिप्त चर्चा से उत्तर सुधर जाएगा। $\text{BQP}\neq\text{BPP}$

— 17

@ मुझे एक वाक्य मिला है जो मुझे लगता है कि अंतर के क्रूस पर कट जाना चाहिए। क्या उससे मदद हुई?

— स्क्वीशिश ओसफ्रीज

Answer 2

यकीन नहीं है कि अगर यह कड़ाई से आप के लिए देख रहे हैं; और मुझे नहीं पता कि मैं इसे "घातीय" के रूप में अर्हता प्राप्त करूंगा (मैं कंप्यूटर वैज्ञानिक भी नहीं हूं, इसलिए एल्गोरिथ्म विश्लेषण करने की मेरी क्षमता कमोबेश नॉनसेक्शुअल है ...), लेकिन ब्रवी एट द्वारा हाल ही में परिणाम। अल ने '2 डी हिडन लीनियर फंक्शन प्रॉब्लम' की एक श्रेणी प्रस्तुत की, जो क्वांटम समानांतर डिवाइस पर कम संसाधनों का उपयोग करता है।

कागज यहाँ arxiv पर है , लेकिन यहाँ एक त्वरित सारांश है। क्वांटम लाभ समानांतर सर्किट की गहराई में है, इसलिए थ्रेड्स की संख्या समस्या को बाध्य फैन-इन के तहत विभाजित कर सकती है। समस्या को एक मैट्रिक्स और एक इनपुट वेक्टर , एक उस फॉर्म के लिए एक द्विघात रूप और एक विशेष उप-स्थान को परिभाषित कर सकता है। "छिपे हुए रैखिक फ़ंक्शन समस्या" का लक्ष्य एक विशेष उप-क्षेत्र पर उस द्विघात फ़ंक्शन के लिए एक रैखिककरण खोजना है।$N\times N$$A$$b$$q$

एक शास्त्रीय प्रोबेलिस्टिक सर्किट ~ गहराई के लिए विवश है , यदि आप चाहते हैं कि आपकी गणना संभावना साथ सफल हो (आप शायद यह कम से कम इस संभावना के साथ सफल होना चाहते हैं)। एक क्वांटम सर्किट इसे निरंतर गहराई के साथ कर सकता है, इसलिए यह एक बड़ा सुधार है।$\log{N}$$>7/8$

प्रमाण में अनिवार्य रूप से एक विशिष्ट ग्राफ राज्य के लिए शास्त्रीय सर्किट के लिए अनुकरण करना मुश्किल है, यह उप-परिणाम थोड़ा पहले साबित हुआ था । फिर बाकी कागज दिखाते हैं कि समस्याओं की अधिक से अधिक कक्षा में यह कठिन समस्या है।

Answer 3

एक क्लासिक कंप्यूटर पर कुशलता से निर्णय लेने की समस्याओं की जटिलता वर्ग को BPP (या P , यदि आप यादृच्छिकता की अनुमति नहीं देते हैं, तो कहा जाता है , लेकिन इन पर वैसे भी संदेह है)। क्वांटम कंप्यूटर पर कुशलता से हल करने वाली समस्याओं के वर्ग को बीक्यूपी कहा जाता है । यदि कोई समस्या मौजूद है जिसके लिए एक क्वांटम कंप्यूटर एक घातीय गति प्रदान करता है, तो इसका मतलब यह होगा कि BPP BQP । हालाँकि, BQP बनाम BPP प्रश्न सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान में एक प्रमुख खुला प्रश्न है, इसलिए ऐसी कोई भी समस्या अस्तित्व में नहीं आई है (और यदि आप एक पाते हैं, तो आप निश्चित रूप से सभी प्रकार के पुरस्कार जीतेंगे)।$\neq$

दूसरी ओर, अन्य उत्तर के रूप में, ब्लैक-बॉक्स ("ओरेकल") समस्याएं हैं, जिनके सापेक्ष हम जानते हैं कि , साइमन एल्गोरिथ्म की तरह । यह सबूत प्रदान करता है, हालांकि एक सबूत नहीं है, कि वास्तविक दुनिया में BPP BQP ।$\textbf{BPP}^O \neq \textbf{BQP}^O$ $\neq$

Comments

महान जवाब, धन्यवाद। मैंने अपने आप को सवाल में समस्याओं का फैसला करने के लिए सीमित नहीं किया। क्या आप एक उल्लेख जोड़ सकते हैं कि क्या होता है जब कोई व्यक्ति विभिन्न प्रकार की समस्याओं पर विचार करता है, जैसे कि उदाहरण के लिए समस्याओं का नमूना लेना? इसके अलावा, आप कारण है कि की दैवीय inequivalence पर थोड़ा विस्तार करने में सक्षम हैं बीपीपी और BQP के लिए सबूत प्रदान करता है बीपीपी BQP$\neq$ "वास्तविक दुनिया में"?

— glS

Answer 4

जब तक मैं एक औपचारिक प्रमाण की आपूर्ति नहीं कर सकता, क्वांटम सिस्टम के (अस्थायी विकास) के अनुकरण को इस तरह के मामले के रूप में माना जाता है: शास्त्रीय कंप्यूटर की तुलना में घातीय समय की तुलना में ऐसा करने का कोई बेहतर तरीका नहीं है, लेकिन क्वांटम कंप्यूटर कर सकता है तुच्छ समय में बहुपद में करते हैं।

इस तरह के एक क्वांटम सिम्युलेटर ( विकिपीडिया लेख भी देखें ) का विचार वास्तव में है कि क्वांटम कंप्यूटरों को पहली बार कैसे प्रस्तावित किया गया था।