एकात्मक

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मान लीजिए कि हमारे पास कुछ सार्वभौमिक गेट सेट (उदाहरण के लिए CNOT-gates और सिंगल क्वैबिट यूनिट) का उपयोग करके एक एकात्मक का सर्किट अपघटन है । क्या एक ही सार्वभौमिक गेट सेट का उपयोग करके संबंधित नियंत्रित एकात्मक के सर्किट को लिखने का एक सीधा तरीका है ? $U$ $C_U$

उदाहरण के लिए सर्किट के रूप में : $U=i Y = H X H X$

हम जगह ले सकता है द्वारा फाटक प्राप्त करने के लिए (CNOT) फाटक : $X$ $C_X$ $C_U$

यह काम करता है क्योंकि नियंत्रण qubit राज्य में है अगर लक्ष्य पर कार्रवाई , जबकि लिए यह लिए सर्किट लागू करता है । अलग-अलग , विशेष रूप से अगर यह कई क्विट पर कार्य करता है, तो इस तरह के सर्किट के साथ आना बोझिल हो सकता है। क्या के सर्किट को प्राप्त करने के लिए कोई नुस्खा है जिसे आप जानते हैं कि आपको कैसे बनाना है ? $|0\rangle$ $H^2=\mathbb{I}$ $|1\rangle$ $U$ $U$ $C_U$ $U$

— एम। स्टर्न
स्रोत

क्या आप पूछ रहे हैं कि एक मनमाने ढंग से यू-क्यूबिट यू से सीयू कैसे बनाया जाए? ऐसा करने का एक तरीका एन एंड सी के अध्याय 4 में पाया जा सकता है (अंतिम संस्करण में उदाहरण आंकड़ा 4.6 देखें), जो मूल रूप से आपके द्वारा दिखाए गए अपघटन का सामान्यीकरण है

— glS

@glS ओह वाह, मुझे इस बात की जानकारी नहीं थी। बिल्कुल मेरे उदाहरण की तरह लगता है। यह देखने के लिए अच्छा है कि यह चरण को कैसे लागू करता है । लेकिन वे सामान्यीकरण पर चर्चा करने के लिए और अधिक लक्ष्य qubits करने के लिए प्रतीत नहीं होते हैं?

α

$\alpha$

— एम। स्टर्न

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सवाल पूरी तरह से अच्छी तरह से परिभाषित नहीं किया जा सकता, इस अर्थ में कि एक तरह से के लिए पूछने के लिए गणना के एक सड़न के कारण आपको लगता है कि आप का उपयोग करने को तैयार हैं फाटक के सेट निर्दिष्ट करने की जरूरत है। वास्तव में, यह एक ज्ञात परिणाम है कि किसी भी -qubit गेट को वास्तव में और सिंगल- का उपयोग करके विघटित किया जा सकता है , ताकि प्रश्न का एक भोला उत्तर हो: एकल-qubit का उपयोग करके विघटित करें और s। $C(U)$ $U$ $n$ $\text{CNOT}$ $C(U)$ $\text{CNOT}$

प्रश्न की एक अलग व्याख्या निम्नलिखित है: दी , कर सकते हैं मैं गणना एक एकल qubit आपरेशन के सेट और का उपयोग कर s नियंत्रण qubit पर नहीं , और के साथ है पहली कक्षा होने पर नियंत्रण? यह नीलसन और चुआंग के अध्याय चार में पाए गए एक परिणाम को सामान्यीकृत किया जा सकता है । $U$ $C(U)$ $\text{CNOT}$ $\text{CNOT}$

चलो एक एकल qubit फाटक हो। तब यह साबित किया जा सकता है कि को हमेशा रूप में लिखा जा सकता , जहाँ , पाउली X गेट है, और और एकल-चतुर्थक संक्रियाएँ हैं जैसे कि ( एक सबूत के लिए एन एंड सी देखें)। यह इस प्रकार है कि $U$ $U$ $U = e^{i\alpha} AXBXC$ $X$ $A, B$ $C$ $ABC=I$ जहां एक चरण गेट पहले qubit के लिए आवेदन किया है, और है हैं दूसरी कक्षा में लागू। एक बार जब आप महसूस करते हैं कि यह पहली बार है, अगर यह पहली बार है , तो

C (U) = Φ_{1} (α) A_{2} C (X) B_{2} C (X) C_{2},

$C(U)=\Phi_1(\alpha)A_2C(X)B_2C(X) C_2,$

Φ_{1} (α) \equiv (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & e^{i α} \end{matrix}) \otimes I

$\Phi_1(\alpha)\equiv\begin{pmatrix}1&0\\0&e^{i\alpha}\end{pmatrix}\otimes I$

A_{2}, B_{2}, C_{2}

$A_2, B_2, C_2$

A, B, C

$A, B, C$

| 0 ⟩

$|0\rangle$

C (X)

$C(X)$ एक पहचान बन जाता है, और दूसरी कक्षा में आपके पास ऑपरेशन

, जो पहचान देता है। दूसरी ओर, यदि पहली क्विब है

, तो दूसरा रेल पर आपके पास

है, जो (एक साथ चरण के साथ) के बराबर होती है

परिभाषा के द्वारा।

A B C

$ABC$

| 1 ⟩

$|1\rangle$

A X B X C

$AXBXC$

U

$U$

उपरोक्त अपघटन का उपयोग एक सामान्य -qubit एकात्मक द्वार के लिए गणना करने के लिए एक भोली तरीका खोजने के लिए किया जा सकता है । मुख्य अवलोकन है कि अगर फाटकों के किसी सेट के लिए , तो $C(U)$ $n$ $U=A_1 A_2\cdots A_m$ $\{A_1,..,A_m\}$ लेकिन हम यह भी जानते हैं किCNOT और एकल-qubit संचालन के संदर्भ मेंकिसी भी -bit को विघटित किया जा सकता है। यह निम्नानुसार है कि CCNOT और परिचालनोंका एक क्रम है, जहाँ CCNOT यहाँ एक गेट है जिसे कुछक्वाइबिट मेंलागू कियाजाता है जोदो अन्यक्वाइबेट्स केलिए वातानुकूलित है , और कुछ qubit पर एक एकल qubit ऑपरेशन है। लेकिन फिर, किसी भी CCNOT आपरेशन (भी बुलायाToffoli), के रूप में एन और सी, और में चित्रा 4.9 में दिखाया गया विघटित किया जा सकता

C (U) = C (A_{1}) C (A_{2}) \dots C (A_{m}) .

$C(U)=C(A_1)C(A_2)\cdots C(A_m).$

n

$n$

U

$U$

C (U)

$C(U)$

C (V)

$C(V)$

X

$X$

| 1 ⟩

$|1\rangle$

V

$V$

C (V)

$C(V)$ जवाब के पहले भाग में दिखाए गए अनुसार विघटित हो गए हैं।

$n$ $U$ $\text{CNOT}$

— GLS
स्रोत

U = A_{1} A_{2} \dots A_{m}

$U=A_1 A_2 \dots A_m$

C (X)

$C(X)$

A_{i}

$A_i$

C (A_{i})

$C(A_i)$

C (X)

$C(X)$

U

$U$

C (X)

$C(X)$

C (X)_{i j}

$C(X)_{ij}$

i

$i$

j

$j$

i, j > 1

$i, j>1$

C (U)

$C(U)$

i

$i$

j

$j$

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हालाँकि यह आपके प्रश्न का पूरी तरह से उत्तर नहीं दे सकता है, फिर भी मुझे लगता है कि यह सोचने की दिशा प्रदान कर सकता है। यहां दो महत्वपूर्ण तथ्य दिए गए हैं:

$2^{n}\times 2^{n}$ $M$ $n$
$U$ $2\times 2$ $\text{tr } U \neq 0$ $\text{tr} (UX) \neq 0$ $\text{det } U \neq 1$ $U$

$n\times n$

1 क्वांटम संगणना-ए के लिए प्राथमिक द्वार। बारेंको (ऑक्सफोर्ड), सीएच बेनेट (आईबीएम), आर। क्लेव (कैलगरी), डीपी डिविंकेन्जो (आईबीएम), एन। मार्गोलस (एमआईटी), पी। शोर (एटी एंड टी), टी। स्लीटोर (एनवाईयू), जे। स्मोलिन (यूसीएलए) ), एच। वेनफुटर (इन्सब्रुक)

नियंत्रित एकात्मक गेट्स के 2 इष्टतम अहसास - गुआंग सांग, एंड्रियास क्लैपेनेकर (टेक्सास ए एंड एम यूनिवर्सिटी)

— संचेतन दत्ता
स्रोत