क्वांटम गेट्स (CNOT, H, Z, X और, / 8) के सार्वभौमिक सेट के "सार्वभौमिकता" के लिए गणितीय औचित्य क्या है?

Question

में इस सवाल का जवाब मैंने कहा CNOT, एच, एक्स, जेड और कि फाटकों फार्म फाटकों की एक सार्वभौमिक सेट है, जो फाटक के पर्याप्त संख्या में दिए गए किसी भी एकात्मक क्वांटम गेट नकल के करीब मनमाने ढंग से प्राप्त कर सकते हैं (मैं इस बारे में पता चला प्रोफेसर उमेश वजीरानी के एडएक्स व्याख्यान से तथ्य)। लेकिन, क्या इसके लिए कोई गणितीय औचित्य है? होना चाहिये! मैंने प्रासंगिक कागजात खोजने की कोशिश की, लेकिन बहुत कुछ नहीं मिला।$\pi/8$

Answer 1

आप माइकल नील्सन और इसहाक चुआंग की पुस्तक, क्वांटम कम्प्यूटेशन और क्वांटम सूचना (कैम्ब्रिज यूनिवर्सिटी प्रेस) के संदर्भ का उल्लेख करते हैं , जिसमें इन द्वारों की सार्वभौमिकता का प्रमाण है। (मेरी 2000 संस्करण में, यह पी पर पाया जा सकता। 194.) कुंजी अंतर्दृष्टि है कि है गेट (या π / 8 गेट), एक साथ के साथ एच गेट, कोण हैं कि साथ बलोच क्षेत्र पर दो अलग-अलग रोटेशन उत्पन्न करता है 2 π के अपरिमेय गुणक । यह टी और एच गेट्स के संयोजन को बलोच क्षेत्र की सतह को घने रूप से भरने की अनुमति देता है और इस तरह किसी भी एक-क्वाइट एकात्मक ऑपरेटर को अनुमानित करता है।$T$$\pi/8$$H$$2\pi$$T$$H$

$\log(1/\epsilon)$$\epsilon$

CNOT गेट्स को संयोजित करने से एक व्यक्ति को मनमाने ढंग से मल्टी-क्बेट यूनिट्स की अनुमति मिलती है, जैसा कि Barenco et al द्वारा दिखाया गया है । भौतिकी में। रेव। ए 52 3457 (1995)। (इस पत्र का एक उदाहरण https://arxiv.org/abs/quant-ph/9503016 पर पाया जा सकता है ।) यह नीलसन और चुआंग (2000 संस्करण में पृष्ठ 191) पर भी चर्चा की गई है।

Comments

एक एक और भी मजबूत परिणाम Kliuchnikov, Maslov, और Mosca में साबित का उपयोग कर प्राप्त कर सकते हैं जाइल्स Selinger ।

— हुसैन

Answer 2

$Z$$X$
$\rm{CNOT}$$H$$T=\pi/8$

$H$$T$
$\rm{CNOT}$$\epsilon>0$$\mathcal{O}(\log^2(1/\epsilon))$

$\epsilon=0$$\pi/2$$\frac{a+ib}{2^n} + \frac{c+id}{2^{n+1/2}}$

$\{{\rm{CCNOT}},H\}$ ${D(\theta)}$

Comments

CCNOT + H एक अलग अर्थ में सार्वभौमिक है, हालांकि: यह कम्प्यूटेशनल रूप से सार्वभौमिक है, लेकिन यह किसी भी द्वार का एहसास नहीं कर सकता है।

— नोर्बर्ट शुच

$\epsilon>0$$\epsilon>0$

नहीं। यह स्पष्ट कारणों के लिए जटिल (= गैर-वास्तविक) गुणांक वाले किसी भी गेट का एहसास नहीं कर सकता है। यह कम्प्यूटेशनल रूप से सार्वभौमिक है, अर्थात यह किसी भी q को चला सकता है। संगणना, लेकिन यह एक-से-एक कार्यान्वयन के फाटकों के अनुसार ऐसा नहीं करता है, लेकिन कुछ बराबर अहसास है। तो अगर आप unitaries साकार करने के लिए (जो सवाल की बात लगती है) चाहते हैं, यह है नहीं एक सार्वभौमिक गेट सेट।

— नोर्बर्ट शुच

@NorbertSchuch: एक क्वांटम गणना का एक उदाहरण एक जटिल एकात्मकता का अनुकरण कर रहा है। तो अगर CCNOT + H कोई q कर सकता है। अभिकलन, क्या यह किसी भी एकात्मक का अनुकरण करने के लिए मनमाने ढंग से पास नहीं हो सकता है?

— user1271772

CCNOT और H दोनों में केवल वास्तविक प्रविष्टियाँ हैं। कोई रास्ता नहीं है आप जटिल प्रविष्टियों के साथ किसी भी गेट मिल जाएगा। --- अधिक आम तौर पर, "सिमुलेशन" के कम से कम 3 विचार हैं: किसी भी एकात्मकता को प्राप्त करें, एक क्वांटम कंप्यूटर के माप आँकड़े प्राप्त करें, या एक बीक्यूपी समस्या को हल करें। CCNOT + H दूसरी (और तीसरी) अर्थों में सार्वभौमिक है, लेकिन पहले एक में नहीं।

— नॉर्बर्ट शुच