एक qubit का मापन दूसरों को कैसे प्रभावित करता है?

एक क्वांटम कंप्यूटर की स्थिति का प्रतिनिधित्व करने के लिए, सभी क्वाइब एक राज्य वेक्टर में योगदान करते हैं (यह क्वांटम और शास्त्रीय कंप्यूटिंग के बीच प्रमुख अंतर में से एक है जैसा कि मैं इसे समझता हूं)। मेरी समझ यह है कि केवल एक qubit को कई qubit के सिस्टम से मापना संभव है। यह कैसे मापता है कि एक qubit पूरे सिस्टम को प्रभावित करता है (विशेष रूप से, यह राज्य वेक्टर को कैसे प्रभावित करता है)?

quantum-state measurement

— हीदर
स्रोत

जवाबों:

कई अलग-अलग तरीके हैं जो कि क्वबिट्स को देखते हैं, और राज्य वेक्टर औपचारिकता उनमें से एक है। एक सामान्य रैखिक-बीजगणितीय अर्थ में एक माप एक आधार पर प्रक्षेपण है। यहां मैं पाउली के अवलोकन बिंदु से एक उदाहरण के साथ अंतर्दृष्टि प्रदान करेगा, जो कि QC का सामान्य सर्किट मॉडल है।

सबसे पहले, यह ब्याज का आधार है जो राज्य वेक्टर प्रदान किया जा रहा है - प्रत्येक माप ऑपरेटर eigenstates के एक सेट के साथ आता है, और जो भी माप आप देखते हैं (जैसे। $X,Y,Z, XX, XZ$ , आदि)। उस आधार को निर्धारित करें जो आपके लिए सबसे अच्छा हो सकता है कि आप राज्य वेक्टर को लिखें। अपने प्रश्न का उत्तर देने का सबसे आसान तरीका यह है कि क्या आप जानते हैं कि किस आधार पर आपकी रुचि है, और इससे भी महत्वपूर्ण बात यह है कि क्या यह आपके द्वारा किए गए माप से शुरू होता है ।

तो सादगी की खातिर, मान लीजिए कि आप दो मनमानी स्थिति में दो युग्मित शब्‍दों के साथ शुरू करते हैं, जो दोनों शब्‍दों के लिए $Z$ -basis में लिखे गए हैं :

| ψ ⟩ = a | 0_{Z} ⟩ \otimes | 0_{Z} ⟩ + b | 0_{Z} ⟩ \otimes | 1_{Z} ⟩ + c | 1_{Z} ⟩ \otimes | 0_{Z} ⟩ + d | 1_{Z} ⟩ \otimes | 1_{Z} ⟩

$| \psi \rangle = a | 0_{Z} \rangle \otimes | 0_{Z} \rangle +b | 0_{Z} \rangle \otimes | 1_{Z} \rangle + c | 1_{Z} \rangle \otimes | 0_{Z} \rangle + d | 1_{Z} \rangle \otimes | 1_{Z} \rangle$

सबसे सरल संभव माप जो आप कर सकते हैं , वह , जो कि पहले qubit पर ऑपरेटर है, इसके बाद , के दूसरे ऑपरेटर पर ऑपरेटर है। माप क्या करता है? यह राज्य को एक स्वदेशी परियोजनाओं में से एक बनाता है। आप इसे उन सभी संभावित उत्तरों को समाप्त करने के बारे में सोच सकते हैं जो हमारे द्वारा मापे गए के साथ असंगत हैं। उदाहरण के लिए, मान लें कि हम मापते हैं और परिणाम प्राप्त करते हैं , फिर परिणामी अवस्था हमारे पास होगी: $Z_{1}$ $Z$ $Z_{2}$ $Z$ $Z_{1}$ $1$

| ψ ⟩ = \frac{1}{\sqrt{| c |^{2} + | d |^{2}}} (c | 1_{Z} ⟩ \otimes | 0_{Z} ⟩ + d | 1_{Z} ⟩ \otimes | 1_{Z} ⟩)

$| \psi \rangle = \frac{1}{\sqrt{|c|^{2} +|d|^{2}}} \left(c | 1_{Z} \rangle \otimes | 0_{Z} \rangle + d | 1_{Z} \rangle \otimes | 1_{Z} \rangle \right)$

ध्यान दें कि सामने का गुणांक सिर्फ रेनोवेशन के लिए है। तो को मापने की हमारी संभावना $Z_{2}=0$ । ध्यान दें कि यह प्रारंभिक अवस्था में हमारे पास मौजूद संभाव्यता से भिन्न है, जो था। $\frac{1}{|c|^{2} +|d|^{2}} |c^{2}|$ $|a|^{2}+|c|^{2}$

मान लीजिए कि आपके द्वारा किया गया अगला माप पिछले एक के साथ नहीं है, फिर भी। यह मुश्किल है क्योंकि आपको संभावनाओं को समझने के लिए राज्य वेक्टर के आधार पर बदलाव को लागू करना होगा। पाउली माप के साथ, हालांकि, यह आसान है क्योंकि eigenbases एक अच्छे तरीके से संबंधित है, यह है:

| 0_{Z} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| 0_{X} ⟩ + | 1_{X} ⟩)

$| 0_{Z} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} (|0_{X}\rangle + |1_{X} \rangle )$

| 1_{Z} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| 0_{X} ⟩ - | 1_{X} ⟩)

$| 1_{Z} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} (|0_{X}\rangle - |1_{X} \rangle )$

अपनी समझ को जांचने का एक अच्छा तरीका: ऊपर दिए गए माप के बाद को मापने की संभावना क्या है ? यदि हमने माप नहीं किया है तो क्या संभावना है ? फिर एक अधिक जटिल सवाल यह है कि उत्पाद संचालकों को कैसे देखा जाए, जो एक ही बार में दोनों की मात्राओं पर कार्य करते हैं, उदाहरण के लिए, का माप प्रारंभिक अवस्था को कैसे प्रभावित करता है? यहां दो ऑपरेटरों के उत्पाद को मापता है। $X= +1$ $Z_{1}=1$ $Z_{1}$ $Z_{1}Z_{2}=+1$ $Z_{1}Z_{2}$

— Emily Tyhurst
स्रोत

Nice and simple answer. I think it is important to note, that what you describe is only true if you a) perform projective measurements and b) you know the outcome of the measurement. Just keep in mind that in general you will need mixed states to describe the post-measurement state.

— M. Stern

Suppose that, prior to measurement, your $n$ -qubit system is in some state $\lvert \psi \rangle \in \mathcal H_2^{\otimes n}$ , where $\mathcal H_2 \cong \mathbb C^2$ is the Hilbert space of a single qubit. Write

| ψ ⟩ = \sum_{x \in {0, 1}^{n}} u_{x} | x ⟩

$\lvert \psi \rangle = \sum_{x \in \{0,1\}^n} u_x \lvert x \rangle$ for some coefficients

u_{x} \in C

$u_x \in \mathbb C$ such that

\sum_{x} | u_{x} |^{2} = 1

$\sum_x \lvert u_x \rvert^2 = 1$ .

If you are measuring the first qubit in the standard basis, define
$\begin{aligned} | φ_{0} ⟩ & = \sum_{x^{'} \in {0, 1}^{n - 1}} u_{0 x^{'}} | 0 ⟩ | x^{'} ⟩, \\ | φ_{1} ⟩ & = \sum_{x^{'} \in {0, 1}^{n - 1}} u_{1 x^{'}} | 1 ⟩ | x^{'} ⟩, \end{aligned}$ $\begin{aligned} \lvert \varphi_0 \rangle &= \!\!\!\!\!\sum_{x' \in \{0,1\}^{n-1}}\!\!\!\!\!\! u_{0x'} \,\lvert0\rangle \lvert x' \rangle, \\ \lvert \varphi_1 \rangle &= \!\!\!\!\!\sum_{x' \in \{0,1\}^{n-1}}\!\!\!\!\!\! u_{1x'} \,\lvert1\rangle \lvert x' \rangle,\end{aligned}$ and let $\lvert \psi_0 \rangle = \lvert \varphi_0 \rangle \big/\! \sqrt{\langle \varphi_0 \vert \varphi_0 \rangle}\,$ and $\,\lvert \psi_1 \rangle = \lvert \varphi_1 \rangle \big/\! \sqrt{\langle \varphi_1 \vert \varphi_1 \rangle}\,$ . It is not too difficult to show that, if you measure the first qubit and obtain the state $\lvert 0 \rangle$ , the state of the entire system "collapses" to $\lvert \psi_0 \rangle$ , and if you obtain $\lvert 1 \rangle$ what you obtain is $\lvert \psi_1 \rangle$ .
This is broadly analogous to the idea of conditional probability distributions: you might think of $\lvert \psi_0 \rangle$ as the state of the system conditioned on the first qubit being $\lvert 0 \rangle$ , and $\lvert \psi_1 \rangle$ as the state of the system conditioned on the first qubit being $\lvert 1 \rangle$ (except of course that the story is a bit more complicated, on account of the fact that the first qubit is not "secretly" in either the state $0$ or $1$ ).
The above is not strongly dependent on measuring the first qubit: we can define $\lvert \varphi_0 \rangle$ and $\lvert \varphi_1 \rangle$ in terms of fixing any particular bit in the bit string $x$ to either $0$ or $1$ , summing over only those components which are consistent with either the choice $0$ or $1$ , and proceeding as above.
The above is also not strongly dependent on measuring in the standard basis, as Emily indicates. If we wish to consider measuring the first qubit in the basis $\lvert \alpha \rangle, \lvert \beta \rangle$ , where $\lvert \alpha \rangle = \alpha_0 \lvert 0 \rangle + \alpha_1 \lvert 1 \rangle$ and $\lvert \beta \rangle = \beta_0 \lvert 0 \rangle + \beta_1 \lvert 1 \rangle$ , we define
$\begin{aligned} | φ_{0} ⟩ & = (| α ⟩ ⟨ α | \otimes I^{\otimes n - 1}) | ψ ⟩ = \sum_{x^{'} \in {0, 1}^{n - 1}} (α_{0}^{*} u_{0 x^{'}} + α_{1}^{*} u_{1 x^{'}}) | α ⟩ | x^{'} ⟩, \\ | φ_{1} ⟩ & = (| β ⟩ ⟨ β | \otimes I^{\otimes n - 1}) | ψ ⟩ = \sum_{x^{'} \in {0, 1}^{n - 1}} (β_{0}^{*} u_{0 x^{'}} + β_{1}^{*} u_{1 x^{'}}) | β ⟩ | x^{'} ⟩, \end{aligned}$ $\begin{aligned} \lvert \varphi_0 \rangle &= \Bigl(\lvert \alpha \rangle\!\langle \alpha \lvert \otimes I^{\otimes n-1}\Bigr)\lvert \psi\rangle = \!\!\!\!\!\sum_{x' \in \{0,1\}^{n-1}}\!\!\!\!\!\! \bigl(\alpha_0^\ast u_{0x'} + \alpha_1^\ast u_{1x'}\bigr) \,\lvert\alpha\rangle \lvert x' \rangle\,, \\ \lvert \varphi_1 \rangle &= \Bigl(\lvert \beta\rangle\!\langle \beta \lvert \otimes I^{\otimes n-1}\Bigr)\lvert \psi\rangle = \!\!\!\!\!\sum_{x' \in \{0,1\}^{n-1}}\!\!\!\!\!\! \bigl(\beta_0^\ast u_{0x'} + \beta_1^\ast u_{1x'}\bigr) \,\lvert\beta\rangle \lvert x' \rangle\,, \end{aligned}$ and then proceeding as above.

— Niel de Beaudrap
स्रोत

Less formally-stated than the other answers, but for beginners I like the intuitive method outlined by Prof. Vazirani in this video.

Suppose you have a general two-qbit state:

$|\psi\rangle = \begin{bmatrix} \alpha_{00} \\ \alpha_{01} \\ \alpha_{10} \\ \alpha_{11} \end{bmatrix} = \alpha_{00}|00\rangle + \alpha_{01}|01\rangle + \alpha_{10}|10\rangle + \alpha_{11}|11\rangle$

Now suppose you measure the most-significant (leftmost) qbit in the computational basis (as in, collapse it to either $|0\rangle$ or $|1\rangle$ ). There are two questions we might ask:

What is the probability that the measured qbit collapses to $|0\rangle$ ? What about $|1\rangle$ ?
What is the state of the 2-qbit system after measurement?

For the first question, the intuitive answer is this: take the sum of squares of all amplitudes associated with the value for which you want to find the probability of collapse. So, if you want to know the probability of the measured qbit collapsing to $|0\rangle$ , you'd look at the amplitudes associated with cases $|00\rangle$ and $|01\rangle$ , because those are the cases where the measured qbit is $|0\rangle$ . Thus:

$P[|0\rangle] = |\alpha_{00}|^2 + |\alpha_{01}|^2$

Similarly, for $|1\rangle$ you look at the amplitudes associated with cases $|10\rangle$ and $|11\rangle$ , so:

$P[|1\rangle] = |\alpha_{10}|^2 + |\alpha_{11}|^2$

As for the state of the 2-qbit system after measurement, what you do is cross out all the components of the superposition which are inconsistent with the answer you got. So, if you measured $|0\rangle$ , then the state after measurement is:

$\require{cancel} |\psi\rangle = \alpha_{00}|00\rangle + \alpha_{01}|01\rangle + \cancel{\alpha_{10}|10\rangle} + \cancel{\alpha_{11}|11\rangle} = \alpha_{00}|00\rangle + \alpha_{01}|01\rangle$

However, this state is not normalized - the sum of squares does not add up to 1, and so you have to normalize it:

$|\psi\rangle = \frac{\alpha_{00}|00\rangle + \alpha_{01}|01\rangle}{\sqrt{|\alpha_{00}|^2 + |\alpha_{01}|^2}}$

Similarly, if you measured $|1\rangle$ then you'd get:

$\require{cancel} |\psi\rangle = \cancel{\alpha_{00}|00\rangle} + \cancel{\alpha_{01}|01\rangle} + \alpha_{10}|10\rangle + \alpha_{11}|11\rangle = \alpha_{10}|10\rangle + \alpha_{11}|11\rangle$

Normalized:

$|\psi\rangle = \frac{\alpha_{10}|10\rangle + \alpha_{11}|11\rangle}{\sqrt{|\alpha_{10}|^2 + |\alpha_{11}|^2}}$

And that's how you calculate the action of measuring one qbit in a multi-qbit state, in the simplest case!

— ahelwer
स्रोत