कैसे कई राज्यों का प्रतिनिधित्व करने के लिए?

Question

चूंकि क्वांटम कंप्यूटिंग में सक्षम क्वांटम उपकरणों की पहुंच अभी भी बेहद सीमित है, इसलिए शास्त्रीय कंप्यूटर पर क्वांटम कम्प्यूटेशन का अनुकरण करना दिलचस्पी का विषय है । एक वेक्टर के रूप में qubits की स्थिति का प्रतिनिधित्व करते हुए तत्व होते हैं, जो कि ऐसे सिमुलेशन में विचार कर सकते हैं, जो बहुत से qubits की संख्या को प्रतिबंधित करता है।2 $n$$2^n$

क्या कोई प्रतिनिधित्व ^{1 का} उपयोग कर सकता है जो अधिक कॉम्पैक्ट है, इस अर्थ में कि यह साधारण वेक्टर प्रतिनिधित्व की तुलना में कम मेमोरी और / या कम्प्यूटेशनल शक्ति का उपयोग करता है? यह कैसे काम करता है?

लागू करना आसान है, यह स्पष्ट है कि वेक्टर प्रतिनिधित्व उन राज्यों के लिए बेकार है जो अपने वेक्टर प्रतिनिधित्व में दुर्लभता और / या अतिरेक का प्रदर्शन करते हैं। एक ठोस उदाहरण के लिए, 3-qubit state । इसमें तत्व हैं, लेकिन वे केवल संभावित मान लेते हैं, जिनमें से अधिकांश तत्व । बेशक, एक क्वांटम गणना का अनुकरण करने में उपयोगी होने के लिए हमें यह भी विचार करना होगा कि कैसे गेट्स और क्वेट पर गेट्स की कार्रवाई का प्रतिनिधित्व किया जाए, और इनमें से कुछ के बारे में स्वागत किया जाएगा, लेकिन मुझे केवल क्वैब के बारे में भी सुनना अच्छा लगेगा।233$(1/\sqrt{3}, 1/\sqrt{3},0,0,0,-1/\sqrt{3}, 0,0)^T$$2^3$$3$$0$

_{1. ध्यान दें कि मैं अभ्यावेदन के बारे में पूछ रहा हूं, न कि सॉफ्टवेयर, पुस्तकालयों या लेखों के बारे में जो ऐसे अभ्यावेदन का उपयोग / प्रस्तुत कर सकते हैं। यदि आप प्रस्तुत करते हैं और एक प्रतिनिधित्व की व्याख्या करते हैं, तो आप यह उल्लेख करने के लिए बहुत स्वागत करते हैं कि यह पहले से ही हालांकि उपयोग किया जाता है।}

Answer 1

एक राज्य को कॉम्पैक्ट रूप से प्रतिनिधित्व करने के कई संभावित तरीके हैं, जिनमें से उपयोगिता संदर्भ पर दृढ़ता से निर्भर करती है।

सबसे पहले, यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि एक ऐसी प्रक्रिया होना संभव नहीं है जो किसी भी राज्य को उसी राज्य के अधिक कुशल प्रतिनिधित्व में मैप कर सकती है (उसी कारण से स्पष्ट रूप से किसी भी 2-बिट को संपीड़ित करना संभव नहीं है। 1-बिट स्ट्रिंग के रूप में स्ट्रिंग, एक मैपिंग के साथ जो स्ट्रिंग पर निर्भर नहीं करता है)।

हालाँकि, जैसे ही आप कुछ धारणाएँ बनाना शुरू करते हैं, आप दिए गए संदर्भ में एक राज्य का प्रतिनिधित्व करने के लिए और अधिक कुशल तरीके पा सकते हैं। ऐसा करने के लिए संभावित तरीकों की एक भीड़ है, इसलिए मैं बस कुछ का उल्लेख करूंगा जो दिमाग में आते हैं:

1. पहले से ही एक ket राज्य के मानक वेक्टर प्रतिनिधित्व एक "संकुचित प्रतिनिधित्व", कि राज्य होने का इस धारणा के तहत काम करता है के बारे में सोचा जा सकता है शुद्ध । वास्तव में, आपको एक शुद्ध मन का प्रतिनिधित्व करने के लिए मनमाने ढंग से (आमतौर पर मिश्रित) -qubit राज्य का प्रतिनिधित्व करने के लिए स्वतंत्रता की वास्तविक डिग्री की आवश्यकता होती है, लेकिन केवल ।एन 2 एन + 1 - $4^n-1$$n$$2^{n+1}-2$

2. यदि आप एक राज्य को लगभग शुद्ध मानते हैं , अर्थात, ऐसा कुछ प्रतिनिधित्व में विरल है (समकक्ष, कम रैंक है), तो फिर से राज्य को कुशलता से चित्रित किया जा सकता है। एक के लिए आयामी प्रणाली (ताकि एक के लिए -qubit प्रणाली), बजाय ~ का उपयोग करने का मानकों, आप एक वफादार प्रतिनिधित्व का उपयोग कर केवल हो सकता है , जहां राज्य की विरलता है (देखें 0909.3304 और उसके बाद आए कार्य)।ρ ρ घ घ = 2 एन एन डी 2 हे ( आर d लोग इन 2 घ ) $\rho$$\rho$$\rho$$d$$d=2^n$$n$$d^2$$\mathcal O(r d \log^2 d)$$r$

3. यदि आप केवल एक सीमित संख्या में रुचि रखते हैंअपेक्षाओं के मूल्यों के अनुसार, आप आकार -qubit स्थिति का संकुचित प्रतिनिधित्व पा सकते हैं । ध्यान दें कि यह एक घातीय कमी के बराबर है । यह क्वांट-ph / 0402095 में दिखाया गया (मुझे लगता है) , लेकिन 1801.05721 में दिया गया परिचय भौतिक विज्ञानी के लिए अधिक सुलभ हो सकता है (साथ ही अनुकूलन पद्धति में सुधार भी प्रस्तुत कर सकता है)। समान परिणामों के लिए इस अंतिम पेपर में संदर्भ देखें।n O ( n लॉग ( n ) लॉग ( | S | ) $|S|$$n$$\mathcal O(n\log(n)\log(|S|))$

4. यदि आप जानते हैं कि राज्य का उलझाव सीमित है (एक अर्थ में जिसे सटीक रूप से परिभाषित किया जा सकता है), तो फिर से कुशल अभ्यावेदन पाया जा सकता है, दसियों नेटवर्क के संदर्भ में (एक परिचय उदाहरण 1708.00006 में पाया जाता है )। हाल ही में, यह भी दिखाया गया कि कुछ उल्लेखनीय हैमिल्टन के जमीनी राज्यों को मशीन-लर्निंग-प्रेरित एनाटेज़ ( 1606.02318 और कई निम्नलिखित कार्यों) का उपयोग करके प्रतिनिधित्व किया जा सकता है । हाल ही में यह भी दिखाया गया था / एक विशिष्ट टेन्सर नेटवर्क प्रतिनिधित्व के बराबर होने का दावा किया गया था। ( 1710.04045 ) इसलिए मुझे यकीन नहीं है कि इसे अपनी श्रेणी में जाना चाहिए या नहीं।

ध्यान दें कि उपरोक्त सभी में आप किसी दिए गए राज्य का अधिक कुशलता से प्रतिनिधित्व कर सकते हैं, लेकिन फिर उस प्रणाली के विकास का अनुकरण करने के लिए जिसे आपको आमतौर पर मूल अक्षम प्रतिनिधित्व पर वापस जाने की आवश्यकता होती है। यदि आप किसी दिए गए विकास के माध्यम से किसी राज्य की गतिशीलता का कुशलता से प्रतिनिधित्व करना चाहते हैं , तो आपको फिर से संभव होने के लिए विकास पर मान्यताओं की आवश्यकता होगी। इस संबंध में दिमाग में आने वाला एकमात्र परिणाम शास्त्रीय है (जैसा कि विस्थापित है, न कि "नॉन क्वांटम" के रूप में) गोट्समैन-निल प्रमेय , जो किसी भी क्लिफर्ड क्वांटम सर्किट को कुशलतापूर्वक अनुकरण करने की अनुमति देता है।

Answer 2

$\newcommand{\ket}[1]{\left|#1\right>}$ मुझे यकीन नहीं है कि स्पार्सिटी का उपयोग करना यहां एक अच्छा तरीका है: यहां तक ​​कि एकल-क्वैबिट गेट भी आसानी से एक विरल अवस्था को घने में बदल सकते हैं।

लेकिन आप स्टेबलाइजर औपचारिकता का उपयोग कर सकते हैं यदि आप केवल क्लिफोर्ड फाटकों का उपयोग करते हैं । यहाँ एक छोटी संक्षिप्त (है अंकन ):
एकल qubit पाउली समूह है , पाउली मैट्रिक्स की यानी सभी संभव उत्पादों (सहित )। कई का पाउली समूह , का टेंसर उत्पाद स्थान है । एक राज्य की स्थिरता प्राप्त सभी ऑपरेटरों कि स्थिर की पाउली समूह के उपसमूह है , जो साधन$G_1=\langle X, Y, Z\rangle$$\mathbb{I}$$G_1$$G_n=G_1^{\otimes n}$$\ket{\psi}$$\ket{\psi}$$s \ket{\psi} = \ket{\psi}$। यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि यह केवल विशिष्ट (लेकिन महत्वपूर्ण) राज्यों के लिए काम करता है। मैं नीचे एक उदाहरण दूंगा। पाउली समूह के तत्वों के लिए प्रतिबंध आवश्यक नहीं है, लेकिन आम है। स्टेबलाइजर ऑपरेटरों द्वारा उत्पन्न होता है , , ... । स्टेबलाइजर विशिष्ट रूप से राज्य को परिभाषित करता है और एक कुशल विवरण है: जटिल संख्याओं के बजाय हम बिट्स का उपयोग कर सकते हैं ( में 16 तत्व हैं)। जब हम एक गेट लागू करते हैं , तो स्टेबलाइजर जनरेटर अनुसार अपडेट हो जाता है$s_1$$s_2$$s_n$$2^n-1$$4n^2$$G_1$$U$$s_i \to U^\dagger s_i U$। एक गेट जो पाउली ऑपरेटरों को पाउली ऑपरेटरों को मैप करता है, उसे क्लिफर्ड गेट्स कहा जाता है। तो ये वे द्वार हैं जो राज्य के हमारे विवरण को "गड़बड़" नहीं करेंगे।

ऊपर वर्णित स्टेबलाइजर औपचारिकता के लिए ग्राफ राज्य एक महत्वपूर्ण उदाहरण है। एक अप्रत्यक्ष (अप्रत्यक्ष) गणितीय ग्राफ पर विचार करें, जिसमें कोने और किनारों । प्रत्येक शीर्ष एक qubit से मेल खाता है। हमें ग्राफ को निरूपित करते हैं । एक ग्राफ स्थिति राज्य , जहां जुड़े हुए हैं जो प्रत्येक जोड़ी के लिए एक नियंत्रित चरण गेट लागू करके । स्टेबलाइजर द्वारा द्वारा उत्पन्न होता है$n$$V$$E\subset V\times V$$G=(V,E)$$\ket{+}^{\otimes n}$$\ket{+}=\frac{1}{\sqrt{2}} (\ket{0}+\ket{1})$$C_Z$

$$s_v= X_v \prod_{\substack{w\in V\\ (v,w)\in E}} Z_w.$$

उदाहरण के लिए दो-क्विट स्टेट । स्टेबलाइजर । अब गेट को लागू करने के लिए । (राज्य , जो एक बेल राज्य के बराबर स्थानीय एकात्मक है) ⟨ एक्स ⊗ मैं , मैं ⊗ एक्स ⟩ सी जेड ⟨ एक्स ⊗ जेड , जेड ⊗ एक्स ⟩ | φ ' ⟩ = $\ket{\phi}=\ket{+}\otimes \ket{+}$$\langle X\otimes \mathbb{I}, \mathbb{I}\otimes X \rangle$$C_Z$$\langle X \otimes Z, Z \otimes X \rangle$$\ket{\phi'}=\frac{1}{2}(1,1,1,-1)^T$

स्टेबलाइजर औपचारिकता भी क्वांटम त्रुटि सुधार में महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है।

Answer 3

क्या कोई प्रतिनिधित्व अधिक कॉम्पैक्ट का उपयोग कर सकता है, इस अर्थ में कि यह साधारण वेक्टर प्रतिनिधित्व की तुलना में कम मेमोरी और / या कम्प्यूटेशनल शक्ति का उपयोग करता है? यह कैसे काम करता है?

स्रोत: " मल्टीपल कुबिट्स ":

"एक एकल qubitial रूप से मॉडलिंग की जा सकती है, एक पचास-qubit क्वांटम गणना का अनुकरण करने से यकीनन मौजूदा सुपर कंप्यूटर की सीमाएं बढ़ जाएंगी। केवल एक अतिरिक्त qubit द्वारा संगणना का आकार बढ़ाना राज्य को संग्रहीत करने के लिए आवश्यक मेमोरी को दोगुना कर देता है और लगभग कम्प्यूटेशनल समय को दोगुना कर देता है। कम्प्यूटेशनल पावर का यह तेजी से दोहरीकरण है, क्यों क्वांटम कंप्यूटर अपेक्षाकृत कम संख्या में क्वैट्स है जो आज, कल और कुछ कम्प्यूटेशनल कार्यों के लिए सबसे शक्तिशाली सुपर कंप्यूटर को पार कर सकता है। "

तो आप पॉल का भुगतान करने के लिए एक पोंजी योजना का उपयोग नहीं कर सकते हैं या पीटर को लूट सकते हैं । संपीड़न कम्प्यूटेशनल जटिलता की कीमत पर स्मृति को बचाएगा, या अधिक लचीली जगह (बड़ा) में प्रतिनिधित्व कम्प्यूटेशनल जटिलता को कम करेगा लेकिन स्मृति की लागत पर। आवश्यक रूप से जो आवश्यक है वह अधिक सक्षम हार्डवेयर या स्मार्ट एल्गोरिदम है।

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यहाँ कुछ तरीके हैं:

• Qubit के मीट्रिक के क्वांटम राज्यों के सेट की मात्रा का संपीड़न:

फिशर जानकारी मीट्रिक qubit के रूप में "पर चर्चा की एक सूचना ज्यामिति दृष्टिकोण का उपयोग कर की मात्रा मैप करने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता दो Qubit स्टेट्स सूचना ज्यामिति द्वारा की मात्रा ," " फिशर सूचना और क्रेमर-राव के विश्लेषण से गैर रेखीय पैरामीटर आकलन के लिए बाउंड कम्प्रेस्ड सेंसिंग के बाद , और हमारे " फिशर इंफॉर्मेशन एंड क्रैमर-राव बाउंड की गहन व्याख्या "।

• ऑपरेंड कंप्रेशन के अनुरूप:

तार्किक संचालन की गहराई-इष्टतम डिकम्पोज़िशन की गणना: " गहराई-इष्टतम क्वांटम सर्किट के तेजी से संश्लेषण के लिए एक मीटिंग-इन-द-बीच एल्गोरिथ्म " या " कण के आयाम को एन्कोडिंग " पर यह क्वोरा चर्चा ।

• स्मृति संपीड़न के अनुरूप:

टर्नरी अंकगणितीय का उपयोग करते हुए कुट्रीकरण कारक: " क्यूट्रिट्स के साथ फैक्टरिंग: टर्नरी और मेटाप्लेक्टिक क्वांटम आर्किटेक्चर्स पर शोर का एल्गोरिथ्म " और " क्वांटम टर्नरी सर्किट संश्लेषण का उपयोग प्रोपर ऑपरेशन का उपयोग "।

• पारंपरिक अनुकूलन के अनुरूप

" न्यूनतम विशेष-या अभिव्यक्ति को खोजने के लिए एक क्वांटम एल्गोरिथम "।

• अन्य:

क्रुल डाइमेंशन या एक्सिओमैटिसिटी और ग्राफ रीराइटिंग: " प्योर क्यूबिट क्लिफोर्ड + टी क्वांटम मैकेनिक्स के लिए ZX-पथरी की पूर्णता ।"

उन तकनीकों के संयोजन से आपको जूते में पैर को निचोड़ने में सक्षम होना चाहिए। यह पारंपरिक प्रोसेसर पर बड़े सिस्टम के अनुकरण की अनुमति देगा, बस मुझे डॉक्टरेट स्तर के काम को समझाने या कोड लिखने के लिए न कहें। :)