( ईमानदारी और गणितीय अखंडता - इस "उत्तर" पर वोटों की संख्या को देखते हुए - ने मुझे इस उत्तर को संपादित करने के लिए प्रेरित किया है। मैंने यथासंभव लंबे समय तक आयोजित किया क्योंकि यह एक छोटी सी चुटकी के रूप में था और कुछ भी "गहरी" के रूप में नहीं डाला गया था। कोई भी स्पष्टीकरण उद्देश्य के लिए काउंटर लग रहा था। हालांकि, टिप्पणियां यह स्पष्ट कर रही हैं कि मुझे गलतफहमी से बचने के लिए स्पष्ट होना चाहिए। )
मेरा मूल उत्तर:
विनिर्देशन के इस भाग का शब्दांकन:
यदि यह 0 है, तो मैं इसे 1 पर सेट करना चाहता हूं, अन्यथा इसे 0 पर सेट करें।
इसका मतलब है कि सबसे सटीक समाधान है:
v = dirac_delta(0,v)
सबसे पहले, स्वीकारोक्ति: मैं था मिल मेरी डेल्टा कार्यों उलझन में। क्रोनकर डेल्टा थोड़ा अधिक उपयुक्त होता, लेकिन उतना नहीं जितना कि मैं कुछ चाहता था जो कि डोमेन-इंडिपेंडेंट था (क्रोनकर डेल्टा मुख्य रूप से पूर्णांक के लिए उपयोग किया जाता है)। लेकिन मुझे वास्तव में डेल्टा फ़ंक्शंस का उपयोग नहीं करना चाहिए था, मुझे कहना चाहिए:
v = characteristic_function({0},v)
मुझे स्पष्ट करें। स्मरण करो कि एक फ़ंक्शन एक ट्रिपल है, (एक्स, वाई, एफ) , जहां एक्स और वाई सेट हैं ( क्रमशः डोमेन और कोडोमैन कहा जाता है) और एफ एक नियम है जो एक्स के प्रत्येक तत्व को वाई का एक तत्व प्रदान करता है । हम अक्सर ट्रिपल (एक्स, वाई, एफ) को एफ: एक्स → वाई लिखते हैं । के एक सबसेट को देखते हुए एक्स , का कहना है कि एक , वहाँ एक है विशेषता समारोह जो एक समारोह है χ एक एक्स → {0,1}:(इसे एक बड़े कोडोमेन जैसे ℝ या thought के फ़ंक्शन के रूप में भी सोचा जा सकता है)। यह फ़ंक्शन नियम द्वारा परिभाषित किया गया है:
χ ए (एक्स) = 1 अगर एक्स χ ए और x ए (एक्स) = ० अगर एक्स । ए ।
यदि आप सत्य सारणी को पसंद करते हैं, तो यह प्रश्न के लिए सत्य सारणी है "क्या X का तत्व x , उपसेट A का एक तत्व है ?"।
तो इस परिभाषा से, यह स्पष्ट है कि विशेषता कार्य यहाँ आवश्यक है, जिसमें X में कुछ बड़े सेट हैं जिनमें 0 और A = {0} हैं । यही मुझे लिखना चाहिए था।
और इसलिए डेल्टा कार्य करने के लिए। इसके लिए हमें एकीकरण के बारे में जानने की जरूरत है। या तो आप यह पहले से ही जानते हैं, या आप नहीं। यदि आप ऐसा नहीं करते हैं, तो मैं यहां कुछ भी नहीं कह सकता कि आप सिद्धांत की जटिलताओं के बारे में बताएंगे, लेकिन मैं एक वाक्य सारांश दे सकता हूं। एक सेट X पर एक माप सार में है "जो औसत काम करने के लिए आवश्यक है"। यही कारण है कि कहने के लिए अगर हम एक सेट है कि है एक्स और एक उपाय μ फिर वहाँ कार्यों का एक वर्ग है कि सेट पर एक्स → ℝ , कहा जाता है औसत दर्जे का काम करता है जिसके लिए अभिव्यक्ति ∫ एक्स च dμ समझ में आता है और है, कुछ अस्पष्ट अर्थ में, X पर f का "औसत" ।
एक सेट पर एक माप को देखते हुए, कोई भी उस सेट के सबसेट के लिए "माप" को परिभाषित कर सकता है। यह एक उपसमुच्चय को उसके चारित्रिक कार्य के अभिन्न अंग (यह मानते हुए कि यह एक औसत दर्जे का कार्य है) को निर्दिष्ट करके किया जाता है। यह अनंत, या अपरिभाषित हो सकता है (दोनों सूक्ष्म रूप से भिन्न हैं)।
चारों ओर बहुत सारे उपाय हैं, लेकिन यहां दो महत्वपूर्ण हैं। एक वास्तविक लाइन पर मानक उपाय है, on। इस उपाय के लिए, तो ∫ ℝ dμ च काफी क्या आप स्कूल में पढ़ाया जा रहा हो जाता है (पथरी अभी भी स्कूलों में पढ़ाया जाता है?): छोटे आयतों योग और और छोटे छोटे चौड़ाई ले। इस माप में, एक अंतराल का माप इसकी चौड़ाई है। एक बिंदु का माप 0 है।
एक अन्य महत्वपूर्ण उपाय, जो किसी भी सेट पर काम करता है , बिंदु माप कहलाता है । इसे परिभाषित किया गया है ताकि किसी फ़ंक्शन का अभिन्न अंग उसके मूल्यों का योग हो :
∫ X f dμ = ∈ x (X f (x)
यह उपाय प्रत्येक सिंगलटन को असाइन करता है माप 1 सेट करता है। इसका मतलब यह है कि एक सबसेट का परिमित माप है यदि और केवल यदि यह स्वयं परिमित है। और बहुत कम कार्यों में परिमित अभिन्नता है। शून्य गैर केवल एक पर एक समारोह में एक परिमित अभिन्न है, यह होना चाहिए गणनीय अंकों की संख्या। तो जिन कार्यों को आप जानते हैं, उनमें से अधिकांश में इस उपाय के तहत परिमित अभिन्न नहीं है।
और अब डेल्टा कार्यों के लिए। आइए एक बहुत व्यापक परिभाषा लें। हमारे पास एक मापने योग्य स्थान (एक्स, μ) है (ताकि यह उस पर एक माप के साथ एक सेट हो) और एक तत्व ∈ एक्स । हम "को परिभाषित" डेल्टा समारोह (के आधार पर एक "समारोह" होने के लिए) δ एक एक्स → ℝ: संपत्ति के साथ कि δ एक (x) = 0 यदि x ≠ एक और ∫ एक्स δ एक dμ = 1 ।
इसके बारे में सबसे महत्वपूर्ण तथ्य यह है कि यह एक पकड़ है: डेल्टा फ़ंक्शन की आवश्यकता नहीं है । यह है नहीं ठीक से परिभाषित: मैं क्या नहीं कहा है δ एक (क) है।
आप इस बिंदु पर क्या करते हैं यह इस बात पर निर्भर करता है कि आप कौन हैं। यहां की दुनिया दो श्रेणियों में विभाजित है। यदि आप एक गणितज्ञ हैं, तो आप निम्नलिखित कहते हैं:
ठीक है, इसलिए डेल्टा फ़ंक्शन को परिभाषित नहीं किया जा सकता है। जहां यह हम इसके लिए एक उचित घर मिल सकता है अपने काल्पनिक संपत्तियों पर आइए नज़र और देखो है परिभाषित किया। हम ऐसा कर सकते हैं, और हम वितरण के साथ समाप्त होते हैं । ये हैं नहीं (जरूरी) काम करता है, लेकिन चीजें हैं कि कार्यों की तरह एक छोटे से है, और अक्सर हम उनके साथ काम कर सकते हैं जैसे कि वे कार्यों थे व्यवहार; लेकिन कुछ चीजें हैं जो उनके पास नहीं हैं (जैसे कि "मूल्य") इसलिए हमें सावधान रहने की जरूरत है।
यदि आप गणितज्ञ नहीं हैं, तो आप निम्नलिखित कहते हैं:
ठीक है, इसलिए डेल्टा फ़ंक्शन ठीक से परिभाषित नहीं हो सकता है। ऐसा कौन कहता है? गणितज्ञों का एक समूह? उन पर ध्यान न दें! उन्हें क्या पता है?
अब अपने दर्शकों को नाराज करके, मैं जारी रखूंगा।
Dirac डेल्टा आमतौर पर इसके मानक उपाय के साथ वास्तविक रेखा में एक बिंदु (अक्सर 0) के डेल्टा समारोह होने के लिए लिया जाता है। इसलिए जो लोग मेरे बारे में टिप्पणियों में शिकायत कर रहे हैं वे मेरे डेल्टास को नहीं जानते हैं क्योंकि वे इस परिभाषा का उपयोग कर रहे हैं। उनके लिए, मैं माफी मांगता हूं: हालांकि मैं गणितज्ञ की रक्षा का उपयोग करके उस से बाहर निकल सकता हूं (जैसा कि हम्प्टी डम्प्टी द्वारा लोकप्रिय : बस सब कुछ फिर से परिभाषित करें ताकि यह सही हो), यह मानक शब्द का उपयोग करने के लिए कुछ अलग मतलब है।
लेकिन वहाँ है एक डेल्टा समारोह जो कि मैं क्या करना चाहते हैं और ऐसा लगता है कि जो मैं यहाँ की जरूरत है क्या करता है। अगर मैं एक ले बिंदु उपाय एक सेट पर एक्स फिर वहाँ है एक वास्तविक समारोह δ एक एक्स → ℝ: जो संतुष्ट एक डेल्टा समारोह के लिए मापदंड। इसका कारण यह है कि हम एक फ़ंक्शन X → is की तलाश कर रहे हैं, जो कि शून्य को छोड़कर है और जैसे कि इसके सभी मानों का योग है। 1. ऐसा फ़ंक्शन सरल है: सूचना का एकमात्र अनुपलब्ध टुकड़ा एक में इसका मान है , और 1 होने का योग पाने के लिए हम इसे केवल 1 मान देते हैं। यह {a} पर विशेषता फ़ंक्शन के अलावा और कोई नहीं है । फिर:
∫ एक्स δ एक dμ = Σ एक्स ∈ एक्स δ एक (x) = δ एक (ए) = 1।
तो इस मामले में, एक सिंगलटन सेट के लिए, विशेषता फ़ंक्शन और डेल्टा फ़ंक्शन सहमत हैं।
अंत में, "कार्य" के तीन परिवार हैं:
- सिंगलटन सेट्स की विशिष्ट विशेषताएं,
- डेल्टा कार्य,
- क्रोनकर डेल्टा कार्य करता है।
इनमें से दूसरा सबसे सामान्य है क्योंकि बिंदु माप का उपयोग करते समय किसी भी अन्य का एक उदाहरण है। लेकिन पहले और तीसरे को फायदा है कि वे हमेशा वास्तविक कार्य करते हैं। तीसरा वास्तव में डोमेन के किसी विशेष परिवार (पूर्णांक, या उसके बाद कुछ उप-समूह) के लिए पहला मामला है।
तो, अंत में, जब मैं मूल रूप से इस सवाल का जवाब मैंने लिखा नहीं कर रहा था ठीक से सोच (मैं अब तक जाना नहीं होगा, क्योंकि यह कहना है कि मैं था उलझन में , के रूप में मुझे उम्मीद है कि मैं सिर्फ प्रदर्शन किया है मैं करना जानता हूँ कि मैं क्या जब के बारे में बात कर रहा हूँ मैं वास्तव में पहले सोचता हूं, मैंने अभी बहुत सोचा नहीं है)। डाय्रेक्ट डेल्टा का सामान्य अर्थ वह नहीं है जो यहां चाहिए, लेकिन मेरे जवाब में एक बात यह थी कि इनपुट डोमेन को परिभाषित नहीं किया गया था , इसलिए क्रोनकर डेल्टा भी सही नहीं था। इस प्रकार सबसे अच्छा गणितीय उत्तर (जो मैं लक्ष्य कर रहा था) विशेषता कार्य होता।
मुझे आशा है कि यह सब स्पष्ट है; और मुझे यह भी उम्मीद है कि मुझे टीईएक्स मैक्रोज़ के बजाय HTML संस्थाओं का उपयोग करके एक गणितीय टुकड़ा फिर से लिखना नहीं है!