मेरा उत्तर काफी लंबा है, इसलिए मैंने इसे तीन खंडों में विभाजित किया है। चूंकि सवाल फ्लोटिंग पॉइंट गणित के बारे में है, इसलिए मैंने इस बात पर जोर दिया है कि मशीन वास्तव में क्या करती है। मैंने इसे डबल (64 बिट) सटीक करने के लिए विशिष्ट भी बनाया है, लेकिन तर्क किसी भी फ्लोटिंग पॉइंट अंकगणित पर समान रूप से लागू होता है।
प्रस्तावना
एक आईईईई 754 डबल परिशुद्धता द्विआधारी फ्लोटिंग प्वाइंट प्रारूप (binary64) नंबर फार्म की एक संख्या का प्रतिनिधित्व
मान = (-1) ^ s * (1.m 51 m 50 ... m 2 m 1 m 0 ) 2 * 2 e-1023
64 बिट्स में:
- पहला बिट साइन बिट है :
1यदि संख्या नकारात्मक है, 0अन्यथा 1 ।
- अगले 11 बिट्स प्रतिपादक हैं , जिसकी ऑफसेट 1023 है। दूसरे शब्दों में, दो-सटीक संख्या से घातांक बिट्स को पढ़ने के बाद, 1023 को दो की शक्ति प्राप्त करने के लिए घटाया जाना चाहिए।
- शेष 52 बिट्स महत्व (या मंटिसा) हैं। मंटिसा में, एक 'निहित'
1.हमेशा 2 छोड़ दिया जाता है क्योंकि किसी भी द्विआधारी मूल्य का सबसे महत्वपूर्ण बिट होता है 1।
1 - IEEE 754 एक हस्ताक्षरित शून्य की अवधारणा के लिए अनुमति देता है - +0और -0अलग तरीके से व्यवहार किया जाता है: 1 / (+0)सकारात्मक अनंत है; 1 / (-0)नकारात्मक अनंत है। शून्य मानों के लिए, मंटिसा और प्रतिपादक बिट्स सभी शून्य हैं। नोट: शून्य मान (+0 और -0) स्पष्ट रूप से २ के रूप में वर्गीकृत नहीं किए गए हैं ।
2 - यह असामान्य संख्याओं के लिए मामला नहीं है , जिसमें शून्य (और एक निहित 0.) का ऑफसेट एक्सपोनेंट है । असामान्य दोहरी सटीक संख्याओं की श्रेणी d मिनट है। | X | ≤ d अधिकतम , जहाँ d मिनट (सबसे छोटा अभाज्य नॉनजो संख्या) 2 -1023 है - 51 ( -3 4.94 * 10 -324 ) और d अधिकतम (सबसे बड़ा अपभ्रंश संख्या, जिसके लिए mantissa पूरी तरह से शामिल है 1) 2 -1023 है। + 1 - 2 -1023 - 51 ( - 2.225 * 10 -308 )।
बाइनरी के लिए एक डबल परिशुद्धता संख्या की ओर मुड़ते हुए
कई ऑनलाइन कन्वर्टर्स द्विआधारी सटीक फ्लोटिंग पॉइंट नंबर को बाइनरी में परिवर्तित करने के लिए मौजूद हैं (उदाहरण के लिए बाइनरीकॉनवर्ट डॉट कॉम पर ), लेकिन यहां कुछ सस्पेंशन C # कोड है, जिससे डबल सटीक संख्या के लिए IEEE 754 प्रतिनिधित्व प्राप्त किया जा सके (मैं कॉलन के साथ तीन भागों को अलग करता हूं :) :
public static string BinaryRepresentation(double value)
{
long valueInLongType = BitConverter.DoubleToInt64Bits(value);
string bits = Convert.ToString(valueInLongType, 2);
string leadingZeros = new string('0', 64 - bits.Length);
string binaryRepresentation = leadingZeros + bits;
string sign = binaryRepresentation[0].ToString();
string exponent = binaryRepresentation.Substring(1, 11);
string mantissa = binaryRepresentation.Substring(12);
return string.Format("{0}:{1}:{2}", sign, exponent, mantissa);
}
बिंदु पर पहुंचना: मूल प्रश्न
(TL के लिए नीचे की ओर छोड़ें; DR संस्करण)
कैटो जॉनसन (प्रश्न पूछने वाला) ने पूछा कि 0.1 + 0.2! = 0.3 क्यों।
बाइनरी में लिखा गया है (तीन भागों को अलग करने वाले कॉलन के साथ), मूल्यों का IEEE 754 प्रतिनिधित्व हैं:
0.1 => 0:01111111011:1001100110011001100110011001100110011001100110011010
0.2 => 0:01111111100:1001100110011001100110011001100110011001100110011010
ध्यान दें कि मंटिसा के आवर्ती अंकों से बना है 0011। यह वह जगह है कुंजी 0.1, 0.2 और 0.3 बाइनरी में नहीं दर्शाया जा सकता - क्यों गणना के लिए किसी भी त्रुटि है करने के लिए ठीक एक में परिमित में ठीक किया जा सकता है किसी भी अधिक से अधिक 1/9 द्विआधारी बिट्स की संख्या, 1/3 या 1/7 दशमलव अंक ।
यह भी ध्यान दें कि हम 52 में घातांक में शक्ति को कम कर सकते हैं और बाइनरी प्रतिनिधित्व में बिंदु को 52 स्थानों पर दाईं ओर शिफ्ट कर सकते हैं (जैसे 10 -3 * 1.23 == 10 -5 * 123)। यह तब हमें द्विआधारी प्रतिनिधित्व का सटीक मूल्य के रूप में प्रतिनिधित्व करने में सक्षम बनाता है जो इसे * 2 पी के रूप में दर्शाता है । जहाँ 'a' पूर्णांक है।
घातांक को दशमलव में बदलना, ऑफसेट को हटाना, और निहित 1(वर्ग कोष्ठक में) को फिर से जोड़ना , 0.1 और 0.2:
0.1 => 2^-4 * [1].1001100110011001100110011001100110011001100110011010
0.2 => 2^-3 * [1].1001100110011001100110011001100110011001100110011010
or
0.1 => 2^-56 * 7205759403792794 = 0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625
0.2 => 2^-55 * 7205759403792794 = 0.200000000000000011102230246251565404236316680908203125
दो संख्याओं को जोड़ने के लिए, प्रतिपादक को एक समान होना चाहिए, अर्थात:
0.1 => 2^-3 * 0.1100110011001100110011001100110011001100110011001101(0)
0.2 => 2^-3 * 1.1001100110011001100110011001100110011001100110011010
sum = 2^-3 * 10.0110011001100110011001100110011001100110011001100111
or
0.1 => 2^-55 * 3602879701896397 = 0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625
0.2 => 2^-55 * 7205759403792794 = 0.200000000000000011102230246251565404236316680908203125
sum = 2^-55 * 10808639105689191 = 0.3000000000000000166533453693773481063544750213623046875
चूँकि योग 2 n * 1 का नहीं है । {{bbb} हम एक-एक करके घातांक बढ़ाते हैं और प्राप्त करने के लिए दशमलव ( बाइनरी ) बिंदु को स्थानांतरित करते हैं:
sum = 2^-2 * 1.0011001100110011001100110011001100110011001100110011(1)
= 2^-54 * 5404319552844595.5 = 0.3000000000000000166533453693773481063544750213623046875
मंटिसा में अब 53 बिट्स हैं (ऊपर की लाइन में 53 वां वर्ग ब्रैकेट में है)। IEEE 754 के लिए डिफ़ॉल्ट राउंडिंग मोड ' राउंड टू निकटतम ' है - अर्थात यदि संख्या x दो मानों के बीच a और b के बीच आती है , तो वह मान जहां कम से कम महत्वपूर्ण बिट शून्य है।
a = 2^-54 * 5404319552844595 = 0.299999999999999988897769753748434595763683319091796875
= 2^-2 * 1.0011001100110011001100110011001100110011001100110011
x = 2^-2 * 1.0011001100110011001100110011001100110011001100110011(1)
b = 2^-2 * 1.0011001100110011001100110011001100110011001100110100
= 2^-54 * 5404319552844596 = 0.3000000000000000444089209850062616169452667236328125
ध्यान दें कि ए और बी केवल अंतिम बिट में भिन्न होते हैं; ...0011+ 1= ...0100। इस स्थिति में, शून्य के सबसे कम महत्वपूर्ण बिट के साथ मान बी है , इसलिए योग है:
sum = 2^-2 * 1.0011001100110011001100110011001100110011001100110100
= 2^-54 * 5404319552844596 = 0.3000000000000000444089209850062616169452667236328125
जबकि बाइनरी का प्रतिनिधित्व 0.3 है:
0.3 => 2^-2 * 1.0011001100110011001100110011001100110011001100110011
= 2^-54 * 5404319552844595 = 0.299999999999999988897769753748434595763683319091796875
जो केवल 0.1 और 0.2 के योग के द्विआधारी प्रतिनिधित्व से 2 -54 तक भिन्न होता है ।
0.1 और 0.2 का द्विआधारी प्रतिनिधित्व IEEE 754 द्वारा स्वीकार्य संख्याओं का सबसे सटीक प्रतिनिधित्व है। इन प्रतिनिधित्व के अलावा, डिफ़ॉल्ट गोलाई मोड के कारण, एक मूल्य में परिणाम होता है जो केवल सबसे कम-महत्वपूर्ण-बिट में भिन्न होता है।
टी एल; डॉ
0.1 + 0.2IEEE 754 बाइनरी प्रतिनिधित्व (तीन भागों को अलग करने वाले कॉलोनों के साथ) में लिखना और इसकी तुलना करना 0.3, यह है (मैंने अलग-अलग बिट्स को वर्ग कोष्ठक में रखा है):
0.1 + 0.2 => 0:01111111101:0011001100110011001100110011001100110011001100110[100]
0.3 => 0:01111111101:0011001100110011001100110011001100110011001100110[011]
दशमलव में परिवर्तित, ये मान निम्न हैं:
0.1 + 0.2 => 0.300000000000000044408920985006...
0.3 => 0.299999999999999988897769753748...
अंतर वास्तव में 2 -54 है , जो कि मूल मानों की तुलना में ~ 5.5511151231258 × 10 -17 - तुच्छ (कई अनुप्रयोगों के लिए) है।
फ्लोटिंग पॉइंट नंबर के अंतिम कुछ बिट्स की तुलना करना स्वाभाविक रूप से खतरनाक है, क्योंकि कोई भी व्यक्ति जो " फ्लोटिंग-पॉइंट अरिथमेटिक के बारे में प्रसिद्ध है " (जो इस उत्तर के सभी प्रमुख हिस्सों को कवर करता है) के बारे में प्रसिद्ध है।
अधिकांश कैलकुलेटर अतिरिक्त का उपयोग गार्ड अंक इस समस्या है, जो कैसे है चारों ओर पाने के लिए 0.1 + 0.2देना होगा 0.3अंतिम कुछ बिट्स गोल कर रहे हैं:।
