मैं 2d बहुभुज के क्षेत्र की गणना कैसे करूं?

Question 1

2d अंतरिक्ष में अंकों की एक श्रृंखला को मानते हुए, जो आत्म-प्रतिच्छेद नहीं करता है, परिणामी बहुभुज के क्षेत्रफल को निर्धारित करने का एक कुशल तरीका क्या है?

एक साइड नोट के रूप में, यह होमवर्क नहीं है और मैं कोड की तलाश नहीं कर रहा हूं। मैं अपने स्वयं के तरीके को लागू करने के लिए उपयोग किए जाने वाले विवरण की तलाश में हूं। मेरे पास बिंदुओं की सूची से त्रिकोणों के अनुक्रम को खींचने के बारे में मेरे विचार हैं, लेकिन मुझे पता है कि उत्तल और अवतल बहुभुज के बारे में किनारे के मामलों का एक गुच्छा है जो मैं शायद पकड़ नहीं पाऊंगा।

Question 2

यहाँ मानक विधि , AFAIK है। मूल रूप से प्रत्येक शीर्ष के चारों ओर क्रॉस उत्पादों का योग। त्रिकोणासन की तुलना में बहुत सरल है।

पायथन कोड, एक बहुभुज को (x, y) शीर्ष निर्देशांक की एक सूची के रूप में प्रस्तुत किया गया है, जो अंतिम शीर्ष से पहली तक चारों ओर घूमता है:

def area(p):
    return 0.5 * abs(sum(x0*y1 - x1*y0
                         for ((x0, y0), (x1, y1)) in segments(p)))

def segments(p):
    return zip(p, p[1:] + [p[0]])

डेविड लेहावी टिप्पणी: यह उल्लेख करने योग्य है कि यह एल्गोरिथ्म क्यों काम करता है: यह कार्यों emy और x के लिए ग्रीन की प्रमेय का अनुप्रयोग है ; ठीक उसी तरह जिस तरह से एक प्लांटरमीटर काम करता है। अधिक विशेष रूप से:

ऊपर का सूत्र =
integral_over_perimeter(-y dx + x dy) =
integral_over_area((-(-dy)/dy+dx/dx) dy dx) =
2 Area

Question 3

क्रॉस उत्पाद एक क्लासिक है।

यदि आपके पास करने के लिए इस तरह की संगणना है, तो निम्न अनुकूलित संस्करण का प्रयास करें जिसमें आधे से कम गुणन की आवश्यकता हो:

area = 0;
for( i = 0; i < N; i += 2 )
   area += x[i+1]*(y[i+2]-y[i]) + y[i+1]*(x[i]-x[i+2]);
area /= 2;

मैं स्पष्टता के लिए सरणी सबस्क्रिप्ट का उपयोग करता हूं। यह पॉइंटर्स का उपयोग करने के लिए अधिक कुशल है। हालांकि अच्छे कंपाइलर इसे आपके लिए करेंगे।

बहुभुज को "बंद" माना जाता है, जिसका अर्थ है कि आप पहले बिंदु को सबस्क्रिप्ट एन के साथ बिंदु के रूप में कॉपी करते हैं। यह भी मान लेते हैं कि बहुभुज के पास समान अंक हैं। यदि एन भी नहीं है, तो पहले बिंदु की एक अतिरिक्त प्रति संलग्न करें।

एल्गोरिथ्म को क्लासिक क्रॉस उत्पाद एल्गोरिदम के दो क्रमिक पुनरावृत्तियों को अनियंत्रित और संयोजित करके प्राप्त किया जाता है।

मुझे यकीन नहीं है कि दो एल्गोरिदम संख्यात्मक सटीकता के बारे में कैसे तुलना करते हैं। मेरी धारणा यह है कि उपरोक्त एल्गोरिथ्म क्लासिक की तुलना में बेहतर है क्योंकि गुणन घटाव की परिशुद्धता के नुकसान को बहाल करने के लिए करते हैं। जब GPU के रूप में फ़्लोट्स का उपयोग करने के लिए विवश किया जाता है, तो यह एक महत्वपूर्ण अंतर बना सकता है।

संपादित करें: "त्रिकोण और बहुभुज 2 डी और 3 डी का क्षेत्र" एक और भी अधिक कुशल विधि का वर्णन करता है

// "close" polygon
x[N] = x[0];
x[N+1] = x[1];
y[N] = y[0];
y[N+1] = y[1];

// compute area
area = 0;
for( size_t i = 1; i <= N; ++i )
  area += x[i]*( y[i+1] - y[i-1] );
area /= 2;

Question 4

यह पृष्ठ दिखाता है कि सूत्र

यहाँ छवि विवरण दर्ज करें

सरल किया जा सकता है:

यहाँ छवि विवरण दर्ज करें

यदि आप कुछ शर्तों को लिखते हैं और उन्हें सामान्य कारकों के अनुसार समूहित करते हैं xi, तो समानता देखना मुश्किल नहीं है।

अंतिम सारांश अधिक कुशल है क्योंकि इसके लिए केवल nगुणा की आवश्यकता होती है 2n।

def area(x, y):
    return abs(sum(x[i] * (y[i + 1] - y[i - 1]) for i in xrange(-1, len(x) - 1))) / 2.0

मैंने यह सरलीकरण जोए किंग्टन से सीखा, यहाँ ।

यदि आपके पास NumPy है, तो यह संस्करण तेज़ है (सभी के लिए लेकिन बहुत छोटी सरणियाँ):

def area_np(x, y):        
    x = np.asanyarray(x)
    y = np.asanyarray(y)
    n = len(x)
    shift_up = np.arange(-n+1, 1)
    shift_down = np.arange(-1, n-1)    
    return (x * (y.take(shift_up) - y.take(shift_down))).sum() / 2.0

Question 5

किसी भी अन्य बाधाओं के बिना बिंदुओं का एक सेट एक बहुभुज को विशिष्ट रूप से परिभाषित नहीं करता है।

तो, पहले आपको यह तय करना होगा कि इन बिंदुओं से क्या बहुभुज बनाना है - शायद उत्तल पतवार? http://en.wikipedia.org/wiki/Convex_hull

फिर त्रिभुज और गणना क्षेत्र। http://www.mathopenref.com/polygonir अनियमितarea.html

Question 6

त्रिभुज और सम त्रिभुज क्षेत्रों पर विस्तार करने के लिए, वे कार्य यदि आप उत्तल बहुभुज के होते हैं या आप एक ऐसा बिंदु उठाते हैं जो बहुभुज को प्रतिच्छेद करने वाले हर दूसरे बिंदु पर रेखाएँ उत्पन्न नहीं करता है।

एक सामान्य गैर-प्रतिच्छेदन बहुभुज के लिए, आपको वैक्टर के क्रॉस उत्पाद (संदर्भ बिंदु, बिंदु a), (संदर्भ बिंदु, बिंदु b) पर योग करने की आवश्यकता होती है, जहाँ a और b एक दूसरे के लिए "अगले" होते हैं।

मान लें कि आपके पास बहुभुज को परिभाषित करने वाले बिंदुओं की एक सूची है (क्रम में बिंदु i और i + 1 बहुभुज की एक रेखा बनाते हैं):

सम = (i से 1 से n - 1) के लिए क्रॉस उत्पाद ((बिंदु 0, बिंदु i), (बिंदु 0, बिंदु i + 1))।

उस क्रॉस उत्पाद का परिमाण लें और आपके पास सतह क्षेत्र है।

यह एक अच्छा संदर्भ बिंदु चुनने के बारे में चिंता किए बिना अवतल बहुभुज को संभाल लेगा; कोई भी तीन बिंदु जो एक त्रिभुज उत्पन्न करते हैं जो बहुभुज के अंदर नहीं है, एक क्रॉस उत्पाद होगा जो बहुभुज के अंदर किसी भी त्रिभुज के विपरीत दिशा में इंगित करता है, इसलिए क्षेत्रों को सही ढंग से अभिव्यक्त किया जाता है।

Question 7

बहुभुज के क्षेत्र को शांत करने के लिए

http://community.topcoder.com/tc?module=Static&d1=tutorials&d2=geometry1#polygon_area

int cross(vct a,vct b,vct c)
{
    vct ab,bc;
    ab=b-a;
    bc=c-b;
    return ab.x*bc.y-ab.y*bc.x;
}    
double area(vct p[],int n)
{ 
    int ar=0;
    for(i=1;i+1<n;i++)
    {
        vct a=p[i]-p[0];
        vct b=p[i+1]-p[0];
        area+=cross(a,b);
    }
    return abs(area/2.0);
}

Question 8

या एक समोच्च अभिन्न करते हैं। स्टोक्स के प्रमेय आपको समोच्च अभिन्न के रूप में अभिन्न क्षेत्र को व्यक्त करने की अनुमति देता है। थोड़ा गॉस क्वैडचर और बॉब आपके चाचा।

Question 9

भाषा स्वतंत्र समाधान:

GIVEN: एक बहुभुज ALWAYS को n-2 त्रिभुजों द्वारा बनाया जा सकता है जो ओवरलैप नहीं करते हैं (n = अंक या पक्षों की संख्या)। 1 त्रिकोण = 3 पक्षीय बहुभुज = 1 त्रिकोण; 1 वर्ग = 4 पक्षीय बहुभुज = 2 त्रिकोण; आदि विज्ञापन nauseam QED

इसलिए, एक बहुभुज को "काट" त्रिकोणों द्वारा कम किया जा सकता है और कुल क्षेत्रफल इन त्रिकोणों के क्षेत्रों का योग होगा। इसे कागज़ और कैंची के साथ आज़माएं, यदि आप निम्नलिखित प्रक्रिया से पहले इसकी कल्पना कर लें तो सबसे अच्छा है।

यदि आप बहुभुज मार्ग में कोई 3 लगातार अंक लेते हैं और इन बिंदुओं के साथ एक त्रिकोण बनाते हैं, तो आपके पास एक और केवल तीन संभावित विकल्पों में से एक होगा:

परिणामस्वरूप त्रिकोण मूल बहुभुज के अंदर पूरी तरह से है
परिणामस्वरूप त्रिकोण मूल बहुभुज के पूरी तरह से बाहर है
परिणामस्वरूप त्रिभुज मूल बहुभुज में आंशिक रूप से समाहित है

हम केवल उन मामलों में रुचि रखते हैं जो पहले विकल्प में आते हैं (पूरी तरह से निहित)।

हर बार जब हम इनमें से एक पाते हैं, तो हम इसे काट देते हैं, इसके क्षेत्र की गणना करते हैं (आसान मटर, अभ्यस्त सूत्र की यहां व्याख्या करें) और एक कम पक्ष के साथ एक नया बहुभुज बनाएं (इस त्रिकोण के साथ बहुभुज के बराबर)। जब तक हमारे पास केवल एक त्रिभुज शेष है।

कैसे इस कार्यक्रम को लागू करने के लिए:

(निरंतर) बिंदुओं की एक सरणी बनाएं, जो बहुभुज AROUND पथ का प्रतिनिधित्व करता है। बिंदु ० पर प्रारंभ करें। बिंदु x, x + १ और x + २ से त्रिभुज (एक समय में एक) बनाते हुए सरणी चलाएँ। प्रत्येक त्रिभुज को एक आकृति से एक क्षेत्र में बदलना और बहुभुज से निर्मित क्षेत्र के साथ इसे काटना। यदि परिणामी चौराहा मूल त्रिकोण के समान है, तो कहा गया त्रिकोण पूरी तरह से बहुभुज में निहित है और इसे काट दिया जा सकता है। सरणी से x + 1 निकालें और x = 0 से फिर से शुरू करें। अन्यथा (यदि त्रिकोण [आंशिक रूप से या पूरी तरह से] बहुभुज के बाहर है), तो सरणी में अगले बिंदु x + 1 पर जाएं।

इसके अलावा यदि आप मैपिंग के साथ एकीकरण करना चाह रहे हैं और जियो पॉइंट्स से शुरू कर रहे हैं, तो आपको जियो पॉइंट्स से स्क्रीनप्ले FIRST में बदलना होगा। इसके लिए पृथ्वी के आकार के लिए एक मॉडलिंग और सूत्र तय करने की आवश्यकता होती है (हालांकि हम पृथ्वी को एक गोले के रूप में सोचते हैं, यह वास्तव में एक अनियमित अंडाकार (अंडकोष) है, जिसमें डेंट हैं)। वहाँ कई मॉडल हैं, आगे की जानकारी विकी के लिए। एक महत्वपूर्ण मुद्दा यह है कि आप इस क्षेत्र को एक विमान मानेंगे या नहीं। सामान्य तौर पर, "छोटे" क्षेत्र, जहां अंक कुछ किमी तक अलग होते हैं, अगर प्लैनर और उत्तल पर विचार नहीं करते हैं तो महत्वपूर्ण त्रुटि उत्पन्न नहीं होगी।

Question 10

इसे करने का एक तरीका यह होगा कि बहुभुज को त्रिभुजों में विघटित किया जाए , त्रिभुजों के क्षेत्रफल की गणना की जाए और बहुभुज के क्षेत्रफल के रूप में राशि ली जाए।

Question 11

आधार बिंदु (सबसे उत्तल बिंदु) सेट करें। यह आपके त्रिकोण का धुरी बिंदु होगा।
सबसे आधार-बिंदु (मनमाना) की गणना करें, अपने आधार बिंदु के अलावा।
अपने त्रिकोण को पूरा करने के लिए 2-सबसे-बाएं बिंदु की गणना करें।
इस त्रिकोणीय क्षेत्र को बचाएं।
प्रत्येक पुनरावृत्ति को दाईं ओर एक बिंदु पर शिफ्ट करें।
त्रिभुज क्षेत्रों को जोड़ो

Question 12

त्रिभुज की तुलना में बेहतर कार्टेशियन स्पेस में ट्रेपोज़िड्स को समेटना है:

area = 0;
for (i = 0; i < n; i++) {
  i1 = (i + 1) % n;
  area += (vertex[i].y + vertex[i1].y) * (vertex[i1].x - vertex[i].x) / 2.0;
}

Question 13

शॉलेस फार्मूले का कार्यान्वयन नेम्पी में किया जा सकता था। इन शीर्षकों को मानते हुए:

import numpy as np
x = np.arange(0,1,0.001)
y = np.sqrt(1-x**2)

हम क्षेत्र को खोजने के लिए निम्नलिखित फ़ंक्शन को परिभाषित कर सकते हैं:

def PolyArea(x,y):
    return 0.5*np.abs(np.dot(x,np.roll(y,1))-np.dot(y,np.roll(x,1)))

और परिणाम प्राप्त कर रहे हैं:

print PolyArea(x,y)
# 0.26353377782163534

लूप से बचने से यह फंक्शन ~ 50X से तेज हो जाता है PolygonArea:

%timeit PolyArea(x,y)
# 10000 loops, best of 3: 42 µs per loop
%timeit PolygonArea(zip(x,y))
# 100 loops, best of 3: 2.09 ms per loop

नोट: मैंने एक अन्य प्रश्न के लिए यह उत्तर लिखा था , मैं इसका समाधान करने के लिए पूरी सूची के लिए यहाँ उल्लेख करता हूँ।

Question 14

मेरा झुकाव बस त्रिकोणों को बंद करना शुरू करना होगा। मैं नहीं देखता कि कुछ और कैसे भयानक बालों से बचने के लिए कर सकता है।

तीन अनुक्रमिक बिंदु लें जिसमें बहुभुज शामिल है। सुनिश्चित करें कि कोण 180 से कम है। अब आपके पास एक नया त्रिकोण है, जिसे बहुभुज की सूची की सूची से मध्य बिंदु को हटाने के लिए गणना करने में कोई समस्या नहीं होनी चाहिए। तब तक दोहराएं जब तक आपके पास केवल तीन बिंदु शेष हों।

Question 15

सी करने का तरीका:

float areaForPoly(const int numVerts, const Point *verts)
{
    Point v2;
    float area = 0.0f;

    for (int i = 0; i<numVerts; i++){
        v2 = verts[(i + 1) % numVerts];
        area += verts[i].x*v2.y - verts[i].y*v2.x;
    }

    return area / 2.0f;
}

Question 16

पायथन कोड

जैसा यहाँ वर्णित है: http://www.wikihow.com/Calculate-the-Area-of-a-Polygon

पांडा के साथ

import pandas as pd

df = pd.DataFrame({'x': [10, 20, 20, 30, 20, 10, 0], 'y': [-10, -10, -10, 0, 10, 30, 20]})
df = df.append(df.loc[0])

first_product = (df['x'].shift(1) * df['y']).fillna(0).sum()
second_product = (df['y'].shift(1) * df['x']).fillna(0).sum()

(first_product - second_product) / 2
600

Question 17

मैं 2d बहुभुज के क्षेत्र की गणना के लिए कुछ सरल कार्य देने जा रहा हूं। यह उत्तल और अवतल बहुभुज दोनों के लिए काम करता है। हम बस बहुभुज को कई उप-त्रिकोणों में विभाजित करते हैं।

//don't forget to include cmath for abs function
struct Point{
  double x;
  double y;
}
// cross_product
double cp(Point a, Point b){ //returns cross product
  return a.x*b.y-a.y*b.x;
}

double area(Point * vertices, int n){  //n is number of sides
  double sum=0.0;
  for(i=0; i<n; i++){
    sum+=cp(vertices[i], vertices[(i+1)%n]); //%n is for last triangle
  }
  return abs(sum)/2.0;
}