त्रिकोणमितीय कार्य कैसे करते हैं?

Question

इसलिए हाई स्कूल के गणित में, और शायद कॉलेज में, हमें सिखाया जाता है कि ट्रिग फंक्शंस का उपयोग कैसे किया जाए, वे क्या करते हैं, और वे किस तरह की समस्याओं को हल करते हैं। लेकिन उन्हें हमेशा एक ब्लैक बॉक्स के रूप में मुझे प्रस्तुत किया गया है। यदि आपको किसी चीज की साइन या कोसाइन की जरूरत है, तो आप अपने कैलकुलेटर पर पाप या कॉस बटन दबाते हैं और आप सेट होते हैं। जो ठीक है।

मैं सोच रहा था कि त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन आम तौर पर कैसे लागू होते हैं।

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क्या आप इस बारे में उलझन में हैं कि कौन से ट्रिगर कार्य हैं या उन्हें कैसे लागू किया जाता है?

— काइल क्रोनिन

मुझे पता है वे क्या कर रहे हैं। मुझे पता है कि वे क्या करते हैं। मुझे पता है कि कैसे निर्धारित करना है कि मुझे किस उद्देश्य की आवश्यकता है। मैं आप सभी को कोणों और दूरियों के बीच के संबंध के बारे में बता सकता हूं। जॉन डी। कुक के जवाब की तर्ज पर मैं जो खोज रहा था, वह अधिक था। और बाकी सभी जिन्होंने वास्तविक एल्गोरिदम का उल्लेख किया है

— जुरासिक_ सी

यह अच्छा प्रश्न है। उदाहरण के लिए, साइन, कोसाइन, और स्पर्शरेखा ट्रान्सेंडैंटल फ़ंक्शंस हैं और जिन्हें हल करना कठिन है ... दूसरी ओर, उन्हें एक साधारण टेलर श्रृंखला विस्तार का उपयोग करके परिभाषित किया जा सकता है जो आपको सटीकता के किसी भी सीमित डिग्री तक सही उत्तर देगा। की आवश्यकता है।

— एलेक्स

Answer 1

सबसे पहले, आपको कुछ प्रकार की सीमा घटानी होगी। ट्रिग फ़ंक्शंस आवधिक होते हैं, इसलिए आपको तर्कों को एक मानक अंतराल तक कम करने की आवश्यकता होती है। शुरुआत के लिए, आप कोणों को 0 और 360 डिग्री के बीच कम कर सकते हैं। लेकिन कुछ पहचानों का उपयोग करके, आपको लगता है कि आप कम के साथ मिल सकता है। यदि आप 0 और 45 डिग्री के बीच कोणों के लिए साइन और कोसाइन की गणना करते हैं, तो आप सभी कोणों के लिए सभी ट्रिगर कार्यों की गणना करने के लिए अपने तरीके से बूटस्ट्रैप कर सकते हैं।

एक बार जब आप अपना तर्क कम कर देते हैं, तो अधिकांश चिप्स साइन और कॉशन की गणना करने के लिए एक CORDIC एल्गोरिथ्म का उपयोग करते हैं। आप लोगों को कहते हुए सुन सकते हैं कि कंप्यूटर टेलर श्रृंखला का उपयोग करते हैं। यह उचित लगता है, लेकिन यह सच नहीं है। CORDIC एल्गोरिदम कुशल हार्डवेयर कार्यान्वयन के लिए बेहतर अनुकूल हैं । ( सॉफ़्टवेयर लाइब्रेरी टेलर श्रृंखला का उपयोग कर सकते हैं, हार्डवेयर पर कह सकते हैं जो ट्रिगर कार्यों का समर्थन नहीं करता है।) कुछ अतिरिक्त प्रसंस्करण हो सकते हैं, काफी अच्छे उत्तर पाने के लिए CORDIC एल्गोरिथ्म का उपयोग कर रहे हैं, लेकिन फिर सटीकता में सुधार करने के लिए कुछ और कर रहे हैं।

ऊपर कुछ शोधन हैं। उदाहरण के लिए, बहुत छोटे कोणों के लिए थीटा (रेडियन में), पाप (थीटा) = थीटा जो आपके पास है, इसलिए यह केवल कुछ अन्य एल्गोरिथ्म का उपयोग करने की तुलना में थीटा को वापस करने के लिए अधिक कुशल है। इसलिए व्यवहार में सभी प्रदर्शन और सटीकता को निचोड़ने के लिए बहुत सारे विशेष मामले का तर्क है। छोटे बाजारों के साथ चिप्स उतने अनुकूलन के प्रयास में नहीं जा सकते हैं।

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शानदार उत्तर - हालाँकि CORDIC को वास्तव में सीमा में कमी की आवश्यकता नहीं है (वास्तव में यह अनिवार्य रूप से अपने आप में एक श्रेणी में कमी एल्गोरिथ्म है); यह -pi / 2 और + pi / 2 के बीच के कोणों के लिए ठीक काम करता है, इसलिए आपको बस उस श्रेणी के बाहर के कोणों के लिए 180 डिग्री वेक्टर घुमाव करना होगा।

— जेसन एस

बहुपद सन्निकटन का उपयोग करने वाले कार्यान्वयन अक्सर टेलर श्रृंखला का उपयोग कर सकते हैं , लेकिन उन्हें आमतौर पर गुणांक का उपयोग करना चाहिए जो रेमेज़ एल्गोरिथ्म के साथ निर्धारित किया गया है। lolengine.net/blog/2011/12/21/better-function-approximations

— पास्कल क्यूक

ध्यान दें कि CORDIC द्वारा उपयोग किए गए मानों की तालिका पूर्व-गणना की जानी चाहिए। तो, टेलर अभी भी "संकलन समय" पर इस्तेमाल किया जा सकता है।

— रब्बबार

ऐसा लगता है कि यह उत्तर इस तरह के प्रश्न के उच्च श्रेणी के स्वीकृत उत्तर का विरोध करता है: stackoverflow.com/questions/2284860/… । यह उत्तर कहता है कि पाप () फ़ंक्शन को ज्यादातर हार्डवेयर-स्तर पर लागू किया जाता है, जबकि दूसरा सी में कहता है

— पेरी

Answer 2

संपादित करें: जैक गन्सल ने एम्बेडेड सिस्टम पर अपनी पुस्तक "द फ़र्मवेयर हैंडबुक" में एक सभ्य चर्चा की है ।

FYI करें: यदि आपके पास सटीकता और प्रदर्शन की कमी है, तो टेलर श्रृंखला का उपयोग संख्यात्मक उद्देश्यों के लिए अनुमानित कार्यों के लिए नहीं किया जाना चाहिए । (उन्हें अपने कैलकुलस पाठ्यक्रमों के लिए सहेजें।) वे एक बिंदु पर एक फ़ंक्शन की विश्लेषणात्मकता का उपयोग करते हैं , उदाहरण के लिए तथ्य यह है कि इसके सभी डेरिवेटिव उस बिंदु पर मौजूद हैं। वे जरूरी नहीं कि ब्याज के अंतराल में अभिसरण करते हैं। मूल्यांकन बिंदु के पास "सही" होने के लिए अक्सर वे फ़ंक्शन सन्निकटन की सटीकता को वितरित करने का घटिया काम करते हैं; जब आप इससे दूर हो जाते हैं तो त्रुटि आम तौर पर ऊपर की ओर होती है। और यदि आपके पास किसी भी गैर-महाद्वीप व्युत्पन्न (जैसे वर्ग तरंगों, त्रिकोण तरंगों और उनके अभिन्न) के साथ एक फ़ंक्शन है, तो एक टेलर श्रृंखला आपको गलत उत्तर देगी।

सबसे अच्छा "आसान" समाधान, जब एक अंतराल x0 <x <X1 से अधिक किसी दिए गए फ़ंक्शन च (x) को अनुमानित करने के लिए अधिकतम डिग्री एन के बहुपद का उपयोग कर रहा है, चेबीशेव सन्निकटन से है ; अच्छी चर्चा के लिए न्यूमेरिकल रेसिपी देखें। ध्यान दें कि वुल्फराम लेख में Tj (x) और Tk (x) का उपयोग मैं कॉस और व्युत्क्रम कोसिन से जुड़ा था, ये बहुपद हैं और व्यवहार में आप गुणांक प्राप्त करने के लिए पुनरावृत्ति सूत्र का उपयोग करते हैं। फिर, न्यूमेरिकल रेसिपी देखें।

संपादित करें: विकिपीडिया में सन्निकटन सिद्धांत पर एक अर्ध-सभ्य लेख है । सूत्रों में से एक वे कहते हैं (हार्ट, "कंप्यूटर अनुमोदन") प्रिंट से बाहर है (और उपयोग की जाने वाली प्रतियां महंगी होती हैं) लेकिन इस तरह के सामान के बारे में बहुत विस्तार से बताती हैं। (जैक गन्सल ने अपने समाचार पत्र द एंबेडेड म्यूजियम के 39 के अंक में इसका उल्लेख किया है ।)

2 संपादित करें: यहां टेलर बनाम चेबीशेव फॉर सिन (एक्स) के लिए कुछ ठोस त्रुटि मैट्रिक्स (नीचे देखें) है। नोट करने के लिए कुछ महत्वपूर्ण बिंदु:

1. किसी दिए गए रेंज पर टेलर श्रृंखला सन्निकटन की अधिकतम त्रुटि, उसी डिग्री के चेबीशेव सन्निकटन की अधिकतम त्रुटि से बहुत बड़ी है। (उसी त्रुटि के बारे में, आप चेबीशेव के साथ एक कम अवधि के साथ दूर हो सकते हैं, जिसका अर्थ है तेज प्रदर्शन)
2. रेंज में कमी एक बहुत बड़ी जीत है। इसका कारण यह है कि उच्च क्रम के बहुपद का योगदान तब कम हो जाता है जब सन्निकटन का अंतराल छोटा होता है।
3. यदि आप सीमा में कमी नहीं कर सकते हैं, तो आपके गुणांक को अधिक सटीकता के साथ संग्रहीत करने की आवश्यकता है।

मुझे गलत मत समझो: टेलर श्रृंखला साइन / कोसाइन के लिए ठीक से काम करेगी (रेंज -64 / 2 से + पी / 2 के लिए उचित परिशुद्धता के साथ; तकनीकी रूप से, पर्याप्त शब्दों के साथ, आप सभी वास्तविक इनपुट के लिए किसी भी वांछित परिशुद्धता तक पहुंच सकते हैं, लेकिन टेलर श्रृंखला का उपयोग करके कॉस (100) की गणना करने का प्रयास करें और आप ऐसा नहीं कर सकते जब तक कि आप मनमाना-सटीक अंकगणित का उपयोग न करें)। यदि मैं एक गैर-वैज्ञानिक कैलकुलेटर के साथ एक रेगिस्तानी द्वीप पर फंस गया था, और मुझे साइन और कोसाइन की गणना करने की आवश्यकता थी, तो मैं शायद टेलर श्रृंखला का उपयोग करूंगा क्योंकि गुणांक याद रखना आसान है। लेकिन अपना खुद का पाप () या कॉस () फ़ंक्शन लिखने के लिए वास्तविक दुनिया के आवेदन काफी दुर्लभ हैं कि आप एक वांछित सटीकता तक पहुंचने के लिए एक कुशल कार्यान्वयन का उपयोग करना सबसे अच्छा होगा - जो टेलर श्रृंखला नहीं है ।

रेंज = -पीआई / २ से + पी / २, डिग्री ५ (३ पद)

• टेलर: 4.5e -3, f (x) = xx के आसपास अधिकतम त्रुटि ³ /6 + एक्स ⁵ /120
• Chebyshev: अधिकतम त्रुटि 7e-5 के आसपास, f (x) = 0.9996949x-0.1656700x ³ + 0.0075134x ⁵

रेंज = -पीआई / २ से + पी / २, डिग्री 2 (४ पद)

• टेलर: 1.5e -4, f (x) = xx के आसपास अधिकतम त्रुटि ³ /6 + एक्स ⁵ /120 x ⁷ / -5040
• Chebyshev: अधिकतम त्रुटि 6e-7 के आसपास, f (x) = 0.99999660x-0.16664824x ³ + 0.00830629x ⁵ -0.00018363x ⁷

रेंज = -पीआई / ४ से + पी / ४, डिग्री ३ (२ पद)

• टेलर: चारों ओर 2.5e -3, f (x) अधिकतम त्रुटि = xx ³ /6
• Chebyshev: अधिकतम त्रुटि लगभग 1.5e-4, f (x) = 0.999x-0.1603x ³

रेंज = -पीआई / ४ से + पी / ४, डिग्री ५ (३ पद)

• टेलर: 3.5e -5, f (x) = xx के आसपास अधिकतम त्रुटि ³ /6 + एक्स ⁵
• Chebyshev: अधिकतम त्रुटि 6e-7, f (x) = 0.999995x-0.1666016x ³ + 0.0081215x ^{5 के आसपास}

रेंज = -पीआई / ४ से + पी / ४, डिग्री 4 (४ पद)

• टेलर: 3E-7, f (x) = xx के आसपास अधिकतम त्रुटि ³ /6 + एक्स ⁵ /120 x ⁷ / -5040
• Chebyshev: अधिकतम त्रुटि 1.2e-9 के आसपास, f (x) = 0.999999986x-0.166666367x ³ + 0.008331584x ⁵ -0.000194621x ⁷

Comments

यह टिप्पणी गलत है। प्रत्येक सन्निकटन के लिए एक समय और एक स्थान होता है। यदि आप किसी भी श्रृंखला सन्निकटन के लिए अभिसरण के क्षेत्र को निर्धारित करने के लिए पर्याप्त विश्लेषण नहीं जानते हैं, तो आपको इसका उपयोग नहीं करना चाहिए। वह टेलर, चेबीशेव, पैडे आदि श्रृंखलाओं के लिए जाता है। टेलर सीरीज अक्सर गुड एनफ होती है।

— 22

: श्रग: मैं आपके बारे में नहीं जानता, लेकिन मैंने कभी भी एक छोटे से पड़ोस में एक समारोह का मूल्यांकन करने में रुचि नहीं ली है। यहां तक ​​कि एक अंतराल पर एक त्वरित कम से कम वर्ग फिट करने के लिए बहुत आसान है। टेलर सीरीज़ का उपयोग करने वाला कोई भी व्यक्ति इस बिंदु को याद कर रहा है।

— जेसन एस

@kquinn: चेबीशेव सन्निकटन के लिए अभिसरण का क्षेत्र एक उपयोगी अवधारणा नहीं है, क्योंकि अंतराल की गणना की जाती है, जो प्रक्रिया के लिए एक स्पष्ट इनपुट है।

— जेसन एस

अपवोटिंग क्योंकि उत्तरदाता जानता था कि हार्ट मौजूद है। : स्माइल: हार्ट यहां क्लासिक संदर्भ है, भले ही मुझे 25 साल पहले एक कॉपी (प्रिंट में) खरीदनी पड़ी हो। इसका पाई - पाई फायदेमंद है। जहाँ भी संभव हो रेंज में कमी, एक उपयुक्त सन्निकटन के साथ युग्मित होना, यह होना Pade, Chebychev, यहां तक ​​कि टेलर सीरीज़ भी उपयुक्त है, एक अच्छा दृष्टिकोण है। हालांकि आमतौर पर एक टेलर श्रृंखला के लिए पेड या चेबिशेव सन्निकट बेहतर विकल्प होते हैं।

??? वह कैसे अलग है? टेलर श्रृंखला को पापी (x) की गणना करने के लिए 17 डिग्री से लेकर 2pi से + 2pi तक 7 वीं या 9 वीं डिग्री बहुपद के साथ शायद चेब्शेव द्वारा हराया जा सकता है। मुझे बयान करने में कोई समस्या नहीं होगी, "यदि आपके पास पेड़ों को काटते समय समय की कमी है, तो आपको एक हाथ देखा का उपयोग नहीं करना चाहिए। एक जंजीर का उपयोग करें।" शायद मुझे "से" नहीं करना चाहिए "जैसे कि मुझे टेलर श्रृंखला का उपयोग करने की अनुशंसा नहीं करनी चाहिए"। निश्चित रूप से, आप कुछ मामलों में टेलर श्रृंखला का उपयोग कर सकते हैं, लेकिन आपकी सटीकता और प्रदर्शन समस्याग्रस्त होने वाले हैं। प्रदर्शन से मेरा मतलब सीपीयू निष्पादन समय है।

— जेसन एस

Answer 3

मेरा मानना ​​है कि वे टेलर सीरीज़ या CORDIC का उपयोग कर गणना कर रहे हैं । कुछ एप्लिकेशन जो ट्रिगर कार्यों (गेम, ग्राफिक्स) का भारी उपयोग करते हैं, जब वे शुरू करते हैं तो वे ट्राइब टेबल का निर्माण करते हैं ताकि वे बार-बार पुन: गणना करने के बजाय मूल्यों को देख सकें।

Answer 4

की जाँच करें विकिपीडिया लेख कार्यों trig पर। कोड में वास्तव में उन्हें लागू करने के बारे में जानने के लिए एक अच्छी जगह न्यूमेरिकल रेसिपी है ।

मैं अधिक गणितज्ञ नहीं हूं, लेकिन पाप, कॉस और टैन "कहां से आया" की मेरी समझ यह है कि वे सही अर्थों में त्रिभुज के साथ काम कर रहे हैं। यदि आप विभिन्न समकोण त्रिभुजों के एक झुंड के किनारों की लंबाई की माप लेते हैं और एक ग्राफ पर बिंदुओं को प्लॉट करते हैं, तो आप इससे पाप, कोस और तन को प्राप्त कर सकते हैं। जैसा कि हार्पर शेल्बी बताते हैं, कार्यों को केवल समकोण त्रिकोण के गुणों के रूप में परिभाषित किया गया है।

एक अधिक परिष्कृत समझ यह समझने से प्राप्त होती है कि ये अनुपात सर्कल के ज्यामिति से कैसे संबंधित हैं, जो रेडियन और उस सभी अच्छाई की ओर जाता है। विकिपीडिया प्रविष्टि में यह सब है।

Answer 5

आमतौर पर कंप्यूटरों के लिए, पॉवर श्रृंखला प्रतिनिधित्व का उपयोग साइन और कोसाइन की गणना के लिए किया जाता है और इनका उपयोग अन्य ट्रिगर कार्यों के लिए किया जाता है। इन श्रृंखलाओं को लगभग 8 शब्दों तक विस्तारित करने से मशीन एप्सिलॉन (सबसे छोटी गैर-शून्य फ्लोटिंग पॉइंट संख्या जो आयोजित की जा सकती है) के करीब सटीकता के लिए आवश्यक मानों की गणना होती है।

हार्डवेयर पर लागू होने के बाद CORDIC विधि तेज है, लेकिन इसका उपयोग मुख्य रूप से एम्बेडेड सिस्टम के लिए किया जाता है न कि मानक कंप्यूटर के लिए।

Answer 6

मैं @ जसन एस द्वारा प्रदान किए गए उत्तर का विस्तार करना चाहूंगा। @ जैसन एस द्वारा वर्णित डोमेन उपखंड विधि का उपयोग करना और मैकलॉरिन श्रृंखला सन्निकटन का उपयोग करना, तन पर औसत (2-3) एक्स स्पीडअप (), पाप () , cos (), atan (), asin (), और acos () कार्यों के साथ gcc संकलक में बनाया गया -O3 अनुकूलन प्राप्त किया गया था। नीचे बताए गए सबसे अच्छे मैकलॉरीन श्रृंखला के अनुमानित कार्यों में दोगुनी सटीकता हासिल की गई है।

टैन (), पाप (), और कॉस () फ़ंक्शंस के लिए, और सरलता के लिए, 0 से 2pi + pi / 80 डोमेन को एक समान 81 अंतराल में pi / 80, 3pi / 80 पर "एंकर पॉइंट्स" के साथ विभाजित किया गया था। ..., 161pi / 80। फिर इन 81 लंगर बिंदुओं के टैन (), पाप (), और कॉस () का मूल्यांकन किया गया और संग्रहीत किया गया। ट्रिगर आइडेंटिटी की मदद से, प्रत्येक ट्रिगर फ़ंक्शन के लिए एक एकल मैकलॉरीन श्रृंखला फ़ंक्शन विकसित किया गया था। Angle इन्फिनिटी के बीच कोई भी कोण ट्रिगर सन्निकटन कार्यों के लिए प्रस्तुत किया जा सकता है क्योंकि फ़ंक्शन पहले इनपुट कोण को 0 से 2pi डोमेन में अनुवाद करते हैं। यह अनुवाद ओवरहेड सन्निकटन ओवरहेड में शामिल है।

इसी तरह के तरीकों को एटैन (), असिन (), और एसोस () कार्यों के लिए विकसित किया गया था, जहां -1.0 से 1.1 डोमेन को एक-बराबर 21 अंक के साथ -19/20, -17/20, एंकर पॉइंट्स में विभाजित किया गया था। ।, 19/20, 21/20। तब इन 21 लंगर बिंदुओं में से केवल atan () ही संग्रहीत किया गया था। फिर, उलटा ट्रिगर पहचान की मदद से, एटैन () फ़ंक्शन के लिए एक एकल मैकलॉरीन श्रृंखला फ़ंक्शन विकसित किया गया था। अतन () फ़ंक्शन के परिणाम तब आसन्न () और एकोस () के लगभग उपयोग किए गए थे।

चूँकि सभी व्युत्क्रम ट्रिगर सन्निकटन कार्य एटन () सन्निकटन फ़ंक्शन पर आधारित होते हैं, किसी भी दोहरे-सटीक तर्क इनपुट मान की अनुमति है। हालाँकि, असिन () और एसीओस () सन्निकटन कार्यों के लिए तर्क इनपुट को value 1 डोमेन से अलग किया जाता है क्योंकि इसके बाहर कोई भी मूल्य अर्थहीन है।

अनुमानित कार्यों का परीक्षण करने के लिए, एक अरब यादृच्छिक फ़ंक्शन मूल्यांकन का मूल्यांकन करने के लिए मजबूर किया गया (यानी, -O3 अनुकूलन कंपाइलर को कुछ का मूल्यांकन करने की अनुमति नहीं दी गई क्योंकि कुछ गणना किए गए परिणाम का उपयोग नहीं किया जाएगा।) एक अरब का मूल्यांकन करने के पूर्वाग्रह को हटाने के लिए। यादृच्छिक संख्याओं और परिणामों को संसाधित करना, किसी भी ट्रिगर या व्युत्क्रम ट्रिगर फ़ंक्शन का मूल्यांकन किए बिना एक रन की लागत को पहले प्रदर्शन किया गया था। इस पूर्वाग्रह को वास्तविक फ़ंक्शन मूल्यांकन समय के अधिक प्रतिनिधि सन्निकटन प्राप्त करने के लिए प्रत्येक परीक्षण से घटाया गया था।

तालिका 2. संकेतित फ़ंक्शन या फ़ंक्शन को निष्पादित करने में सेकंड में बिताया गया समय एक अरब बार। अनुमान तालिका 1 में शेष पंक्तियों से तालिका 1 की पहली पंक्ति में दिखाए गए एक अरब यादृच्छिक संख्याओं के मूल्यांकन की समय लागत को घटाकर प्राप्त किए जाते हैं।

तन में समय व्यतीत होता है (): १15.०५१५ १ in.२५४५

TAN3 (): 5.93853 6.02349 में समय व्यतीत हुआ

TAN4 (): 6.72216 6.99134 में समय व्यतीत हुआ

पाप () और कॉस (): 19.4052 19.4311 में बिताया गया समय

SINCOS3 (): 7.85564 7.92844 में समय व्यतीत हुआ

SINCOS4 (): 9.36672 9.57946 में समय व्यतीत हुआ

Atan में बिताया गया समय (): 15.7160 15.6599

ATAN1 (): 6.47800 6.55230 में समय व्यतीत हुआ

ATAN2 (): 7.26730 7.24885 में समय व्यतीत हुआ

ATAN3 (): 8.15299 8.21284 में समय व्यतीत हुआ

असिन () और एकोस (): 36.8833 36.9496 में समय व्यतीत हुआ

ASINCOS1 (): 10.1655 9.78479 में समय व्यतीत हुआ

ASINCOS2 (): 10.6236 10.6000 में समय व्यतीत हुआ

ASINCOS3 (): 12.8430 12.0707 में समय व्यतीत हुआ

(अंतरिक्ष को बचाने के हित में, तालिका 1 को नहीं दिखाया गया है।) तालिका 2 प्रत्येक सन्निकटन समारोह के एक अरब मूल्यांकन के दो अलग-अलग रनों के परिणामों को दिखाती है। पहला कॉलम पहला रन और दूसरा कॉलम दूसरा रन है। फ़ंक्शन नामों में संख्या '1', '2', '3' या '4' विशेष ट्रिगर या व्युत्क्रम ट्रिगर सन्निकटन का मूल्यांकन करने के लिए मैकलॉरीन श्रृंखला फ़ंक्शन में उपयोग किए जाने वाले शब्दों की संख्या को इंगित करते हैं। SINCOS # () का अर्थ है कि एक ही समय में पाप और कॉस दोनों का मूल्यांकन किया गया था। इसी तरह, ASINCOS # () का अर्थ है कि एक ही समय में असिन और एको दोनों का मूल्यांकन किया गया था। एक ही समय में दोनों मात्राओं के मूल्यांकन में बहुत अधिक अतिरिक्त ओवरहेड होता है।

परिणाम बताते हैं कि शब्दों की संख्या बढ़ने से निष्पादन समय थोड़ा बढ़ जाता है जैसा कि अपेक्षित होगा। यहां तक ​​कि सबसे छोटी शर्तों ने तन () सन्निकटन को छोड़कर हर जगह लगभग 12-14 अंक सटीकता दी, जहां इसका मूल्य ± अनंत के करीब पहुंचता है। एक भी तन () समारोह वहाँ समस्याओं के लिए उम्मीद करेंगे।

इसी तरह के परिणाम यूनिक्स में एक उच्च अंत मैकबुक प्रो लैपटॉप और लिनक्स में एक उच्च अंत डेस्कटॉप कंप्यूटर पर प्राप्त किए गए थे।

Answer 7

यदि आपके पाप, कॉस, और तन की अधिक भौतिक व्याख्या के बारे में पूछना है कि वे समकोण त्रिभुज से कैसे संबंधित हैं। कॉस (लैम्ब्डा) का वास्तविक संख्यात्मक मान एक समकोण त्रिभुज बनाकर पाया जा सकता है जिसमें से एक कोण लैम्ब्डा होता है और कर्ण की लंबाई से लैम्ब्डा से सटे त्रिकोण पक्ष की लंबाई को विभाजित करता है। इसी तरह पाप के लिए कर्ण द्वारा विभाजित विपरीत पक्ष का उपयोग करें। स्पर्शरेखा के लिए आसन्न पक्ष द्वारा विभाजित विपरीत पक्ष का उपयोग करें। यह याद करने के लिए क्लासिक मेमो SOHCAHTOA (उच्चारण सोक्टोआ) है।