हम जानते हैं कि उदाहरण के लिए दो की शक्ति के मोडुलो को इस तरह व्यक्त किया जा सकता है:
x % 2 inpower n == x & (2 inpower n - 1).
उदाहरण:
x % 2 == x & 1
x % 4 == x & 3
x % 8 == x & 7
दो संख्याओं की सामान्य शक्ति के बारे में क्या?
हम कहते हैं:
x% 7 ==?
जवाबों:
सबसे पहले, यह वास्तव में कहना सही नहीं है
x % 2 == x & 1
सरल प्रतिधारण x = -1:। जावा सहित कई भाषाओं में -1 % 2 == -1। यही है, %जरूरी नहीं कि मॉड्यूलर की पारंपरिक गणितीय परिभाषा है। उदाहरण के लिए, जावा इसे "शेष ऑपरेटर" कहता है।
बिटवाइज़ ऑप्टिमाइज़ेशन के संबंध में, केवल दो आसानी से मॉडुलो शक्तियों को बिटवाइज़ अंकगणित में किया जा सकता है। सामान्य शब्दों में, आधार के केवल सापेक्ष शक्तियों ख "आसानी से" आधार के साथ किया जा सकता है ख संख्या का प्रतिनिधित्व।
आधार 10 में, उदाहरण के लिए, गैर-नकारात्मक के लिए N, N mod 10^kबस कम से कम महत्वपूर्ण kअंक ले रहा है ।
-1 = -1 (mod 2), सुनिश्चित नहीं हैं कि आप क्या प्राप्त कर रहे हैं - आपका मतलब यह IEEE 754 शेष के समान नहीं है ?
(a / b) / b + a % b == a, सी-टाइप ऑपरेटरों के लिए, एक और बी पूर्णांक, बी नॉनज़रो, और वह भी abs(a % b) < abs(b)एक ही प्रोविज़ोस के साथ।
(a / b)* b + a % b == a।
बिटवाइज़ का उपयोग करके 2 ^ i नंबरों के मोडुलो को खोजने का केवल एक सरल तरीका है।
N के 3, n% 7 जैसे लिंक के अनुसार Mersenne मामलों को हल करने का एक सरल तरीका है ... n% 5 के लिए विशेष मामले हैं, n% 255, और समग्र मामले जैसे n% 6।
मामलों के लिए 2 ^ i, (2, 4, 8, 16 ...)
n % 2^i = n & (2^i - 1)
अधिक जटिल लोगों को समझाना कठिन है। बहुत उत्सुक होने पर ही पढ़ें।
यह केवल दो (और अक्सर केवल सकारात्मक वाले) की शक्तियों के लिए काम करता है क्योंकि उनके पास अपने द्विआधारी प्रतिनिधित्व में केवल एक बिट '1' पर सेट होने की अनूठी संपत्ति है। क्योंकि संख्याओं का कोई अन्य वर्ग इस संपत्ति को साझा नहीं करता है, इसलिए आप अधिकांश मापांक अभिव्यक्तियों के लिए बिटवाइज़-और भाव नहीं बना सकते हैं।
2 की शक्तियों के अलावा मोडुली हैं जिनके लिए कुशल एल्गोरिदम मौजूद हैं।
उदाहरण के लिए, यदि x 32 बिट्स अहस्ताक्षरित int है तो x% 3 = popcnt (x & 0x55555555) - popcnt (x & 0xaaaaaaaa)
मोडुलो "7" बिना "%" ऑपरेटर के
int a = x % 7;
int a = (x + x / 7) & 7;
&बाइनरी में बिटवाइज़-और ( ) ऑपरेटर का उपयोग नहीं करना है। सबूत के स्केच:
मान लीजिए कि इस तरह के एक मूल्य k थे x & k == x % (k + 1), लेकिन k! = 2 ^ n - 1 । तब यदि x == k , तो अभिव्यक्ति x & k"सही ढंग से संचालित" होती है और परिणाम k है । अब, x == ki पर विचार करें : यदि k में कोई "0" बिट्स थे , तो कुछ i 0 से अधिक हैं, जो कि ki केवल उन स्थितियों में 1-बिट्स के साथ व्यक्त किए जा सकते हैं। (जैसे, १०११ (११) ०१११ (100) हो जाना चाहिए जब १०० (४) इससे घटाया गया हो, इस स्थिति में ००० बिट १०० हो जाता है जब मैं = ४। ) यदि k की अभिव्यक्ति से थोड़ा सा शून्य से बदलना होगा। एक से एक का प्रतिनिधित्व करने के लिए की, तो यह सही ढंग से गणना नहीं कर सकताx% (k + 1) , जो इस मामले में ki होना चाहिए , लेकिन बिटवाइज़ बूलियन के लिए और मास्क को दिए गए मान का उत्पादन करने का कोई तरीका नहीं है।
इस विशिष्ट मामले में (मॉड 7), हम अभी भी बिटवाइज ऑपरेटरों के साथ% 7 को बदल सकते हैं:
// Return X%7 for X >= 0.
int mod7(int x)
{
while (x > 7) x = (x&7) + (x>>3);
return (x == 7)?0:x;
}
यह काम करता है क्योंकि 8% 7 = 1. जाहिर है, यह कोड शायद एक साधारण एक्स% 7 की तुलना में कम कुशल है, और निश्चित रूप से कम पठनीय है।
बिटवाइज़_एंड, बिटवाइज़_ओर, और बिटवाइज़_नॉट का उपयोग करके आप किसी भी बिट कॉन्फ़िगरेशन को दूसरे बिट कॉन्फ़िगरेशन (यानी इन ऑपरेटरों के सेट "कार्यात्मक रूप से पूर्ण" हैं) को संशोधित कर सकते हैं। हालांकि, मापांक जैसे ऑपरेशन के लिए, सामान्य सूत्र आवश्यक रूप से काफी जटिल होगा, मैं इसे फिर से बनाने की कोशिश भी नहीं करूंगा।