चलो, बी और सी गैर-बड़े सकारात्मक पूर्णांक हैं। क्या A / b / c हमेशा C # पूर्णांक अंकगणित के साथ a (b * c) के बराबर होता है? मेरे लिए, C # में ऐसा दिखता है:
int a = 5126, b = 76, c = 14;
int x1 = a / b / c;
int x2 = a / (b * c);
तो मेरा सवाल है: x1 == x2सभी के लिए एक, बी और सी?
जवाबों:
चलो \निरूपित पूर्णांक प्रभाग (सी # /दोनों के बीच ऑपरेटर intरों) दो और /निरूपित सामान्य गणित विभाजन। तो फिर, अगर x,y,zहैं धनात्मक पूर्णांक और हम कर रहे हैं अतिप्रवाह अनदेखी ,
(x \ y) \ z
= floor(floor(x / y) / z) [1]
= floor((x / y) / z) [2]
= floor(x / (y * z))
= x \ (y * z)
कहाँ पे
a \ b = floor(a / b)
लाइन [1]से लाइन के [2]ऊपर की छलांग को निम्नानुसार समझाया गया है। मान लीजिए कि आपके पास दो पूर्णांक aऔर सीमा में bएक भिन्नात्मक संख्या fहै [0, 1)। यह देखना सीधा है
floor(a / b) = floor((a + f) / b) [3]
अगर लाइन में [1]आप पहचानते हैं a = floor(x / y), f = (x / y) - floor(x / y)और b = z, तो [3]इसका मतलब है कि [1]और [2]समान हैं।
आप इस प्रमाण को नकारात्मक पूर्णांक (अभी भी अतिप्रवाह की अनदेखी ) के लिए सामान्य कर सकते हैं , लेकिन मैं उस बिंदु को सरल रखने के लिए पाठक को छोड़ दूँगा।
अतिप्रवाह के मुद्दे पर - एक अच्छी व्याख्या के लिए एरिक लिपर्ट का जवाब देखें! वह अपने ब्लॉग पोस्ट और उत्तर में बहुत अधिक कठोर दृष्टिकोण अपनाता है , आपको कुछ ऐसा दिखना चाहिए जिससे आपको लगे कि मैं बहुत हैंड-वेवी हूं।
floor(x / y) - (x / y)छोटी थी और z >= 1इसलिए floorउस का लाभ लेना 0 है और हम इसे अनदेखा कर सकते हैं। यह वास्तव में पालन नहीं करता है क्योंकि यह वास्तव में एक के भीतर एक जोड़ है floor()(यानी floor(1/2)बनाम पर विचार करें floor(1/2 + 1/2))।
मुझे यह सवाल इतना पसंद आया कि मैंने इसे 4 जून 2013 को अपने ब्लॉग का विषय बना लिया । महान प्रश्न के लिए धन्यवाद!
बड़े मामलों के आने से आसानी होती है। उदाहरण के लिए:
a = 1073741823;
b = 134217727;
c = 134217727;
b * cएक नकारात्मक संख्या के लिए overflows क्योंकि ।
मैं तथ्य यह है कि में है कि बढ़ेगी अंकगणित की जाँच की , के बीच का अंतर a / (b * c)और (a / b) / cएक कार्यक्रम के बीच का अंतर हो सकता है कि काम करता है और एक प्रोग्राम है जो दुर्घटनाओं। के उत्पाद हैं bऔर cएक पूर्णांक की सीमा से overflows तो पूर्व एक जाँच संदर्भ में दुर्घटना होगा।
छोटे धनात्मक पूर्णांक के लिए, कहते हैं, छोटे से छोटे को फिट करने के लिए, पहचान को बनाए रखा जाना चाहिए।
टिमोथी शील्ड्स ने सिर्फ एक सबूत पोस्ट किया; मैं यहां एक वैकल्पिक प्रमाण प्रस्तुत करता हूं। मान लें कि सभी संख्याएँ गैर-नकारात्मक पूर्णांक हैं और कोई भी कार्य अतिप्रवाह नहीं है।
पूर्णांक विभाजन x / yमान का पता लगाता है qजैसे q * y + r == x, जहां 0 <= r < y।
तो विभाजन इस तरह a / (b * c)का मान पाता q1है
q1 * b * c + r1 == a
कहाँ पे 0 <= r1 < b * c
विभाजन ( a / b ) / cपहले मान को qtऐसे पाता है
qt * b + r3 == a
और फिर q2इस तरह के मूल्य पाता है
q2 * c + r2 == qt
इतना विकल्प है कि में qtऔर हम प्राप्त:
q2 * b * c + b * r2 + r3 == a
जहां 0 <= r2 < cऔर 0 <= r3 < b।
समान के बराबर दो चीजें एक दूसरे के बराबर हैं, इसलिए हमारे पास है
q1 * b * c + r1 == q2 * b * c + b * r2 + r3
q1 == q2 + xकुछ पूर्णांक के लिए मान लीजिए x। इसके लिए और इसमें हल करें x:
q2 * b * c + x * b * c + r1 = q2 * b * c + b * r2 + r3
x = (b * r2 + r3 - r1) / (b * c)
कहाँ पे
0 <= r1 < b * c
0 <= r2 < c
0 <= r3 < b
कर सकते हैं xशून्य से अधिक होना? हमारे पास असमानताएं हैं:
b * r2 + r3 - r1 <= b * r2 + r3 <= b * (c - 1) + r3 < b * (c - 1) + b == b * c
तो उस अंश का अंश हमेशा से छोटा होता है b * c, इसलिए xशून्य से अधिक नहीं हो सकता है।
कर सकते हैं xशून्य से भी कम हो? नहीं, इसी तरह के तर्क से, पाठक पर छोड़ दिया।
इसलिए पूर्णांक xशून्य है, और इसलिए q1 == q2।
x1 औरx2 आपरेशन उस मामले में हूबहू दुर्घटना होगा
x1और x2अगर दुर्घटना होगा bया cशून्य कर रहे हैं। अन्य मूल्यों के लिए, x1अभिव्यक्ति के बाद से के संभावित पूर्णांक अतिप्रवाह से बचने जाएगा, बेहतर है ( b * c)कि x2है।
दूसरों द्वारा देखी गई अतिप्रवाह त्रुटियों से बचने के लिए, वे हमेशा मेल खाते हैं।
चलो मान लेते हैं a/b=q1, जिसका अर्थ है a=b*q1+r1, जहां 0<=r1<b।
अब मान लीजिए कि a/b/c=q2जिसका मतलब है q1=c*q2+r2, जहां 0<=r2<c।
इसका मतलब है कि a=b(c*q2+r2)+r1=b*c*q2+br2+r1।
आदेश में a/(b*c)=a/b/c=q2, हम करने की जरूरत है 0<=b*r2+r1<b*c।
लेकिन b*r2+r1<b*r2+b=b*(r2+1)<=b*c, आवश्यकतानुसार और दो संचालन मेल खाते हैं।
यह काम नहीं करता है bया cनकारात्मक हैं, लेकिन मुझे नहीं पता कि पूर्णांक विभाजन उस स्थिति में भी कैसे काम करता है।
मैं मज़े के लिए अपना सबूत पेश करूँगा। यह भी अतिप्रवाह की उपेक्षा करता है और केवल दुर्भाग्य से सकारात्मकता को संभालता है, लेकिन मुझे लगता है कि सबूत साफ और स्पष्ट है।
लक्ष्य यह दिखाना है कि
floor(floor(x/y)/z) = floor(x/y/z)
जहां /सामान्य विभाजन है (इस प्रमाण के दौरान)।
हम a/b विशिष्ट रूप से भागफल और शेष का प्रतिनिधित्व करते हैं a = kb + r(इसके द्वारा हमारा मतलब है कि k,rअद्वितीय हैं और नोट भी हैं |r| < |b|)। तो हमारे पास हैं:
(1) floor(x/y) = k => x = ky + r
(2) floor(floor(x/y)/r) = k1 => floor(x/y) = k1*z + r1
(3) floor(x/y/z) = k2 => x/y = k2*z + r2
इसलिए हमारा लक्ष्य सिर्फ यह दिखाना है k1 == k2। वैसे हमारे पास है:
k1*z + r1 = floor(x/y) = k = (x-r)/y (from lines 1 and 2)
=> x/y - r/y = k1*z + r1 => x/y = k1*z + r1 + r/y
और इस तरह:
(4) x/y = k1*z + r1 + r/y (from above)
x/y = k2*z + r2 (from line 3)
अब (2) से देखें जो r1एक पूर्णांक है ( k1*zपरिभाषा के अनुसार पूर्णांक है) और r1 < z(परिभाषा द्वारा भी)। इसके अलावा (1) हम जानते हैं कि r < y => r/y < 1। अब r1 + r/y(4) से योग पर विचार करें । दावा यह है कि r1 + r/y < zयह पिछले दावों से स्पष्ट है (क्योंकि 0 <= r1 < zऔर r1पूर्णांक है इसलिए हमारे पास है 0 <= r1 <= z-1। इसलिए 0 <= r1 + r/y < z)। इस प्रकार की r1 + r/y = r2परिभाषा के द्वारा r2(अन्यथा दो अवशेष होंगे जिनसे शेष x/yकी परिभाषा विरोधाभासी है)। इसलिए हमारे पास है:
x/y = k1*z + r2
x/y = k2*z + r2
और हमारे पास अपना वांछित निष्कर्ष है k1 = k2।
उपरोक्त प्रमाण को कुछ चरणों के अलावा नकारात्मक के साथ काम करना चाहिए जिन्हें आपको एक अतिरिक्त मामले (ओं) की जांच करने की आवश्यकता होगी ... लेकिन मैंने जांच नहीं की।
काउंटर उदाहरण: INT_MIN / -1 / 2