बहुभुज सीमाओं की असमानता को बढ़ाता है?

Question

मेरे पास दो बहुभुज हैं: बहुभुज 1 और बहुभुज 2।

दो मैट्रिक्स, क्षेत्र और परिधि की लंबाई का उपयोग करके, मैं मात्रात्मक रूप से व्यक्त करना चाहता हूं कि बहुभुज 1 में बहुभुज 2 की तुलना में अधिक असमान / दांतेदार / अनियमित परिधि है।

प्रत्येक बहुभुज की समान परिधि लंबाई होती है, लेकिन प्रत्येक में अलग-अलग क्षेत्र शामिल होते हैं। प्रत्येक बहुभुज की असमानता / दांतेदारता / अनियमितता की मात्रा निर्धारित करने के लिए, गणना होनी चाहिए:

area/perimeter 

या

perimeter/area 

मैंने सोचा था perimeter/area, लेकिन फिर मुझे यह ब्लॉग पोस्ट मिला, जो उपयोग करता है area/perimeter: http://www.r-bloggers.com/measuring-the-gerrymander-with-spatstat/

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न तो उन अनुपातों से समझ में आता है, क्योंकि वे दोनों माप की इकाइयों पर निर्भर हैं। आप उन्हें परिधि / वर्गर्ट (क्षेत्र) जैसे शून्य-डिग्री सजातीय कार्य बनाकर इकाइयों से स्वतंत्र कर सकते हैं। इस तरह के मापों को अक्सर "यातना" कहा जाता है। यातना पर हमारी साइट खोजकर कुछ अन्य दृष्टिकोण पाए जा सकते हैं ।

— whuber

प्रश्न क्या है? एफ 1 (एक्स) / एफ 2 (वाई) या एफ 2 (वाई) / एफ 1 (एक्स) अलग-अलग उपाय नहीं हैं, उसी तरह से 1 / ए के लिए एक अलग उपाय नहीं है।

— ब्रैडहार्ड्स

@ ब्रैड्स कई लोग एक और 1 का चुनाव करेंगे और एक ही अंतर्निहित मात्रा को व्यक्त करने के विभिन्न तरीके हैं, भले ही उनके बीच एक गणितीय संबंध हो। इस संबंध की ग़ैरबराबरी का अर्थ है कि यह इकाइयों का परिवर्तन नहीं है। दो अभिव्यक्तियों को वास्तविक रूप से अलग माना जाना चाहिए, जैसे (कहना) लॉग एकाग्रता और एकाग्रता एकाग्रता को व्यक्त करने के विभिन्न तरीके हैं, या मील प्रति गैलन और गैलन प्रति मील अनिवार्य रूप से ईंधन अर्थव्यवस्था को व्यक्त करने के अलग-अलग तरीके हैं। (और ध्यान दें कि प्रति मील गैलन रूप में दर्शाया जाएगा wastefulness , नहीं "अर्थव्यवस्था।")

— whuber

Answer 1

FRAGSTATS ( http://www.umass.edu/landeco/research/fragstats/downloads/fragstats_downloads.html ) नामक एक कार्यक्रम पर नज़र डालें । पैच मेट्रिक्स सेक्शन में यह "फ्रैक्टल डायमेंशन इंडेक्स" का उल्लेख करता है, जो नोट बताता है कि "फ्रैक्टल डायमेंशन इंडेक्स आकर्षक है क्योंकि यह स्थानिक पैमानों (पैच साइज) की एक सीमा के भीतर आकार की जटिलता को दर्शाता है। इस प्रकार, आकार सूचकांक (SHAPE) की तरह, यह आकार की जटिलता के माप के रूप में सीधे परिधि-क्षेत्र अनुपात की प्रमुख सीमाओं में से एक पर काबू पा लेता है। " ( http://www.umass.edu/landeco/research/fragstats/documents/Metrics/Shape%20Metrics/Metrics/P9%20-%20FRAC.htm )।

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मुझे लगता है कि फ्रैक्टल डाइमेंशन इंडेक्स की गणना करने का सूत्र FRAGSTATS सॉफ्टवेयर की आवश्यकता के बिना गणना करना सरल लगता है। सूत्र ऊपर दिए गए लिंक में दिखाया गया है। फ्रैक्टल डाइमेंशन इंडेक्स आकृतियों के लिए 1 को बहुत सरल परिधि जैसे कि वर्गों के लिए, और बहुत जटिल आकृतियों के लिए 2 तक पहुंचता है।

— user14134

Answer 2

परिधि के क्षेत्र का संबंध ज्यादा मायने नहीं रखता है, एक वर्ग और आयत को समान रूप से दांतेदार होने के लिए लिया जाएगा, लेकिन वे एक ही परिधि हो सकते हैं और वर्ग से आयताकार तक का क्षेत्र उतना ही कम होता है।

"दांतेदारता" की गणना करने के लिए मुझे लगता है कि आपको यह जानने की जरूरत है कि 180 डिग्री से अधिक कोणों पर कितने कोने हैं। यह गणना करना बहुत मुश्किल नहीं होना चाहिए कि क्या आप एक ज्यामिति की दुकान का उपयोग कर रहे हैं जहां बहुभुज के घूमने की दिशा ज्ञात होती है (आमतौर पर वामावर्त, जिस स्थिति में आप बिंदु 1 से बिंदु 2 पर जाते हैं, तो कोण बिंदु 3 से 180 डिग्री से अधिक हो जाता है बिंदु 1 और 2 द्वारा परिभाषित रेखा के दाईं ओर है)। अन्यथा आपको पहले रोटेशन को निर्धारित करने की आवश्यकता है।

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यह मूल रूप से वही है जो मैं सोच रहा था। परिधि पर तेज कोणों की किसी प्रकार की "गिनती"।

— बाल्टोक

इस प्रस्ताव के साथ समस्या यह है कि यह इस बात पर निर्भर करता है कि आकृति का आकार से अधिक प्रतिनिधित्व कैसे किया जाता है, जो इसे मनमाना और अविश्वसनीय बनाता है। उदाहरण के लिए, कोई आकृति के प्रत्येक तीक्ष्ण बिंदु को दो बहुत बारीकी से उभरे हुए कोणों के अनुक्रम से बदल सकता है, जिसमें आकार को संशोधित किए बिना 180 डिग्री से कम कोण होते हैं। इस उत्तर का महत्व यह इंगित करने में निहित है कि प्रश्न का उत्तर "जगमगाहट" के परिचालन विवरण के बिना नहीं दिया जा सकता है।

— whuber

मैं मान रहा हूं कि "दांतेदार" का अर्थ है "सहमति के साथ"। ऊपर दिए गए दांतेदार उदाहरण में कई सम्मलेन हैं। परिचालन विवरण के रूप में लेते हुए, बहुभुज में एक कोण बनाने के लिए कोई रास्ता नहीं है बिना एक कोण बनाए जो बहुभुज के कोने के रोटेशन की दिशा के संबंध में 180 डिग्री से अधिक हो

— ISC

मैं यह भी मान रहा हूँ कि बहुभुज आत्म-प्रतिच्छेद नहीं है।

— आईएससी

@ रसेल यह ठीक है, लेकिन यह अभी भी काम नहीं करता है। एक "समरूपता" को एकल शीर्ष या हजारों निकटता वाले अवतल कोने के अनुक्रम के द्वारा दर्शाया जा सकता है (जो तब होता है, उदाहरण के लिए, जब फीचर अन्य विशेषताओं के बफ़र्स को घटाकर बनाया जाता है)। एक बार फिर, समस्या यह है कि आपका प्रस्ताव आकार के निहित गुणों के बजाय आकार के प्रतिनिधित्व के अप्रासंगिक विवरण पर निर्भर करता है। भग्न आयाम या कुल निरपेक्ष वक्रता आदि का अनुमान लगाकर इसे कई तरह से दूर किया जा सकता है , लेकिन आपका जवाब उस दिशा में नहीं जा सकता है।

— whuber

Answer 3

सामान्यीकृत परिधि सूचकांक ( http://clear.uconn.edu/tools/Shape_Metrics/ ) आज़माएं । सामान्यीकृत परिधि सूचकांक मीट्रिक को सामान्य करने के लिए समान क्षेत्र सर्कल का उपयोग करता है। इस प्रकार सूत्र प्रभावी रूप से है (पायथन में, आयात गणित)normPeriIndex = (2*math.sqrt(math.pi*Area))/perimeter

अपने उदाहरण के लिए:

बहुभुज 1: सामान्यीकृत परिधि सूचकांक = 0.358

बहुभुज 2: सामान्यीकृत परिधि सूचकांक = 0.947

सामान्यीकृत परिधि सूचकांक इनपुट परिधि की तुलना सबसे कॉम्पैक्ट बहुभुज के साथ एक ही क्षेत्र (बराबर क्षेत्र सर्कल) से करता है, जिसका अर्थ है कि आप इसका उपयोग अनियमित सीमाओं के साथ सुविधाओं की पहचान करने के लिए कर सकते हैं। दूसरी बड़ी बात यह है कि यह गणना करना आसान और त्वरित है।

आप सामान्यीकृत फैलाव को भी देख सकते हैं, जो सेंटीमीटर (फैलाव) से परिधि के साथ बिंदुओं से औसत दूरी की गणना करता है। इसके लिए आप विचलन की गणना भी करेंगे, जो कि प्रत्येक दूरी और समान क्षेत्र वृत्त की त्रिज्या के बीच औसत अंतर है, फिर अंतिम सूत्र (फैलाव - विचलन) / फैलाव होगा।