औसत ढलान एक प्राकृतिक मात्रा की तरह लगता है, लेकिन यह एक अजीब बात है। उदाहरण के लिए, एक सपाट क्षैतिज मैदान का औसत ढलान शून्य है, लेकिन जब आप उस मैदान के डेम में एक छोटे से यादृच्छिक, शून्य-औसत शोर जोड़ते हैं, तो औसत ढलान केवल ऊपर जा सकती है । अन्य अजीब व्यवहार डीईएम रिज़ॉल्यूशन पर औसत ढलान की निर्भरता है, जिसे मैंने यहां दस्तावेज किया है , और इसकी निर्भरता डीईएम कैसे बनाई गई थी। उदाहरण के लिए, समोच्च मानचित्रों से बनाए गए कुछ डीईएम वास्तव में थोड़े सीढ़ीदार होते हैं - छोटे अचानक कूदने के साथ जहां समोच्च रेखाएं झूठ बोलती हैं - लेकिन अन्यथा संपूर्ण सतह का सटीक प्रतिनिधित्व करती हैं। उन अचानक कूदता है, अगर औसत प्रक्रिया में बहुत अधिक या बहुत कम वजन दिया जाता है, तो औसत ढलान बदल सकता है।
भारोत्तोलन लाना प्रासंगिक है, क्योंकि, वास्तव में, एक हार्मोनिक माध्य (और अन्य साधन) अलग-अलग ढलानों को भारित कर रहे हैं। इसे समझने के लिए, केवल दो सकारात्मक संख्याओं x और y के हार्मोनिक माध्य पर विचार करें । परिभाषा से,
Harmonic mean(x,y) = 1 / ((1/x + 1/y)/2) = x (y/(x+y)) + y (x/(x+y)) = a x + b y
जहां वजन एक = y / (x + y) और b = x / (x + y) हो। (ये "वेट" कहलाने के लायक हैं क्योंकि ये सकारात्मक और एकता के योग हैं। अंकगणितीय माध्य के लिए, वेट एक = 1/2 और b = 1/2 हैं)। जाहिर है, x से जुड़ा वजन , y / (x + y) के बराबर होता है, जब x , y की तुलना में छोटा होता है । इस प्रकार हार्मोनिक का अर्थ है छोटे मूल्यों से अधिक वजन ।
यह प्रश्न को व्यापक बनाने में मदद कर सकता है। हार्मोनिक का मतलब औसत मूल्य पी द्वारा संचालित औसत के परिवार में से एक है । जिस तरह एक्स और वाई के पारस्परिक के औसत से हार्मोनिक माध्य प्राप्त किया जाता है (और फिर उनके औसत को प्राप्त होता है), सामान्य रूप से हम x और y की pth शक्तियाँ औसत कर सकते हैं (और फिर परिणाम की 1 / pth शक्ति लेते हैं। )। मामले पी = 1 और पी = -1 क्रमशः अंकगणितीय और हार्मोनिक साधन हैं। (हम सीमाएँ ले कर p = 0 के लिए माध्य को परिभाषित कर सकते हैं और इस तरह इस परिवार के सदस्य के रूप में ज्यामितीय माध्य प्राप्त कर सकते हैं।) p1 से घटता है, छोटे मूल्य अधिक से अधिक भारी होते हैं; और जैसे ही पी 1 से बढ़ता है, बड़े मूल्य अधिक से अधिक भारी होते हैं। यह निम्नानुसार है कि पी केवल वृद्धि के रूप में बढ़ सकता है और पी घटने के साथ घट जाना चाहिए । (यह नीचे दिए गए दूसरे आंकड़े में स्पष्ट है, जिसमें तीनों लाइनें या तो सपाट हैं या बाएं से दाएं बढ़ रही हैं।)
मामले का व्यावहारिक दृष्टिकोण लेते हुए, हम इसके बजाय ढलानों के विभिन्न साधनों के व्यवहार का अध्ययन कर सकते हैं और इस ज्ञान को अपने विश्लेषणात्मक टूलबॉक्स में जोड़ सकते हैं: जब हम ढलानों से इस तरह से रिश्ते में प्रवेश करने की उम्मीद करते हैं, ताकि छोटे ढलानों को अधिक ध्यान दिया जाना चाहिए एक प्रभाव, हम 1 से कम p वाला माध्य चुन सकते हैं ; और इसके विपरीत, हम सबसे बड़ी ढलानों पर जोर देने के लिए 1 से ऊपर पी बढ़ा सकते हैं । यह अंत करने के लिए, चलो एक बिंदु के आसपास के क्षेत्र में जल निकासी प्रोफाइल के विभिन्न रूपों पर विचार करें।
यह दिखाने के लिए कि क्या चल सकता है, मैंने तीन गुणात्मक रूप से अलग-अलग स्थानीय इलाकों पर विचार किया है : एक वह जगह है जहां सभी ढलान समान हैं (जो एक अच्छा संदर्भ बनाता है); एक और वह जगह है जहां हम स्थानीय रूप से एक कटोरे के नीचे स्थित होते हैं: हमारे चारों ओर ढलान शून्य होते हैं, लेकिन फिर धीरे-धीरे बढ़ते हैं और अंततः रिम के चारों ओर, मनमाने ढंग से बड़े हो जाते हैं। इस स्थिति का उलटा होता है जहां पास की ढलान मध्यम होती है लेकिन फिर हमसे दूर हो जाती है। ऐसा लगता है कि व्यवहार की एक वास्तविक विस्तृत श्रृंखला को कवर करना होगा।
यहाँ तीन प्रकार के जल निकासी रूपों के छद्म-3 डी भूखंड हैं:
यहां मैंने प्रत्येक के माध्य ढलान की गणना की है - एक ही रंग कोडिंग के साथ - पी के एक फ़ंक्शन के रूप में , 2 के माध्यम से -1 (हार्मोनिक माध्य) से पी रेंज दे रहा है ।
बेशक नीली रेखा क्षैतिज है: कोई फर्क नहीं पड़ता कि पी क्या मूल्य लेता है, एक स्थिर ढलान का मतलब उस स्थिरांक के अलावा कुछ भी नहीं हो सकता है (जिसे संदर्भ के लिए 1 पर सेट किया गया है)। लाल कटोरे के सुदूर रिम के चारों ओर की ऊँची ढलानें पी ढलानों के रूप में मीन ढलानों को दृढ़ता से प्रभावित करती हैं : ध्यान दें कि वे एक बार पी से अधिक बड़े हो जाते हैं । 1. तीसरी (सोने-हरे) सतह में क्षैतिज रिम हार्मोनिक माध्य का कारण बनता है (p = - १) शून्य होना।
यह उल्लेखनीय है कि तीन घटता के सापेक्ष स्थान p = 0 (ज्यामितीय माध्य) में बदल जाते हैं: p से अधिक 0 के लिए, लाल कटोरे में नीले रंग की तुलना में बड़ी औसत ढलान होती है, जबकि नकारात्मक p के लिए , लाल कटोरे में छोटे औसत होते हैं नीले रंग की तुलना में ढलान। इस प्रकार, पी की आपकी पसंद औसत ढलानों की सापेक्ष रैंकिंग को भी बदल सकती है ।
हार्मोनल माध्य (p = -1) के पीले-हरे आकार पर गहरा प्रभाव हमें विराम देना चाहिए: यह दर्शाता है कि जब जल निकासी में पर्याप्त छोटे ढलान होते हैं, तो हार्मोनिक का मतलब इतना छोटा हो सकता है कि यह किसी भी प्रभाव को प्रभावित करता है अन्य सभी ढलान।
एक खोजपूर्ण डेटा विश्लेषण की भावना में , आप अलग-अलग पी पर विचार कर सकते हैं - चरम भार से बचने के लिए यह 0 से लेकर थोड़ा अधिक से अधिक 1 तक होने देता है - और यह पता लगाने के लिए कि कौन सा मान औसत ढलान और चर के बीच सबसे अच्छा संबंध बनाता है। मॉडलिंग कर रहे हैं (जैसे चैनल आरंभीकरण थ्रेसहोल्ड)। "सर्वश्रेष्ठ" आमतौर पर एक प्रतिगमन मॉडल में "सबसे अधिक रैखिक" या "निरंतर [होमोसिस्टैस्टिक] अवशिष्ट" बनाने के अर्थ में समझा जाता है।