वस्तु की ज्यामिति का केंद्र ज्ञात करना?

Question

2 डी या 3 डी बिंदुओं के एक सेट को देखते हुए:

किसी वस्तु की ज्यामिति के केंद्र को कैसे खोजें?

निम्नलिखित आकृति के अनुसार, ज्यामिति का केंद्र द्रव्यमान के केंद्र से भिन्न होता है यदि इसकी गणना सबसे सरल रूप में की जाती है अर्थात, द्रव्यमान का समरूप घनत्व। समस्या, उन लोगों की गणना में प्रकट होती है। आमतौर पर, एक दृष्टिकोण एक्स निर्देशांक और वाई निर्देशांक औसत करने के लिए अलग-अलग है अर्थात, दिए गए बिंदुओं के लिए एक औसत स्थिति (यहां 2 डी में) खोजें। किसी वस्तु का प्रतिनिधित्व करने वाले बिंदुओं के सेट के लिए इसे सेंट्रोइड के रूप में इस्तेमाल किया जा सकता है। जैसा कि दिखाया गया है, नीचे के किनारे के साथ अतिरिक्त शीर्ष के कारण, एक साधारण आयत के लिए परिणामी सेंट्रोइड (0.5,0.4) है, जबकि सही उत्तर (0.5,0.5) है ।
ध्यान दें कि दिया गया उदाहरण बहुत सरल है। हालांकि ब्याज की समस्या 2 डी में जटिल आकृतियों और 3 डी में वस्तुओं के लिए है, जिसके लिए केवल निर्देशांक के निर्देश उपलब्ध हैं।
BTW, एक कुशल कम्प्यूटेशनल तरीका ब्याज का है।

बस यह उल्लेख करने के लिए कि मैंने कुछ वेब लिंक की जाँच की है जैसे कि विकिपीडिया की हालांकि मेरी वर्तमान समस्या यह है कि 2 डी और 3 डी बिंदुओं के समूह हैं जो उन लोगों के लिए प्रतिनिधि के रूप में एक बिंदु खोजना चाहते हैं। इस प्रकार सेंट्रोइड ब्याज बन गया। अंक किसी भी सामयिक जानकारी के बिना दिए गए हैं। आप उन्हें पॉइंट क्लाउड के रूप में मान सकते हैं। यहां प्रदर्शन ने यह स्पष्ट करने के लिए प्रदान किया कि निर्देशांक के सामान्य ज्ञात औसत (उदाहरण के लिए इस स्टैक ओवरफ्लो क्यू एंड ए देखें ) गलत हो सकता है जैसा कि उदाहरण में दिखाया गया है।

तुलना के लिए कुछ कार्यान्वयन यहां दिए गए हैं:

• आ = नीचे उत्तर स्वीकार किया गया
• चुल्ल = अंकों का उत्तल-हल, स्वर्ण बहुभुज
• विकिपीडिया में cent = centroid प्रस्तावित है और बहुभुज केन्द्रक के रूप में आ में चर्चा की गई है
• centl = पॉलीलाइन के केन्द्रक के रूप में विस्तार से बताया आ

नेत्रहीन, centlकी तुलना में दी गई ज्यामिति के लिए बेहतर प्रतिनिधि दिखता है cent। दो अन्य यहां आशाजनक दिखते हैं लेकिन आमतौर पर वे बहुत पक्षपाती होते हैं अगर अंकों का फैलाव अमानवीय था क्योंकि यह एक सामान्य मामला है।
और यह भी विचार करें कि हालांकि उत्तल-पतंग समस्या को काफी सरल बना देता है, लेकिन यह अंतरिक्ष में किसी भी सममित स्थिति के बिना बहुत लंबे और बहुत छोटे किनारों को उत्पन्न कर सकता है, अर्थात, जागरूकता आवश्यक है यदि आप दोनों मामलों में सरल औसत (अर्थात, भार के बिना) करते हैं। : पूरे अंक (हरा) या उत्तल-बहुभुज कोने (नीला)।

दिए गए बिंदुओं के लिए न्यूनतम-क्षेत्र-आयत खोजने में एक आवेदन पाया जा सकता है ? ।

Comments

यह काम करेगा? बहुभुज का केन्द्रक ज्ञात करना? (

— स्टैकऑवरफ्लो

मुझे यकीन नहीं है कि आपका प्रश्न क्या है। सेंटर ऑफ़ ज्योमेट्री या (आमतौर पर सेंट्रोइड) बायर्सेंटेंट (द्रव्यमान का केंद्र) से अलग हो सकता है। यह एक जाना माना तथ्य है। साथ ही एक ज्यामिति के केंद्र की गणना करने के विभिन्न तरीके हैं। देखें: en.wikipedia.org/wiki/Triangle_center , en.wikipedia.org/wiki/Encyclopedia_of_Triangle_Centers and संकाय .evansville.edu / ck6 / nclclopedia / ETC.html ।

— देवदत्त तेंशे

अद्यतन करें: जब कोई टोपोलॉजी नहीं होती है, तो एक बिंदु बादल बस एक बिंदु बादल होता है। एक बहुभुज वर्ग का आपका आंकड़ा लागू नहीं होता है (और आपकी 0.5 सेंटीमीटर) (0.5,0.4) किसी भी मानक सूत्र से उत्पन्न नहीं होती है, जिस तरह से: समरूपता वर्ग के किसी भी केंद्रीय बिंदु के लिए मजबूती से बहस करती है (0.5) , 0.5), कोई फर्क नहीं पड़ता कि यह कैसे परिभाषित किया जाता है)। दो या दो से अधिक आयामों में बिंदु बादलों के लिए प्रतिनिधि या केंद्रीय स्थान खोजने के बारे में कुछ विचारों के लिए, कृपया आँकड़े.स्टैकएक्सचेंज . com/questions/1927 देखें ।

— whuber

@Developer, मैं अब आपकी बात देखता हूं, "आयत" (वास्तव में एक बहुभुज) के तल पर आपका 5 वाँ बिंदु वर्टेक्स का एक साधारण औसत निर्देशांक एक बहुभुज की तुलना में एक भिन्न बायनेटर पैदा करता है, जिसे व्होल का उत्तर बताते हैं।

— ब्लाह 238

अहा! मैं पूरी तरह से उस पाँचवें शिखर से चूक गया, भले ही मैं ऐसी किसी चीज़ की तलाश में था। भविष्य के पाठकों की मदद करने के लिए, मैंने इसे इंगित करने के लिए प्रश्न में थोड़ा सा संपादन किया है। यह वास्तव में मामले के दिल को भी मिलता है: किनारों के साथ कोने सम्मिलित करने या हटाने से एक पॉली {लाइन, गॉन} का प्रतिनिधित्व किया जाएगा , लेकिन इसे अपने जन्मजात ज्यामितीय गुणों की गणना में बदलाव नहीं करना चाहिए। यही कारण है कि कोने के बायर्सेंट का बहुभुज या सीमा के बायर्स के लगभग मनमाना संबंध हो सकता है।

— whuber

Answer 1

प्रत्येक बहुभुज में न्यूनतम, चार अलग-अलग "केंद्र" होते हैं:

• इसके कोने के barycenter।

• इसके किनारों का बेरिकेंटर।

• बहुभुज के रूप में इसका बायोरेंटर।

• एक जीआईएस-विशिष्ट "केंद्र" लेबलिंग के लिए उपयोगी (आमतौर पर अनिर्दिष्ट स्वामित्व विधियों के साथ गणना की जाती है)।

(वे विशेष मामलों में संयोग से हो सकते हैं, लेकिन "सामान्य" बहुभुज के लिए वे अलग-अलग बिंदु हैं।)

सामान्य रूप से एक "बायरेन्सेन्ट" एक "द्रव्यमान का केंद्र" होता है। तीन प्रकार अलग-अलग होते हैं जहां द्रव्यमान को स्थित माना जाता है: यह या तो पूरी तरह से कोने पर होता है, किनारों पर समान रूप से फैलता है, या पूरे बहुभुज में समान रूप से फैलता है।

सभी तीन बेरेंटर्स की गणना करने के लिए सरल तरीके मौजूद हैं। एक दृष्टिकोण मूल तथ्य पर निर्भर करता है कि दो जनसमूह के असंतुष्ट संघ का बायर्सेंट बैरियरस का कुल-भार-भारित औसत है। इससे हम आसानी से निम्नलिखित प्राप्त करते हैं:

1. दो (समान रूप से भारित) वर्टीकल का बायरकेंटर उनका औसत है। यह उनके निर्देशांक के औसत द्वारा अलग से प्राप्त किया जाता है। ज्यामितीय रूप से, यह दो खंडों को मिलाने वाले रेखाखंड का मध्य बिंदु है।

2. उपपादन, के केन्द्रक n (समान रूप से भारित) कोने उनके निर्देशांक अलग से औसत से प्राप्त की है।

3. किसी रेखा खंड का बैरियर इसके मध्य बिंदु है। (यह समरूपता से स्पष्ट है।)

4. एक पॉलीलाइन का बायरसेंटर प्रत्येक लाइन सेगमेंट के मिडपॉइंट को खोजकर प्राप्त किया जाता है और फिर वेट के रूप में सेगमेंट की लंबाई का उपयोग करके अपने भारित औसत का निर्माण करता है।

   उदाहरण के लिए, अंक (0,0), (6,0), (6,12) द्वारा चित्रित "एल" आकार पर विचार करें। दो सेगमेंट हैं: मिडपॉइंट पर लंबाई 6 में से एक (0 + 0) / 2, (0 + 6) / 2) = (3,0) और मिडपॉइंट पर 12 की लंबाई के साथ दूसरा ((6 + 6) / 2, (0 + 12) / 2) = (6,6)। उनके लंबाई-भारित औसत निर्देशांक इसलिए (x, y) के साथ हैं

   x = (6*3 + 12*6) / (6+12) = 5,  y = (6*0 + 12*6) / (6+12) = 4.
   

   यह तीन चक्करों के बैरिकेटर से अलग है, जो ((0 + 6 + 6) / 3, (0 + 0 + 12) / 3) = (4,4) है।

   ( एक अन्य उदाहरण के रूप में संपादित करें , प्रश्न में उस आकृति पर विचार करें, जो आकार में वर्गाकार है, लेकिन अंक (0,0), (1 / 2,0), (1,0) के अनुक्रम द्वारा निर्धारित पंचकोण के रूप में दर्शाया गया है । (1,1), (0,1)। पांचों की लंबाई 1/2, 1/2, 1, 1, 1 और midpoint (1 / 4,0), (3 / 4,0), (1) है , 1/2), (1 / 2,1), और (0,1 / 2), क्रमशः। उनका भारित औसत इसलिए बराबर है।

   [(1/2)*(1/4, 0) + (1/2)*(3/4, 0) + (1)*(1, 1/2) + (1)*(1/2, 1) + (1)*(0, 1/2)] / (1/2+1/2+1+1+1)
   = (2/4, 2/4) = (0.5, 0.5)
   

   एक के रूप में उम्मीद है, भले ही अकेले कोने के barycenter (ऊपर # 2 के रूप में गणना) है (0.5, 0.4)।

5. एक बहुभुज का बायरसेंटर त्रिकोण के द्वारा प्राप्त किया जा सकता है ताकि इसे त्रिकोण में विघटित किया जा सके। एक त्रिभुज-योग्यता-बहुभुज का बायरसेंटर इसके कोने के बैरिकेटर के साथ मेल खाता है। इन बेरिएंटर्स का क्षेत्रफल-भारित औसत बहुभुज का बायर्सेंट है। त्रिभुज क्षेत्रों को उनके शीर्ष निर्देशांक (जैसे, दो पक्षों के कील उत्पाद के संदर्भ में) के रूप में आसानी से गणना की जाती है । ऐसे क्षेत्र की गणनाओं के एक चित्रण के लिए, जिसमें हस्ताक्षरित (सकारात्मक या नकारात्मक) क्षेत्रों का शोषण करना शामिल है, मेरे (पुराने) पाठ्यक्रम नोट्स पृष्ठ पर "क्षेत्र" पर अनुभाग देखें ।

   ( उदाहरण के लिए प्रश्न में दर्शाए गए बहुभुज पर विचार करें । हम इसे त्रिभुज ((0,0), (1 / 2,0), (0,1) के साथ बाईं ओर, (0,1) के साथ त्रिभुज कर सकते हैं। (1 / 2,0), (1,1) मध्य में, और ((1,1), (1,0), (1 / 2,0)) दाईं ओर। उनके क्षेत्र 1/4 हैं। , क्रमशः 1/4, 1/4 और उनके बायर्स - उनके वर्टिकल के औसत से प्राप्त होते हैं - (1 / 6,1 / 3), (1 / 2,2 / 3), और (5 / 6,1 /) 3), क्रमशः। इन बेरिएन्टर्स का क्षेत्र-भारित औसत बराबर होता है

   [(1/4)*(1/6,1/3) + (1/2)*(1/2,2/3) + (1/4)*(5/6,1/3)] / (1/4 + 1/2 + 1/4)
   = (12/24, 6/12)
   = (0.5, 0.5)
   

   जैसा कि नीचे के किनारे के साथ उस पांचवें शीर्ष की उपस्थिति के बावजूद होना चाहिए।)

यह स्पष्ट है कि इनमें से प्रत्येक विधि कुशल है : इसे बहुभुज के "स्पेगेटी" प्रतिनिधित्व पर सिर्फ एक पास की आवश्यकता होती है, प्रत्येक चरण में निरंतर (काफी कम) का उपयोग करते हुए। ध्यान दें कि सभी मामलों में पहले (शुद्ध कोने के) को छोड़कर, केवल शीर्ष निर्देशांक की एक सूची से अधिक जानकारी की आवश्यकता होती है: आपको आंकड़े की टोपोलॉजी को भी जानना होगा। "एल" उदाहरण में, हमें यह जानने की जरूरत है कि (0,0) उदाहरण के लिए (6,0) और (6,12) से जुड़ा नहीं था।

ये सभी यूक्लिडियन अवधारणाएँ हैं। उन्हें कई तरीकों से गोला (या दीर्घवृत्त) तक बढ़ाया जा सकता है। एक सीधा व्यक्ति तीन (यूक्लिडियन) आयामों में एक सरल परिसर के रूप में सुविधाओं को देखता है, उपयुक्त बैरियर को गणना करता है, और फिर इसे दीर्घवृत्त के केंद्र से सतह तक बाहर की ओर प्रोजेक्ट करता है। इसके लिए किसी नई अवधारणा या सूत्र की आवश्यकता नहीं है; आपको केवल पहले दो निर्देशांक के अलावा तीसरे (z) समन्वय के साथ काम करना होगा। (क्षेत्र अभी भी वेज उत्पादों की लंबाई का उपयोग करके पाए जाते हैं।)

एक अन्य सामान्यीकरण यह मानता है कि यूक्लिडियन मीट्रिक - पाइथागोरस के अनुसार वर्गों की राशि का वर्गमूल - p> = 1 के लिए अन्य Lp मीट्रिक में बदला जा सकता है : आप pth शक्तियों के योग की pth मूल लेते हैं। उपयुक्त "बेरेंटर्स" ढूंढना अब इतना सरल नहीं है, क्योंकि ऊपर शोषित किए गए सुंदर एडिटिव गुण (बैरेंटर्स एक आंकड़े के सरल भागों के बेरेंटर्स का औसत भारित होते हैं) अब सामान्य रूप से पकड़ नहीं रखते हैं। अक्सर, पुनरावृत्त अनुमानित संख्यात्मक समाधान प्राप्त करना होता है। वे अद्वितीय भी नहीं हो सकते हैं।

अतिरिक्त केंद्रों को विभिन्न उद्देश्यों के लिए परिभाषित किया जा सकता है। त्रिभुजों के कई अलग-अलग केंद्र हैं जो (कुछ) पॉलीगॉन को सामान्य कर सकते हैं: खतना का केंद्र, (कुछ) अधिकतम का केंद्र, एक न्यूनतम-क्षेत्र बाउंडिंग दीर्घवृत्त का केंद्र, और अन्य। किसी भी सेट को विभिन्न "पतवारों" में संलग्न किया जा सकता है, जैसे कि उत्तल पतवार, और उन पतवारों के केंद्र।

ध्यान दें कि इनमें से कई "केंद्र" आवश्यक रूप से एक बहुभुज के अंदरूनी हिस्से में स्थित नहीं हैं। (एक उत्तल बहुभुज का कोई भी उचित केंद्र इसके आंतरिक भाग में स्थित होगा, हालाँकि)

दृष्टिकोण और समाधान की यह विविधता इंगित करती है कि किसी को "ज्यामिति के केंद्र" या केवल "केंद्र" जैसे सामान्य शब्द से सावधान रहना चाहिए: यह कुछ भी हो सकता है।

Comments

समुदाय के लिए: 'व्हीबर' से इस तरह के एक अच्छे उत्तर की उम्मीद केवल एक अच्छे प्रश्न के लिए की जा सकती है, क्योंकि मेरी प्राथमिकता उसकी पसंद के साथ है, इस प्रकार, क्या आप हर किसी को इस सवाल का जवाब देने के लिए मन बनाएंगे, भले ही आपको यह दिलचस्प लगे;)

— डेवलपर

मुझे यह कुछ सीन्स में उपयोगी लगा, कुछ कॉन्ट्रिब्यूटर्स को जवाब देने के लिए प्रेरणा के रूप में कुछ समय देना चाहते हैं। मैं इसे अब तक एक अकथनीय रचनात्मक उत्तर के रूप में चिह्नित करता हूं।

— डेवलपर

क्या आप बता सकते हैं कि क्यों क्षेत्र अभी भी एक क्षेत्र पर पच्चर उत्पादों का उपयोग करते हुए पाए जाते हैं ? गोलाकार त्रिकोण क्षेत्र अधिक उपयुक्त नहीं होगा? निकटतम संदर्भ (इस उत्कृष्ट उत्तर से अलग!) जो मैंने पाया है वह है: jennessent.com/downloads/Graphics_Shapes_Online.pdf - जो गोलाकार त्रिकोण के क्षेत्रों का उपयोग करता है।

— जेसन डेविस

@ जेसन मैं अंतर्विरोधी हूँ: आप गोलाकार सुविधाओं के बेरेंटर्स की गणना करने के लिए गोलाकार त्रिभुज क्षेत्रों का उपयोग कैसे प्रस्तावित करते हैं ?

— whuber

@whuber गोलाकार बहुभुज गोलाकार त्रिभुजों में विघटित हो जाता है, और प्रत्येक त्रिभुज का बायरसेंटर इसके कोने के कार्टेशियन निर्देशांक के औसत द्वारा गणना की जाती है। मैं प्रस्ताव कर रहा हूं कि बहुभुज बैरिकेंटर इन त्रिभुजों का भारित औसत है, जहां वजन गोलाकार त्रिभुज क्षेत्र है, न कि प्लानर क्षेत्र जैसा कि आपने अपने उत्तर में सुझाव दिया था (यह मानते हुए कि मैं सही तरीके से कील उत्पाद को समझता हूं)।

— जेसन डेविस