कहते हैं कि मेरे पास अंतरिक्ष में कहीं से उत्पन्न होने वाली एक किरण सदिश है। एक उदाहरण सूर्य से प्रकाश की किरण हो सकती है। मैं किरण और पृथ्वी की सतह के बीच चौराहे के बिंदु (यदि यह मौजूद है) की गणना कैसे कर सकता हूं? मैं कार्टेशियन निर्देशांक (ECEF) का उपयोग कर रहा हूं और गणना में कारक के लिए पृथ्वी का दीर्घवृत्ताभ ज्यामिति चाहूंगा।
जवाबों:
यह सरल लेकिन गड़बड़ है।
क्योंकि आप ECEF में काम कर रहे हैं, संभवतः आपके पास ECEF निर्देशांक में किरण की उत्पत्ति (x, y, z) और दिशा सदिश (u, v, w) भी है। फिलहाल मान लेते हैं कि पृथ्वी की सतह की यात्रा के दौरान, पृथ्वी सराहनीय ढंग से नहीं चलती है। (पृथ्वी के घूमने का सबसे तेज़ भाग, भूमध्य रेखा, लगभग 0.45 किमी / सेकंड और प्रकाश लगभग 300,000 किमी / सेकंड चलता है, इसलिए एक किरण की उत्पत्ति होती है, कहते हैं, पृथ्वी से 1000 किमी ऊपर और भूमध्य रेखा की ओर कम या अधिक सीधे जाएगी 1/300 सेकंड उस तक पहुंचने के लिए, जिसके दौरान भूमध्य रेखा 1.5 मीटर चली होगी: यह शायद एक स्वीकार्य त्रुटि है।)
हमें केवल पैरामीटर की गई रेखा के प्रतिच्छेदन की गणना करने की आवश्यकता है
t --> (x,y,z) + t*(u,v,w)
पृथ्वी की सतह के साथ, जिसे फ़ंक्शन का शून्य सेट माना जा सकता है
(x/a)^2 + (y/a)^2 + (z/b)^2 - 1
जहां एक अर्ध-प्रमुख धुरी (6,378,137 मीटर) है और बी WGS84 दीर्घवृत्त (6,356,752.3142 मीटर) की अर्ध-लघु धुरी है । पहले सूत्र को दूसरे में प्लग करें और x, y, z, u, v, w के संदर्भ में t के लिए हल करें । यह एक द्विघात समीकरण है, इसलिए आपको दो समाधान मिलते हैं: एक पृथ्वी में प्रवेश करने के लिए और दूसरा इसे फिर से छोड़ने के लिए (जो कि होता है, उदाहरण के लिए, न्यूट्रिनो के लिए)। वह उपाय चुनें जिसके लिए दूरी सबसे कम हो। यह देता है
t = -(1/(b^2 (u^2 + v^2) + a^2 w^2)) * (b^2 (u x + v y) + a^2 w z + 1/2 Sqrt[
4 (b^2 (u x + v y) + a^2 w z)^2 -
4 (b^2 (u^2 + v^2) + a^2 w^2) (b^2 (-a^2 + x^2 + y^2) + a^2 z^2)])
चौराहे के बिंदु को प्राप्त करने के लिए इस मूल्य को पहले समीकरण में प्लग करें।
एक किरण उद्भव के लिए बहुत दूर है, लेकिन नहीं बहुत दूर ( जैसे, सूर्य से नहीं बल्कि सौर प्रणाली के बाहर से), समय की एक मोटे अनुमान के साथ शुरू करते हैं टी यह पृथ्वी तक पहुंचने के लिए (सेकंड में) ले जाना चाहिए: यदि आप कर सकते थे उदाहरण के लिए, पृथ्वी के केंद्र से (x, y, z) की दूरी का उपयोग करें। इस समय के दौरान पृथ्वी के घूमने की मात्रा के हिसाब से शुरुआती निर्देशांक (x, y, z) को संशोधित करें: इससे शुरुआती निर्देशांक बदल जाएंगे
(x*c + y*s, -x*s + y*c, z)
(बिंदु पीछे की ओर जाती प्रतीत होगी ) जहाँ c और s 0.000072921150 * रेडियन के साइन और कोसाइन हैं । इस अद्यतन स्थान पर शुरू होने वाली किरण के लिए प्रतिच्छेदन की गणना करें। अनुमानित समय के उपयोग के कारण आप 10 मीटर या उससे अधिक हो सकते हैं। यदि यह मायने रखता है, तो चौराहे के इस बिंदु के आधार पर बीते हुए समय का फिर से अनुमान लगाएं और टी के नए मूल्य के साथ गणना को दोहराएं ।