यह सवाल पृथ्वी के एक दीर्घवृत्त मॉडल को मानता है। इसकी संदर्भ सतह इसकी छोटी धुरी के चारों ओर एक दीर्घवृत्त को घुमाकर प्राप्त की जाती है (सम्मेलन द्वारा लंबवत प्लॉट की जाती है)। इस तरह के एक अंडाकार सिर्फ एक चक्र है कि का एक पहलू से क्षैतिज बढ़ाया गया है एक और खड़ी का एक पहलू से ख । यूनिट सर्कल के मानक पैरामीटर का उपयोग करते हुए,
t --> (cos(t), sin(t))
(जो कोसाइन और साइन को परिभाषित करता है ), हम एक पैरामीटर प्राप्त करते हैं
t --> (a cos(t), b sin(t)).
(: "समय" पर हमारे स्थान वे निर्दिष्ट करते हैं, कार्तीय निर्देशांक में, इस parameterization के दो घटक वक्र के चारों ओर एक यात्रा का वर्णन टी ।)
जियोडेटिक अक्षांश , च , किसी भी बिंदु के कोण है कि "ऊपर" भूमध्य मैदानों के लिए बनाता है। जब एक से भिन्न ख , का मान च की है कि से भिन्न टी (भूमध्य रेखा के साथ छोड़कर और ध्रुवों पर)।
इस चित्र में, नीला वक्र इस तरह के दीर्घवृत्त (पृथ्वी की विलक्षणता की तुलना में अतिरंजित) का एक चतुर्थांश है। निचले बाएँ कोने पर लाल बिंदु इसका केंद्र है। धराशायी रेखा सतह पर त्रिज्या को एक बिंदु पर नामित करती है। इसकी "अप" दिशा एक काले खंड के साथ दिखाई गई है: यह उस बिंदु पर दीर्घवृत्त के लिए लंबवत है। अतिरंजित विलक्षणता के कारण, यह देखना आसान है कि "अप" त्रिज्या के समानांतर नहीं है।
हमारे शब्दावली में, टी क्षैतिज और करने के लिए त्रिज्या द्वारा किए गए कोण से संबंधित है च कोण है कि काले खंड द्वारा बनाई गई है। (ध्यान दें कि सतह पर किसी भी बिंदु को इस दृष्टिकोण से देखा जा सकता है। यह हमें t और f दोनों को 90 और 90 डिग्री के बीच झूठ बोलने की अनुमति देता है ; उनके कोसाइन और साइन सकारात्मक होंगे, इसलिए हमें नकारात्मक के बारे में चिंता करने की ज़रूरत नहीं है। सूत्र में वर्गमूल।)
चाल को t- परिमाणीकरण से f के संदर्भ में एक में बदलना है , क्योंकि t के संदर्भ में त्रिज्या R को पाइथागोरस प्रमेय के माध्यम से गणना करना आसान है। इसका वर्ग बिंदु के घटकों के वर्गों का योग है,
R(t)^2 = a^2 cos(t)^2 + b^2 sin(t)^2.
इस रूपांतरण हम "ऊपर" दिशा से संबंधित की जरूरत बनाने के च पैरामीटर के लिए टी । यह दिशा दीर्घवृत्त के स्पर्शरेखा के लंबवत है। परिभाषा के अनुसार, वक्र के लिए एक स्पर्शरेखा (एक वेक्टर के रूप में व्यक्त) को इसके मानकीकरण को अलग करके प्राप्त किया जाता है:
Tangent(t) = d/dt (a cos(t), b sin(t)) = (-a sin(t), b cos(t)).
(विभेदीकरण परिवर्तन की दर की गणना करता है। जैसे ही हम वक्र के चारों ओर यात्रा करते हैं, हमारी स्थिति के परिवर्तन की दर निश्चित रूप से, हमारा वेग है , और यह हमेशा वक्र के साथ इंगित करता है।)
लंबवत प्राप्त करने के लिए इस घड़ी को 90 डिग्री तक घुमाएं, जिसे "सामान्य" वेक्टर कहा जाता है:
Normal(t) = (b cos(t), a sin(t)).
इस सामान्य वेक्टर की ढलान, (एक पाप (t)) / (b cos (t)) ("रन ओवर उदय") के बराबर है, यह उस कोण की स्पर्शरेखा भी है, जो इसे क्षैतिज, जहाँ तक बनाती है
tan(f) = (a sin(t)) / (b cos(t)).
तुल्य,
(b/a) tan(f) = sin(t) / cos(t) = tan(t).
(यदि आप यूक्लिडियन ज्यामिति में अच्छी जानकारी रखते हैं, तो आप किसी भी ट्रिगर या कैलकुलस से गुजरे बिना किसी दीर्घवृत्त की परिभाषा से सीधे इस रिश्ते को प्राप्त कर सकते हैं, बस यह पहचानकर कि क्रमशः ए और बी द्वारा संयुक्त क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर विस्तार को बदलने का प्रभाव पड़ता है। इस कारक द्वारा सभी ढलान b / a ।)
R (t) ^ 2 के सूत्र पर फिर से गौर करें: हम a और b जानते हैं - वे दीर्घवृत्त के आकार और आकार का निर्धारण करते हैं - इसलिए हमें केवल cos (t) ^ 2 और sin (t) 2 खोजने की आवश्यकता है एफ के संदर्भ में , जो पूर्ववर्ती समीकरण हमें आसानी से करने देता है:
cos(t)^2 = 1/(1 + tan(t)^2)
= 1 / (1 + (b/a)^2 tan(f)^2)
= a^2 / (a^2 + b^2 tan(f)^2);
sin(t)^2 = 1 - cos(t)^2
= b^2 tan(f)^2 / (a^2 + b^2 tan(f)^2).
(जब टैन (एफ) अनंत है, हम पोल पर हैं, तो बस उस मामले में एफ = टी सेट करें ।)
यह वह कनेक्शन है जो हमें चाहिए। Cos (t) ^ 2 और sin (t) ^ 2 के लिए R (t) ^ 2 के लिए इन मानों को रखें और प्राप्त करने के लिए सरल करें
R(f)^2 = ( a^4 cos(f)^2 + b^4 sin(f)^2 ) / ( a^2 cos(f)^2 + b^2 sin(f)^2 ).
एक साधारण परिवर्तन से पता चलता है कि यह समीकरण वैसा ही है जैसा विकिपीडिया पर पाया जाता है। क्योंकि एक ^ 2 b ^ 2 = (ab) ^ 2 और (a ^ 2) ^ 2 = ^ 4,
R(f)^2 = ( (a^2 cos(f))^2 + (b^2 sin(f))^2 ) / ( (a cos(f))^2 + (b sin(f))^2 )
(b^4 sin(f))^2बदलना नहीं चाहिए(b^4 sin(f)^2)?