जड़ता के ध्रुवीय पल, और एक क्रॉस सेक्शन के निरंतर, में क्या अंतर है?

Question

यह सवाल इतना बुनियादी रूप से बुनियादी है कि मैं पूछने के लिए लगभग शर्मिंदा हूं, लेकिन यह दूसरे दिन काम पर आया और कार्यालय में लगभग कोई भी मुझे एक अच्छा जवाब नहीं दे सका। मैं समीकरण का उपयोग कर एक सदस्य में कतरनी तनाव की गणना कर रहा था, और देखा, कि एक परिपत्र क्रॉस सेक्शन वाले शाफ्ट के लिए, ।$\frac{Tr}{J_T}$$J_T = I_P$

और दोनों का उपयोग किसी वस्तु की टॉर्सन का प्रतिरोध करने की क्षमता का वर्णन करने के लिए किया जाता है। को रूप में परिभाषित किया गया है, जहां = अक्ष पर रेडियल दूरी जिसके बारे में की गणना की जा रही है। लेकिन का कोई सटीक विश्लेषणात्मक समीकरण नहीं है और मोटे तौर पर अनुमानित समीकरणों के साथ इसकी गणना की जाती है, जिसका कोई संदर्भ नहीं है जिसे मैंने वास्तव में विस्तृत रूप से देखा था।$I_P$$J_T$$I_P$$\int_{A} \rho^2 dA$$\rho$$I_P$$J_T$

तो मेरा प्रश्न यह है कि जड़ता के ध्रुवीय , और अंतर स्थिरांक, क्या ? न केवल गणितीय, बल्कि व्यावहारिक रूप से। प्रत्येक भौतिक या ज्यामितीय संपत्ति किसका प्रतिनिधित्व है? गणना के लिए इतना कठिन क्यों है ?$I_P$$J_T$$J_T$

Answer 1

मरोड़ निरंतर समीकरण के माध्यम से लागू टॉर्क को ट्विस्ट के कोण से संबंधित करता है: जहां लागू टॉर्क है, सदस्य की लंबाई है, कतरनी में लोच का मापांक है , और एक स्थिरांक है।$J_T$

$$\phi = \frac{TL}{J_T G}$$ $T$$L$$G$$J_T$

दूसरी ओर जड़ता का ध्रुवीय क्षण, एक क्रॉस सेक्शन के प्रतिरोध का माप है, जो अपरिवर्तनीय क्रॉस सेक्शन के साथ मरोड़ और कोई महत्वपूर्ण युद्ध नहीं है ।

परिपत्र समरूपता के कारण मरोड़ के तहत एक परिपत्र छड़ का मामला विशेष है, जिसका अर्थ है कि यह ताना नहीं करता है और यह क्रॉस सेक्शन मरोड़ के तहत नहीं बदलता है। इसलिए ।$J_T = I_P$

जब किसी सदस्य के पास परिपत्र समरूपता नहीं होती है तो हम उम्मीद कर सकते हैं कि यह मरोड़ के तहत ताना होगा और इसलिए ।$J_T \neq I_P$

जो गणना करने की समस्या को छोड़ देता है । दुर्भाग्य से यह सीधा नहीं है, यही कारण है कि आम आकृतियों के लिए मूल्य (आमतौर पर अनुमानित) सारणीबद्ध होते हैं।$J_T$

टॉर्सनल स्थिरांक की गणना करने का एक तरीका प्रांटल स्ट्रेस फंक्शन का उपयोग करके होता है (दूसरा वारपिंग फ़ंक्शन का उपयोग करके होता है )।

बहुत अधिक विस्तार में जाने के बिना, एक Prandtl तनाव फ़ंक्शन चयन करना होगा जो सदस्य के भीतर तनाव वितरण का प्रतिनिधित्व करता है और सीमा की शर्तों (सामान्य रूप से आसान नहीं!) को संतुष्ट करता है। यह की संगतता के समीकरण को भी संतुष्ट करना चाहिए: जहाँ the प्रति इकाई लंबाई का कोण है।$\Phi$

$$\nabla^2 \Phi = -2 G \theta$$ $\theta$

यदि हमने तनाव फ़ंक्शन को चुना है ताकि सीमा (ट्रैक्शन फ्री बाउंड्री कंडीशन) पर हम पा सकते हैं: $\Phi = 0$

$$J_T = 2\int_A \frac{\Phi}{G\theta} dA$$

उदाहरण: परिपत्र क्रॉस सेक्शन की रॉड

एक गोलाकार क्रॉस सेक्शन की समरूपता के कारण हम ले सकते हैं: जहां R बाहरी त्रिज्या है। फिर हम मिलते हैं:

$$\Phi = \frac{G\theta}{2} (R^2-r^2)$$ $$J_T = 2\pi\int_0^R (R^2-r^2)rdr = \frac{\pi R^4}{2} = (I_P)_{circle}$$

उदाहरण: अण्डाकार क्रॉस सेक्शन की रॉड

$$\Phi = G\theta\frac{a^2 b^2}{a^2+b^2}\left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-1\right)$$ और जो निश्चित रूप से ध्रुवीय क्षण की जड़ता के बराबर नहीं है एक दीर्घवृत्त: $$J_T = \int_A \frac{a^2 b^2}{a^2+b^2}\left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-1\right)dA = \frac{\pi a^3 b^3}{a^2+b^2}$$ $$(I_P)_{ellipse} = \frac{1}{4}\pi a b(a^2+b^2) \neq (J_T)_{ellipse}$$

चूंकि सामान्य , यदि आपने बजाय जड़ता के ध्रुवीय क्षण का उपयोग किया है तो आप मोड़ के छोटे कोणों की गणना करेंगे।$J_T < I_P$

Answer 2

यह लगभग एक संयोग है, और यह केवल ठोस या खोखले परिपत्र क्रॉस सेक्शन के लिए सच है। बेशक , टॉर्शन ले जाने वाले शाफ्ट अक्सर उन परिपत्रों के लिए गोलाकार होते हैं , जो प्रश्न से स्वतंत्र होते हैं!

परिपत्र आकार की समरूपता के कारण एक गोलाकार शाफ्ट का मरोड़ शारीरिक रूप से सरल है। समरूपता द्वारा, किसी भी बिंदु पर तनाव और तनाव केवल शाफ्ट की केंद्र रेखा से रेडियल दूरी का एक कार्य हो सकता है। पाइथागोरस प्रमेय द्वारा, आप अक्षों की एक मनमानी जोड़ी ले सकते हैं और त्रिज्या को रूप में व्यक्त कर सकते हैं ।$r^2 = x^2 + y^2$

इस तथ्य का उपयोग करते हुए, आप क्रॉस सेक्शन पर इंटीग्रल को और दिशाओं में दो इंटीग्रल्स के योग में बदल सकते हैं , और फिर से समरूपता द्वारा उन दोनों इंटीग्रल्स को एक दूसरे के बराबर होना चाहिए।$x$$y$

इंटीग्रल का रूप बिल्कुल वैसा ही गणितीय रूप होता है जैसा कि एक गोलाकार बीम के दूसरे क्षण के क्षेत्र के लिए होता है, जिसके परिणामस्वरूप आप जिस परिणाम के बारे में पूछते हैं।

यह गैर-परिपत्र वर्गों के लिए काम नहीं करता है, क्योंकि तनाव वितरण रेडियल रूप से सममित नहीं है। उदाहरण के लिए यदि आप एक ठोस वर्ग खंड के मरोड़ स्थिर और ध्रुवीय क्षण की तुलना करते हैं, तो आप पाएंगे कि दो सूत्र में "स्थिरांक" अलग हैं। क्रॉस सेक्शन जितना अधिक एक सर्कल से विचलित होता है, उतना ही बड़ा अंतर होगा।

एक जटिल आकार वाले खंड (उदाहरण के लिए एक I- बीम) के लिए मरोड़ स्थिर की गणना कठिन है क्योंकि अनुभाग पर तनाव वितरण जटिल है, और इसके लिए कोई सरल "सूत्र" नहीं है जो आपको गणितीय रूप से एकीकृत करता है। इंजीनियरिंग हैंडबुक में मरोड़ के कई सूत्र "सटीक" गणितीय समाधानों के बजाय सरलीकृत मान्यताओं पर आधारित हैं।

लेकिन वास्तविक जीवन में "त्रुटियां" बहुत महत्वपूर्ण नहीं हैं, क्योंकि जब एक गैर-परिपत्र संरचना पर एक मरोड़ वाला भार लगाया जाता है, तो क्रॉस सेक्शन "ताना", यानी अब वे विमान नहीं रह जाते हैं । वास्तविक जीवन में, ताना-बाना की मात्रा अक्सर अज्ञात होती है, क्योंकि शाफ्ट के छोर पर संयम इसे प्रभावित करता है। यदि आपको वास्तव में एक गैर-परिपत्र घटक के मरोड़ की कठोरता का सटीक अनुमान लगाने की आवश्यकता है, तो आपको घटक का पूर्ण 3-डी मॉडल खुद बनाना होगा और यह कैसे संरचना के बाकी हिस्सों के लिए तय किया गया है। यदि आप उस स्तर के विवरण के साथ एक मॉडल बनाते हैं, तो एक संख्या के उत्तर को कम करने के लिए बहुत अधिक बिंदु नहीं है, इसलिए आप इसे "मरोड़ की कठोरता" कह सकते हैं।

Answer 3

जड़ता, ईपीआर का ध्रुवीय क्षण, ठोस के प्रतिरोध का मरोड़ है। हालांकि, जड़ता का घूर्णी द्रव्यमान क्षण, J, घूर्णन ठोस का जड़त्व क्षण है। इस वेब को देखें ।

जैसा कि मैं समझता हूं, जम्मू जड़ता के सामान्य क्षण के समान है, लेकिन वस्तुओं को घुमाने के लिए।

Comments

भ्रमित मत करो $I_{zz} = \int r^2 {\rm d}A$ साथ में $I_{zz} = \int r^2 {\rm d}m$। वह क्षेत्र के ध्रुवीय क्षण के बारे में पूछ रहा है , जड़ता के ध्रुवीय क्षण के बारे में नहीं ।

— 14:72 पर ja72