एक कदम समारोह के लिए एक प्रणाली का जवाब (Heaviside फ़ंक्शन)

मैं इलेक्ट्रिकल / थर्मल सिस्टम के एक चरण फ़ंक्शन की प्रतिक्रिया की गणना करना चाहता हूं। आमतौर पर मैं ट्रांसफर फंक्शन गणना "आसानी से" कर सकता हूं : $H$

H (ω) = \frac{V_{o u t} (ω)}{V_{i n} (ω)}

$H(\omega) = \frac{V_{out}(\omega)}{V_{in}(\omega)}$

चूंकि हैवीसाइड फ़ंक्शन का फूरियर ट्रांसफॉर्म ( ) है (WA के साथ गणना): $\mathcal{F}$

F (θ (t)) = V_{i n} (ω) = \sqrt{\frac{π}{2}} δ (ω) + \frac{i}{\sqrt{2 π} ω}

$\mathcal{F}(\theta(t)) = V_{in}(\omega) = \sqrt{\frac{\pi}{2}}\delta(\omega)+\frac{i}{\sqrt{2\pi}\omega}$

इसलिए, यह देखते हुए उलटा फूरियर परिणत: $\mathcal{IF}$

V_{o u t} (t) = I F {(\sqrt{\frac{π}{2}} δ (ω) + \frac{i}{\sqrt{2 π} ω}) H (ω)}

$V_{out}(t) = \mathcal{IF} \left\{ \left( \sqrt{\frac{\pi}{2}}\delta(\omega)+\frac{i}{\sqrt{2\pi}\omega} \right) H(\omega) \right\}$

अपने गणित की जाँच करने के लिए मैंने एक सरल RC सिस्टम के लिए प्रतिक्रिया की गणना करने की कोशिश की:

मुझे संधारित्र का प्रसिद्ध प्रभार प्राप्त करना चाहिए। हस्तांतरण समारोह:

H (ω) = \frac{1}{1 + i ω R C}

$H(\omega) = \frac{1}{1+i\omega R C}$

$\mathcal{IF}$ $R=C=1$

यह सही होगा यदि हम समय में पीछे जा रहे थे: /। तो सवाल है ... मैं क्या गलत कर रहा हूँ?

मैंने लैप्लस ट्रांसफ़ॉर्म का उपयोग करके भी ऐसा ही किया और सब कुछ ठीक काम करता है ... लेकिन मुझे समझ नहीं आता कि क्यों।

पुनश्च मैं एक और तरीका नहीं चाहता, मैं सिर्फ यह समझना चाहता हूं कि मेरे दृष्टिकोण में क्या गलत है।

PS का कारण यह है कि मैं WA का उपयोग कर रहा हूं, क्योंकि मेरी अधिक जटिल प्रणाली के लिए मुझे WA का उपयोग करके फूरियर रूपांतरण की गणना करने की आवश्यकता है।

— Worldsheep
स्रोत

यह वह उत्तर नहीं है जिसकी आप तलाश कर रहे हैं, लेकिन वस्तुतः किसी भी अंतरण समारोह के लिए असतत व्युत्क्रम लाप्लास ट्रांसफ़ॉर्म कैसे करें, पर यह लेख आपके लिए रुचि का हो सकता है।

— user5108_Dan

दिलचस्प लिंक के लिए धन्यवाद! मैं अब भी यह समझने की कोशिश कर रहा हूं कि लाप्लास ट्रांसफॉर्म की आवश्यकता क्यों है। या बेहतर, क्यों फूरियर ट्रांसफॉर्म काम नहीं करते ...

— Worldsheep

क्या आप लाप्लास ट्रांसफॉर्म से परिचित हैं? लाप्लास और फूरियर ट्रांसफॉर्म काफी समान हैं, लेकिन मैं सटीक अंतर का वर्णन करने के लिए एक अच्छा गणितज्ञ नहीं हूं। EE के आम तौर पर s डोमेन (लाप्लास ट्रांसफॉर्म) में काम करता है जो आपके H (w) समीकरण के समान होगा यदि आप jw को s से बदलें। साथ ही, यदि आप dsp.stackexchange.com साइट पर यह प्रश्न पोस्ट करते हैं, तो आपको बेहतर उत्तर मिलेगा। वे लोग इस सामान के लिए तैयार हैं।

— user5108_Dan

हाँ, मैंने देखा कि ईई हमेशा इन मामलों में लाप्लास के साथ काम करता है और जब मैंने कोशिश की है, तो यह ठीक काम किया! लेकिन सहज रूप से, मैं फूरियर का उपयोग करेगा। मैं आपकी सलाह पर अमल करूंगा और दूसरी साइट पर जाऊंगा!

— वर्सुशेप

इस सवाल का जवाब आप यहां पा सकते हैं: dsp.stackexchange.com/questions/27896/…

— Worldsheep

वुल्फ्राम अल्फा के उलट फूरियर ट्रांसफॉर्म को दूसरे फूरियर ट्रांसफॉर्म के रूप में लागू करने के कारण मुख्य कारण होने की संभावना है। वास्तव में, ऐसा करने से "समय खराब होता है" - जैसा कि गणितीय रूप से दिखाया जा सकता है :

$\mathcal{P}$ $\mathcal{P}[f(t)] ↦ f(−t)$

\begin{aligned} F^{0} & = I d, F^{1} = F, \\ F^{2} & = P, F^{4} = I d, \\ F^{3} & = F^{- 1} = P \circ F = F \circ P \end{aligned}

$\begin{align} \mathcal{F}^0 &= \mathrm{Id}, \quad \mathcal{F}^1 = \mathcal{F}, \\ \mathcal{F}^2 &= \mathcal{P}, \quad \mathcal{F}^4 = \mathrm{Id}, \\ \mathcal{F}^3 &= \mathcal{F}^{-1} = \mathcal{P} \circ \mathcal{F} = \mathcal{F} \circ \mathcal{P} \end{align}$

सिस्टम में 3 बार फूरियर रूपांतरण को लागू करने से आपको सामान्य समय में संस्करण मिल जाएगा। चूंकि तरंगें समय के अनुरूप हैं, इसलिए यह आम तौर पर कोई फर्क नहीं पड़ता।

— निशान
स्रोत