यदि जलाशय का तापमान स्थिर नहीं है, तो दबाव पोत की दीवार के माध्यम से गर्मी हस्तांतरण कैसे करें

मेरे पास 3,000 K पर गैस के साथ एक बंद सिलेंडर है।

मैं सिलेंडर की दीवार के माध्यम से तापमान प्रोफ़ाइल (समय के साथ) खोजना चाहता हूं, जैसा कि नीचे दिखाया गया है।

मेरे मामले में, हालांकि, 3,000 कश्मीर समय लेकिन सिलेंडर दीवार के माध्यम से गर्मी हस्तांतरण के कारण परिवर्तन (ठंडा) से अधिक पर तय रहने नहीं देता है। $T_\infty$

दुर्भाग्य से मुझे पाठ्यपुस्तकों में किसी भी तरह की हल की हुई समस्या नहीं मिली, क्योंकि कोई भी मौजूदा हल समस्या गैस के थोक के अंदर तापमान को स्थिर मानती है।

मैं इस समस्या का मॉडल कैसे बना सकता हूं?

mechanical-engineering thermodynamics heat-transfer

— डेविड
स्रोत

ऐसा लगता है कि आपको इन तापमान प्रोफाइल को प्राप्त करने के लिए संवहन सीमा स्थिति के साथ गर्मी समीकरण को हल करने की आवश्यकता होगी।

— पॉल

यदि आप अपनी प्रारंभिक और सीमा स्थितियों को और अधिक पूरी तरह से बता सकते हैं तो यह उपयोगी होगा। इस तरह की कई समस्याओं के लिए विश्लेषणात्मक समाधान हैं, लेकिन मैं यह नहीं कह सकता कि यदि कोई हो, तो बिना बारीकियों को जाने।

— दान

शायद मेरे इस सवाल का जवाब मदद करेगा। यह एक समग्र सामग्री के बारे में है, लेकिन समीकरण आपके मामले में अलग नहीं हैं। विशेष रूप से एक समग्र सामग्री की जाँच करते हुए , यह एक कार्यशील पाइथन लिपि भी प्रदान करता है :)

— 21

मुझे पूरा समाधान नहीं पता है, लेकिन मैं आपको एक ऐसा रास्ता दिखा सकता हूं, जिसमें आप जा सकते हैं।

जैसा कि @nluigi ने अपनी टिप्पणी में बताया, आपकी समस्या के गवर्निंग समीकरणों को दो 1-डी सामग्रियों के बीच मॉडलिंग क्षणिक गर्मी हस्तांतरण में दिया गया है :

\frac{\partial T}{\partial t} = α \frac{\partial^{2} T}{\partial x^{2}}

$\frac{\partial T}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}$

$T$ $\alpha=\frac{k}{\rho \, c_P}$ $t$ $x$ $k$ $\rho$ $c_P$

इस विभेदक समीकरण का मूलभूत हल द्वारा दिया गया है

H (x, t) = \frac{1}{(4 π α t)^{\frac{n}{2}}} \exp (- \frac{| x |^{2}}{4 α t})

$H(x,t) = \frac{1}{(4 \pi \alpha t)^{\frac{n}{2}}} \, \exp \left( - \frac{|x|^2}{4 \alpha t} \right)$

$n$ $x$ $|x|^2 = \sum_{i=1}^n x_i^2$ $x_i$ $x$ $x$ $n=1$ $n=2$ $n=3$ )।

एक आयामी समस्या के लिए एक उदाहरण एक दीवार के माध्यम से गर्मी हस्तांतरण है। आपकी समस्या (लगभग) द्वि-आयामी है। एक तीन आयामी समस्या एक बड़े कमरे के भीतर एक गर्म या ठंडा क्षेत्र होगा।

किसी विशिष्ट समस्या के समाधान की गणना करने के लिए, आपको प्रारंभिक शर्तों की आवश्यकता है, जैसा कि दिया गया है

T (x, t = 0) = T_{0} (x)

$T(x,t=0) = T_0(x)$

और मौलिक समाधान और प्रारंभिक स्थितियों के बीच दृढ़ संकल्प की गणना करें:

T (x, t) = (H * T_{0}) (x, t) = \int_{R^{n}} H (x - y, t) T_{0} (y) d y T (x, t) = \frac{1}{(4 π α t)^{\frac{n}{2}}} \int_{R^{n}} \exp (- \frac{| x - y |^{2}}{4 α t}) T_{0} (y) d y

$T(x,t) = (H * T_0) (x,t) = \int\limits_{{\mathbb R}^n} H(x-y,t) \, T_0(y) \, \mathrm{d}y \\ T(x,t) = \frac{1}{(4 \pi \alpha t)^{\frac{n}{2}}} \int\limits_{{\mathbb R}^n} \exp \left( - \frac{|x-y|^2}{4 \alpha t} \right) T_0(y) \, \mathrm{d}y$

जब मैं आपकी समस्या को सही ढंग से समझूंगा, तो आप उपयोग कर सकते हैं

T_{0} (x) = {\begin{cases} T_{I} & for | x | < x_{B} \\ 0 & otherwise \end{cases}

$T_0(x) = \left\{ \begin{array}{ll} T_I & \mbox{for } |x| < x_B \\ 0 & \mbox{otherwise} \end{array}\right.$

$T_I$ $x_B$ $T_I=1$ $T_I$

मुझे हाल ही में एक आयामी समस्या थी, और यह अभी भी कुछ प्रयास के साथ संभाला जा सकता है:

T (x, t) = \frac{1}{\sqrt{4 π α t}} \int_{- \infty}^{+ \infty} \exp (- \frac{| x - y |^{2}}{4 α t}) T_{0} (y) d y = \frac{T_{I}}{\sqrt{4 π α t}} \int_{- x_{B}}^{+ x_{B}} \exp (- \frac{| x - y |^{2}}{4 α t}) d y = \frac{T_{I}}{2} (e r f (\frac{x + x_{B}}{\sqrt{4 α t}}) - e r f (\frac{x - x_{B}}{\sqrt{4 α t}}))

$T(x,t) = \frac{1}{\sqrt{4 \pi \alpha t}} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \exp \left( - \frac{|x-y|^2}{4 \alpha t} \right) T_0(y) \, \mathrm{d}y \\ = \frac{T_I}{\sqrt{4 \pi \alpha t}} \int\limits_{-x_B}^{+x_B} \exp \left( - \frac{|x-y|^2}{4 \alpha t} \right) \, \mathrm{d}y \\ = \frac{T_I}{2} \left( \mathrm{erf} \left( \frac{x+x_B}{\sqrt{4 \alpha t}} \right) - \mathrm{erf} \left( \frac{x-x_B}{\sqrt{4 \alpha t}} \right) \right)$

$\mathrm{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int\limits_0^x \exp\left( -t^2 \right) \, \mathrm{d}t$

$\alpha=1$ $T_I=1$ $x_B=1$ $t$

हालांकि, ऊपर दी गई प्रारंभिक स्थितियों के उच्च आयामों के लिए, समीकरण को गोलाकार निर्देशांक में बदलना होगा। दो आयामों के लिए आपको मिलता है

T (x, t) = \frac{1}{4 π α t} \int_{R^{2}} \exp (- \frac{| x - y |^{2}}{4 α t}) T_{0} (y) d y \Rightarrow T (x, t) = \frac{T_{I}}{4 π α t} \int_{0}^{r_{B}} (\int_{0}^{2 π} \exp (- \frac{| x - y |^{2}}{4 α t}) d φ (y)) r (y) d r (y)

$T(x,t) = \frac{1}{4 \pi \alpha t} \int\limits_{{\mathbb R}^2} \exp \left( - \frac{|x-y|^2}{4 \alpha t} \right) T_0(y) \, \mathrm{d}y \\ \Rightarrow\quad T(x,t) = \frac{T_I}{4 \pi \alpha t} \int\limits_{0}^{r_B} \left( \int\limits_0^{2\pi} \exp \left( - \frac{|x-y|^2}{4 \alpha t} \right) \, \mathrm{d}\varphi(y) \right) r(y) \, \mathrm{d}r(y)$

मूल्यांकन करने की कोशिश करते समय (कम से कम मुझे) काफी सिरदर्द देना। शायद बाहर किसी को पता है क्या

\int_{0}^{2 π} \exp (- | x - y |^{2}) d φ (y)

$\int\limits_0^{2\pi} \exp \left( - |x-y|^2 \right) \, \mathrm{d}\varphi(y)$

मूल्यांकन करता है, लेकिन मैं वर्तमान में नहीं है। संभवतः दो आयामों में अभिन्न अभिन्नता का मूल्यांकन करने के लिए बहुत क्लीनर दृष्टिकोण भी है।

— रोबिन
स्रोत

आप शायद इस पुस्तक में 2 डी और 3 डी समाधान पा सकते हैं: क्रैंक जे (1956) गणित का प्रसार। ऑक्सफोर्ड यूनिवर्सिटी प्रेस, लंदन

— रॉबिन