एक (सरलीकृत) लोडिंग ब्रिज के विभेदक समीकरण

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मुझे सरलीकृत लोडिंग ब्रिज के अंतर समीकरणों की गणना करने में परेशानी हो रही है।

सिस्टम का निर्माण नीचे चित्र में दिखाया गया है (बस एक स्केच):

यदि मैं न्यूटन दृष्टिकोण का उपयोग करता हूं, तो मैं घर्षण, वायु प्रतिरोध और रस्सी की लंबाई में परिवर्तन की उपेक्षा करके निम्नलिखित समीकरण प्राप्त कर रहा हूं:

m_{k} {\ddot{x}}_{k} = F_{A} + F_{S} \sin (φ) m_{G} {\ddot{x}}_{G} = - F_{S} \sin (φ) m_{G} {\ddot{z}}_{G} = m_{G} g - F_{S} \cos (φ)

$m_k \ddot{x}_{k} = F_{A} + F_{S} \sin(\varphi) \\ m_G \ddot{x}_{G} = -F_{S} \sin(\varphi) \\ m_G \ddot{z}_{G} = m_{G} g - F_{S} \cos(\varphi)$

जब मैं ग्रिपर (वजन साथ सर्कल ) से गतिज संबंधों को देखता हूं तो मुझे निम्नलिखित समीकरण मिलते हैं। $m_G$

x_{G} = x_{k} + l \sin (φ) z_{G} = l \cos (φ) φ = ω t = \dot{φ} t

$x_{G} = x_{k} + l \sin(\varphi) \\ z_{G} = l \cos(\varphi)\\ \varphi = \omega t = \dot{\varphi} t$

मुझे पता है कि वज़न और और लंबाई लेकिन अभी मूल्य महत्वपूर्ण नहीं हैं। $m_k$ $m_G$ $l$

लक्ष्य के अंत में दो अंतर समीकरण हैं। एक समीकरण प्रेरणा शक्ति के बीच संबंध दिखाऊंगा और के रास्ते ट्रॉली (derivations के साथ) अन्य समीकरण प्रेरणा शक्ति के बीच संबंध दिखाऊंगा और रस्सी के कोण । $F_A$ $x_k$ $F_A$ $\varphi_G$

उसके बाद मैं ट्रांसफ़र फ़ंक्शंस (लाप्लास ट्रांसफ़ॉर्मेशन आदि) करना चाहता हूं, लेकिन यह समस्या नहीं है।

समस्या यह है कि मैं उन समीकरणों को खोजने के लिए प्रतीत नहीं हो सकता। मेरा सबसे अच्छा तरीका अब तक इस तरह दिखता है:

m_{k} {\ddot{x}}_{k} = F_{A} + F_{S} \sin (φ)

$m_{k} \ddot{x}_{k} = F_{A} + F_{S} \sin(\varphi)$

तो इसका मतलब है कि अगर

m_{G} {\ddot{x}}_{G} = - F_{S} \sin (φ) F_{S} \sin (φ) = - m_{G} {\ddot{x}}_{G}

$m_G \ddot{x}_{G} = -F_{S} \sin(\varphi) \\ F_{S} \sin(\varphi) = -m_{G} \ddot{x}_{G} \\$

मैं कह सकता हूं:

m_{k} {\ddot{x}}_{k} = F_{A} - m_{G} {\ddot{x}}_{G}

$m_{k} \ddot{x}_{k} = F_{A} - m_{G} \ddot{x}_{G} \\$

और अगर मैं को इस तरह से प्राप्त करता हूं : $x_{G}$

x_{G} = x_{k} + l \sin (φ) {\dot{x}}_{G} = {\dot{x}}_{k} + l \dot{φ} \cos (φ) {\ddot{x}}_{G} = {\ddot{x}}_{k} + l [\ddot{φ} \cos (φ) - {\dot{φ}}^{2} \sin (φ)]

$x_{G} = x_{k} + l \sin(\varphi) \\ \dot{x}_{G} = \dot{x}_{k} + l \dot{\varphi} \cos(\varphi) \\ \ddot{x}_{G} = \ddot{x}_{k} + l \left[ \ddot{\varphi} \cos(\varphi) - \dot{\varphi}^{2} \sin(\varphi) \right]$

मैं वास्तव में क्योंकि मैं खत्म करने के लिए एक तरह से नहीं मिल सकता है यहाँ अटक हो रही है समीकरणों से। इसके अलावा प्रमेय मेरी मदद नहीं कर रहे हैं (या मैं उन्हें सही ढंग से उपयोग कर रहा हूं)। $\varphi$

क्या किसी को इस बात का अंदाजा है कि मुझे इस बिंदु पर कैसे जारी रखना चाहिए? मुझे आशा है कि मुझे पूर्ण समाधान की आवश्यकता नहीं है। मैं वास्तव में खुद ऐसा करने में अधिक रुचि रखता हूं और सही दिशा की ओर एक धक्का मिलने की उम्मीद करता हूं।

— TLP
स्रोत

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मेरा अनुमान है कि आपको कोणीय आंदोलन के लिए संभवतः एक और अंतर समीकरण की आवश्यकता होगी, जिसमें जड़ता शामिल होगी, जैसे:

m_{G} l^{2} \ddot{φ} = m_{G} g l \sin (φ)

$m_G l^2 \ddot{\varphi} = m_G g l \sin(\varphi)$

कौन सी पैदावार:

\ddot{φ} = \frac{g}{l} \sin (φ)

$\ddot{\varphi} = \frac{g}{l} \sin(\varphi)$

फिर आप छोटे कोणों का उपयोग कर सकते हैं:

\sin (φ) ≃ φ

$\sin(\varphi) \simeq \varphi$

की जाँच करें औंधा पेंडुलम उदाहरण।

— am304
स्रोत

विशेष रूप से उलटा पेंडुलम बहुत उपयोगी है ... इसके लिए धन्यवाद - मैंने उस बारे में नहीं सोचा था

— tlp

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कीनेमेटीक्स और गतिशीलता

वे इस प्रकृति की समस्याओं को हल करने के लिए कदम हैं।

प्रणाली के कीनेमेटीक्स की व्याख्या करें।

$\hspace{5.em}$ = + $_{o}\vec{r}_{OP}$ $_{o}\vec{r}_{OR}$ $_{o}\vec{r}_{RP}$

$\hspace{5.em}$ = + $_{o}\vec{r}_{OP}$ $_{o}\vec{r}_{OR}$ $R(\varphi) _{B}\vec{r}_{RP}$

$\hspace{5.em}$ = + $_{o}\vec{r}_{OP}$ $\big(x_{k}î + 0j + 0k \big)$ $\big(\sin(\varphi)l î + 0j + \cos(\varphi)lk\big)$

$\hspace{5.em}$ = $_{o}\vec{r}_{OP}$ $\big[\big(x_{k}+\sin(\varphi)l\big)î + 0j + \big(\cos(\varphi)l\big)k\big]$

ध्यान दें: एक है रोटेशन मैट्रिक्स और । $R(\varphi)$ $x_{G} = x_{k}+\sin(\varphi)l$

समय निकालने के लिए:

$\hspace{5.em}$ = $\dot{x_{G}}$ $\dot{x_{k}}+\cos(\varphi)\dot{\varphi}l$

$\hspace{5.em}$ = $\ddot{x_{G}}$ $\ddot{x_{k}} + l\cos(\varphi)\ddot{\varphi} - l\sin(\varphi)\dot{\varphi}^{2}$

न्यूटन के समीकरण का उपयोग करें:

$\hspace{5.em}$ $m_{k}\ddot{x_{k}} = F_{A} - m_{G}\ddot{x_{G}}$

स्थानापन्न : $x_{G}$

$\hspace{5.em}$ $m_{k}\ddot{x_{k}} = F_{A} - m_{G}\big(\ddot{x_{k}} + l\cos(\varphi)\ddot{\varphi} - l\sin(\varphi)\dot{\varphi}^{2}\big)$

$\hspace{5.em}$ $\big(m_{k}+m_{G}\big)\ddot{x_{k}} + m_{G}\big(l\cos(\varphi)\ddot{\varphi}\big) - m_{G}\big(l\sin(\varphi)\dot{\varphi}^{2}\big)= F_{A}$

Z अक्ष के लिए:

$\hspace{5.em}$ $F_{Z}$ $m_{G}g-l\big(\cos(\varphi)\dot{\varphi}^{2}+\sin(\varphi)\ddot{\varphi}\big)$

रोटेशन के लिए न्यूटन के दूसरे नियम का उपयोग करें:

$\hspace{5.em}$ $I\ddot{\varphi}$ $F_{Z}l\sin(\varphi)-\big(m_{G}\ddot{x_{G}}\big)l\cos(\varphi)$

$F_{Z}l\sin(\varphi) = m_{G}gl\sin(\varphi)-l^{2}\big(\cos(\varphi)\sin(\varphi)\dot{\varphi}^{2}+\sin(\varphi)^{2}\ddot{\varphi}\big)$

$\big(m_{G}\ddot{x_{G}}\big)l\cos(\varphi) = m_{G}\big(l^{2}\cos(\varphi)^{2}\ddot{\varphi}\big) - m_{G}\big(l^{2}\cos(\varphi)\sin(\varphi)\dot{\varphi}^{2}\big)+m_{G}\ddot{x_{K}}l\cos(\varphi)$

त्रिकोणमिति पहचान का उपयोग करना:

$\hspace{5.em}$ $\big(I+m_{G}l^{2}\big)\ddot{\varphi}$ $m_{G}gl\sin(\varphi)-m_{k}l\cos(\varphi)\ddot{x_{k}}$

$\ddot\smile$

— leCrazyEngineer
स्रोत