मैं एक इष्टतम नियंत्रण समस्या को कैसे हल कर सकता हूं जहां गति का नियम राज्य वेक्टर के कुछ कार्य पर निर्भर करता है?

स्टेट वेक्टर x (t) और कंट्रोल वेक्टर y (t) के साथ एक विशिष्ट इष्टतम नियंत्रण समस्या को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

max_{x (t), y (t)} \int_{0}^{t_{1}} f (t, x (t), y (t)) d t

$\max_{x(t), y(t)} \int_0^{t_1} f(t,x(t), y(t)) dt$

के अधीन $x'(t)= g(t, x(t), y(t))$ और के लिए सीमा की स्थिति $x$ ।

मैं एक समस्या को हल करना चाहता हूं जो बहुत समान है, लेकिन नियंत्रण की गति का नियम है:

x^{'} (t) = g (t, x (t), y (t), z (x (t)))

$x'(t)= g(t, x(t), y(t), z(x(t)) )$

यहां, $z(.)$ को चुना जाना चाहिए। लेकिन इसका तर्क राज्य है।

मैं यह भी नहीं जानता कि समाधान की तलाश कहाँ से शुरू करूँ। मैं इस समस्या से कैसे संपर्क कर सकता हूं?

control-engineering control-theory optimal-control

— डैनियल विल्स
स्रोत

मुझे लगता है कि यह लिखने का सही तरीका है

x^{'} (t) = g (t, x (t), y (t), z (x (t))

$x'(t) = g(t,x(t), y(t), z(x(t))$ । मैं मूल प्रश्न को सही करूंगा।

— डैनियल विल्स

इंजीनियरिंग में आपका स्वागत है। एक पहले पहले प्रश्न के लिए +1।

— क्रिस मुलर

क्या आप एक बंद-फॉर्म या औपचारिक समाधान की तलाश कर रहे हैं, या आप व्यावहारिक अनुकूलन के बारे में पूछ रहे हैं? पूर्व मामले में आपको math.stackexchange.com जैसी साइट पर यह पूछना चाहिए । बाद के मामले में व्यावहारिक अनुकूलन के लिए समर्पित विषयों की एक श्रृंखला है। या तो मामले में आपको वास्तविक उत्तर प्राप्त करने के लिए अधिक विवरण प्रदान करने की आवश्यकता है।

— फीटवेट

मैं व्यावहारिक अनुकूलन की तलाश कर रहा हूं। अधिक विवरण: नियंत्रण चर का एक सबसेट पर निर्भर करता (जिसे मैं कह रहा हूं ), और नियंत्रण चर का एक उप पर निर्भर करता है (जिसे मैं कह रहा हूं )। इसके अतिरिक्त मुझे फ़ंक्शन चुनने की आवश्यकता है । अधिकतमकरण एक प्रतिबंध अधीन है इसलिए इसे हल करने का एक सहज तरीका है: - अनुमान - (अब मानक) इष्टतम नियंत्रण समस्या ( दिए गए ) - जांच करें कि , यदि नहीं, तो दूसरे अनुमान लगाएं, लेकिन आप देखते हैं कि एल्गोरिथ्म का कोई कारण नहीं होगा। लोग इसे कैसे हल करते हैं?

t

$t$

y

$y$

x

$x$

z

$z$

x (t)

$x(t)$

h (z (x (t)), y (t)) = 0

$h(z(x(t)), y(t)) =0$

x (t)

$x(t)$

x (t)

$x(t)$

h (z (x (t)), y (t)) = 0

$h(z(x(t)), y(t)) =0$

x (t)

$x(t)$

— डैनियल विल्स

जवाबों:

क्यों होता बाहरी दोनों ही हो की जरूरत ? $z$ $g$

g^{'} (t, x (t), y (t)) = g (t, x (t), y (t), z (x (t)))

$g'(t,x(t),y(t))=g(t,x(t),y(t),z(x(t)))$

अब रूप में उपयोग करें $g'$ $g$

$g$ कोई भी मनमाना कार्य हो सकता है, इसलिए किसी भी फ़ंक्शन को केवल में शामिल किया जा सकता है । $z$ $g$

अपने प्रतिबंध के बारे में टिप्पणी अनुभाग में उल्लेख किया है। लागत नियंत्रण के माध्यम से नियंत्रण इनपुट पर कोई प्रतिबंध लागू किया जा सकता है: $h$

f_{n e w} (t, x (t), y (t)) = f_{o l d} (t, x (t), y (t)) - C h (x (t), y (t))^{2}

$f_{new}(t,x(t),y(t))=f_{old}(t,x(t),y(t))-C\,h(x(t),y(t))^2$

जहाँ पर्याप्त रूप से मान की गारंटी के लिए पर्याप्त रूप से बड़ा है, लेकिन शून्य से इतना बड़ा नहीं है कि में संख्यात्मक त्रुटियाँ मूल पर हावी हों । $C$ $h$ $h$ $f$

— पोरौटी
स्रोत

आप समस्या के विवेकाधिकार का उपयोग बिंदुओं में कर सकते हैं , जैसे कि आपको केवल सीमित परिमाण निर्धारित करना होगा (यह मानते हुए कि और कुछ निरंतर कार्य हैं)। व्युत्पन्न और एकीकरण के लिए आप यूलर विधि का उपयोग कर सकते हैं, उच्च आदेश विधियों का उपयोग किया जा सकता है, लेकिन समस्या को हल करने के लिए कठिन बना सकते हैं। $N$ $f$ $g$

सुधार देता है:

h = \frac{t_{1}}{N - 1}, \vec{x} = [x_{1}, x_{2}, \dots, x_{N}], \vec{y} = [y_{1}, y_{2}, \dots, y_{N}],

$h = \frac{t_1}{N-1}, \quad \vec{x} = [x_1, x_2, \dots, x_N], \quad \vec{y} = [y_1, y_2, \dots, y_N],$

\begin{aligned} max_{\vec{x}, \vec{y}} & \sum_{n = 1}^{N - 1} f (h (n - 1), x_{n}, y_{n}) h \\ s . t . & x_{n + 1} = x_{n} + g (h (n - 1), x_{n}, y_{n}) h, & n = 1, 2, \dots, N - 1 \end{aligned}

$\begin{align} \max_{\vec{x}, \vec{y}} & & \sum_{n=1}^{N-1} f(h (n-1), x_n, y_n) h\\ s.t. & & x_{n+1} = x_n + g(h (n-1), x_n, y_n) h, & & n = 1, 2, \dots, N-1 \end{align}$

आपको अनुकूलन समस्या की समानता की बाधाओं के लिए सीमा बाधाओं को भी जोड़ना होगा। आप इस समस्या को हल करने के लिए कई अलग-अलग तरीकों का उपयोग कर सकते हैं, उदाहरण के लिए यदि आपके पास मतलब की पहुंच है, तो आप fmincon का उपयोग कर सकते हैं , जो लागत फ़ंक्शन को कम करता है जिसे योग के सामने माइनस साइन जोड़कर ठीक किया जा सकता है। अक्सर आपको एक प्रारंभिक अनुमान भी प्रदान करना पड़ता है, जो समाधान को भी प्रभावित कर सकता है, क्योंकि विभिन्न अनुमान अलग-अलग स्थानीय मैक्सीमा में परिवर्तित हो सकते हैं। बढ़ाने से आपको अधिक से अधिक सटीक समाधान मिलना चाहिए, लेकिन इसे हल करने में अधिक समय लगेगा। यदि आप कम अंकों के साथ किसी समस्या के समाधान का उपयोग करते हैं और उन्हें प्रक्षेपित करते हैं और फिर बड़ी संख्या में अंकों की समस्या के लिए प्रारंभिक अनुमान के रूप में उपयोग करते हैं तो यह तेजी से परिवर्तित हो सकता है। $N$

— fibonatic
स्रोत