नवियर-स्टोक्स समीकरणों में चिपचिपा तनाव टेंसर में दूसरे शब्द की भौतिक व्याख्या क्या है?

मैं थोड़ी देर के लिए इस जवाब के लिए खोज रहा हूँ। मैंने कई ग्रंथों को पढ़ा है और यहां तक कि ऑनलाइन कुछ व्याख्यान भी देखे हैं, लेकिन अक्सर यह कभी नहीं समझाया जाता है और बस दिया जाता है। नवियर-स्टोक्स समीकरणों में चिपचिपा तनाव शब्द जैसा दिखता है

\nabla \cdot τ = \nabla \cdot μ (\nabla \vec{यू} + (\nabla \vec{यू})^{टी})

$\begin{equation} \nabla \cdot \tau = \nabla \cdot \mu \left(\nabla\vec{u} + (\nabla\vec{u})^T\right) \end{equation}$

अब अवधि समझने के लिए के रूप में यह सिर्फ वेग प्रसार है आसान पर्याप्त है, लेकिन मैं एक कठिन समय अवधि की एक भौतिक व्याख्या के साथ आ है । इस शब्द का विस्तार करने के बाद मैंने इसे समाप्त कर दिया $\nabla \cdot \mu \nabla\vec{u}$ $\nabla \cdot \mu (\nabla\vec{u})^T$

\nabla \cdot μ (\nabla \vec{यू})^{टी} = (\begin{matrix} \frac{\partial}{\partial एक्स} \nabla \cdot \vec{यू} \\ \frac{\partial}{\partial y} \nabla \cdot \vec{यू} \\ \frac{\partial}{\partial z} \nabla \cdot \vec{यू} \end{matrix})

$\begin{equation} \nabla \cdot \mu (\nabla\vec{u})^T = \begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial x} \nabla \cdot \vec{u} \\ \frac{\partial}{\partial y} \nabla \cdot \vec{u} \\ \frac{\partial}{\partial z} \nabla \cdot \vec{u} \end{pmatrix} \end{equation}$

जिसका अर्थ है कि यह प्रभाव एक विचलन-रहित वेग क्षेत्र में मौजूद नहीं है, लेकिन मैं अभी भी इस शब्द के बारे में कोई भौतिक अंतर्ज्ञान नहीं पा सकता हूं या नहीं पा सकता हूं। क्या कोई समझता है कि यह शब्द शारीरिक रूप से क्या दर्शाता है?

mechanical-engineering fluid-dynamics fluid-mechanics

— एडम ओ ब्रायन
स्रोत

जोड़: आप सही हैं कि यह शब्द असंगत प्रवाह में अनुपस्थित है। ऐसा लगता है कि यह घनत्व में ग्रेडिएंट्स के कारण गति को ध्यान में रखता है। तरल पदार्थ के दो आसन्न पार्सल में एक ही वेग हो सकता है लेकिन अलग-अलग गति, उनके बीच कोई कतरनी तनाव नहीं है, लेकिन गति फैल जाएगी।

— दान

यह प्रश्न इंजीनियरिंग के लिए विषय पर है। मैंने इस प्रश्न के लिए अन्य साइटों का सुझाव देते हुए कई टिप्पणियां निकाली हैं। भाग में समीकरण के एक लागू समझ के लिए पूछने के कारण लेकिन यह भी निरंतरता यांत्रिकी का एक हिस्सा है। कृपया याद रखें कि आपकी साइट से थोड़ा ईर्ष्या होना

संबंधित मेटा चर्चा: meta.engineering.stackexchange.com/questions/266/…

एक शून्य-शून्य घनत्व ढाल के कारण मौजूद होने वाली गति के बारे में बात एक अच्छी थी। आपकी प्रतिक्रियाओं के लिए आप सबका शुक्रिया!

— एडम ओ'ब्रायन

जवाबों:

आपको शारीरिक व्याख्या के लिए उन दो शब्दों को अलग नहीं करना चाहिए। अवधि है तनाव दर टेन्सर । गति प्रवाह (या तनाव) तथ्य यह है कि हम एक बह द्रव पूरे अवधि द्वारा के लिए जिम्मेदार है की वजह से $\nabla\vec{u}+\left(\nabla\vec{u}\right)^T$ $\dot{\gamma}$ $\mu\left(\nabla\vec{u}+\left(\nabla\vec{u}\right)^T\right)$ । NS समीकरण में दोनों शब्दों को बल घनत्व (बल प्रति इकाई आयतन) माना जा सकता है। आप सही कह रहे हैं, कि असंगत प्रवाह के लिए दूसरा शब्द शून्य है ( यहाँ देखें )।

अद्यतन: तनाव दर टेंसर की पूर्ण व्युत्पत्ति जटिल है और यह यहां दायरे से बाहर हो सकता है। यदि आप रुचि रखते हैं तो मैंने पाया है कि एक अच्छा संसाधन व्हिटैकर द्वारा फ्लुइड मैकेनिक्स का परिचय है। संक्षेप में, की सुविधा देता है स्वीकार करते हैं कि टेन्सर तनाव दर और ठोस घूर्णी गति की तरह प्रतिनिधित्व करता है। किसी भी टेन्सर निम्नलिखित रास्ते में विघटित किया जा सकता: $\nabla \vec{u}$

\nabla \vec{यू} = \frac{1}{2} (\nabla \vec{यू} + {(\nabla \vec{यू})}^{टी}) + \frac{1}{2} (\nabla \vec{यू} - {(\nabla \vec{यू})}^{टी})

$\nabla \vec{u} = \frac{1}{2}\left(\nabla\vec{u}+\left(\nabla\vec{u}\right)^T\right)+\frac{1}{2}\left(\nabla\vec{u}-\left(\nabla\vec{u}\right)^T\right)$ पहले कार्यकाल में आम तौर पर तनाव दर टेन्सर कहा जाता है, सममित है, और यह दिखाया जा सकता है कि यह कोई कठोर घूर्णी गति भी शामिल है। दूसरे शब्द को आमतौर पर vorticity टेंसर कहा जाता है, यह तिरछा सममित है, और यह दिखाया जा सकता है कि यह तनाव की दर में योगदान नहीं करता है और यह घूर्णी गति की तरह कठोर का प्रतिनिधित्व करता है।

— सलोमन तुर्गमैन
स्रोत

यह वही है जो मैंने इसे देखा था, लेकिन मैं एक उत्तर देने से पहले तनाव दर टेंसर की व्युत्पत्ति की तरह कुछ खोजने की कोशिश कर रहा था, यह समझने के लिए कि इसमें नियमित और स्थानांतरित मैट्रिक्स शामिल हैं।

— ट्रेवर आर्चीबाल्ड

धन्यवाद, मैं आपके द्वारा सुझाए गए ज्यामिति से तनाव-दर टैंसर व्युत्पत्ति के माध्यम से चला गया, और इससे मुझे बहुत मदद मिली।

— एडम ओ'ब्रायन

मैं @sturgman से सहमत हूं कि किसी को अलग-अलग हिस्सों को नहीं देखना चाहिए, लेकिन इसे ints के संदर्भ में समझने की कोशिश करनी चाहिए।

नवियर-स्टोक्स-समीकरण ( आइंस्टीन-संकेतन का उपयोग करके ) के बहुत मूल संस्करण को देखते हुए :

ρ \frac{डी {यू}_{मैं}}{डी टी} = ρ क_{मैं} + \frac{\partial}{\partial {एक्स}_{मैं}} (- पी + λ^{*} \frac{\partial {यू}_{क}}{\partial {एक्स}_{क}}) + \underset{\nabla \cdot (η [(\nabla \vec{यू}) + (\nabla \vec{यू})^{टी}])}{\underset{⏟}{\frac{\partial}{\partial {एक्स}_{जे}} (η [\frac{\partial {यू}_{मैं}}{\partial {एक्स}_{जे}} + \frac{\partial {यू}_{जे}}{\partial {एक्स}_{मैं}}])}}

$\rho\frac{\mathrm{D}u_i}{\mathrm{D}t} = \rho k_i + \frac{\partial}{\partial x_i} \left( -p + \lambda^*\frac{\partial u_k}{\partial x_k}\right) + \underbrace{\frac{\partial}{\partial x_j} \left( \eta \left[ \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right] \right)}_{\nabla \,\cdot\, (\eta \, \left[ (\nabla\vec{u})+(\nabla\vec{u})^\mathrm{T}\right])}$

इसके मूल में नीचे का हिस्सा फिर से लिखा जा सकता है।

\frac{\partial}{\partial {एक्स}_{जे}} (η [\frac{\partial {यू}_{मैं}}{\partial {एक्स}_{जे}} + \frac{\partial {यू}_{जे}}{\partial {एक्स}_{मैं}}]) = η (\frac{\partial^{2} {यू}_{मैं}}{\partial {एक्स}_{जे} \partial {एक्स}_{जे}} + \frac{\partial}{\partial {एक्स}_{मैं}} [\frac{\partial {यू}_{क}}{\partial {एक्स}_{क}}])

$\frac{\partial}{\partial x_j} \left( \eta \left[ \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right] \right) = \eta \left( \frac{\partial^2u_i}{\partial x_j \partial x_j} + \frac{\partial}{\partial x_i}\left[\frac{\partial u_k}{\partial{x_k}} \right]\right)$

जिससे होता है:

ρ \frac{डी {यू}_{मैं}}{डी टी} = \underset{मैं}{\underset{⏟}{ρ क_{मैं}}} - \underset{द्वितीय}{\underset{⏟}{\frac{\partial पी}{\partial {एक्स}_{मैं}}}} + \underset{तृतीय}{\underset{⏟}{(λ^{*} + η) \frac{\partial}{\partial {एक्स}_{मैं}} [\frac{\partial {यू}_{क}}{\partial {एक्स}_{क}}]}} + \underset{चतुर्थ}{\underset{⏟}{η [\frac{\partial^{2} {यू}_{मैं}}{\partial {एक्स}_{जे} \partial {एक्स}_{जे}}]}}

$\rho\frac{\mathrm{D}u_i}{\mathrm{D}t} = \underbrace{\rho k_i}_{\text{I}} - \underbrace{\frac{\partial p}{\partial x_i}}_{\text{II}} +\underbrace{(\lambda^* + \eta)\frac{\partial}{\partial x_i}\left[\frac{\partial u_k}{\partial x_k}\right]}_{\text{III}} + \underbrace{\eta \left[ \frac{\partial^2u_i}{\partial x_j \partial x_j}\right]}_{\text{IV}}$

प्रतीकात्मक संकेतन में इस तरह दिखना चाहिए:

ρ \frac{डी \vec{यू}}{डी टी} = ρ \vec{क} - \nabla पी + (λ^{*} + η) \nabla (\nabla \cdot \vec{यू}) + η \nabla \cdot \nabla \vec{यू}

$\rho\frac{\mathrm{D}\vec{u}}{\mathrm{D}t} = \rho\vec{k} - \nabla p + (\lambda^* + \eta)\nabla(\nabla\cdot\vec{u}) + \eta\nabla\cdot\nabla\vec{u}$

$\text{III}$ $\lambda^*$ $-2/3 \eta$ (जो तकनीकी रूप से एकपरमाणुक गैसों के लिए केवल सच है)।

$\text{III}$ $\text{IV}$ $\text{III}$

— rul30
स्रोत

मुझे खेद है :-( यह मेरा इरादा नहीं था।

— पीटर - 20:15 पर मोनिका