2-डी प्लेन स्ट्रेस ट्रांसफॉर्मेशन

सामग्री पुस्तक की मेरी ताकत दो आयामी तत्व के सभी संभावित विमानों पर अभिनय करने वाले सामान्य तनाव के एक्स-घटक को निर्धारित करने के लिए निम्नलिखित समीकरण प्रदान करती है।

σ_{x^{'}} = \frac{1}{2} (σ_{x} + σ_{y}) + \frac{1}{2} (σ_{x} - σ_{y}) \cos (2 θ) + τ_{x y} \sin (2 θ)

$\sigma_{x^{\prime}} = \frac{1}{2}(\sigma_x + \sigma_y ) + \frac{1}{2}(\sigma_x - \sigma_y )\cos(2\theta) + \tau_{xy}\sin(2\theta)$

मेरा सवाल है - गैर-प्राइमरी चर को किस अभिविन्यास में माना जाता है? मेरी वृत्ति यह है कि गैर-प्राइमेड मात्रा में दिए गए प्रारंभिक अभिविन्यास अप्रासंगिक हैं, केवल घटकों के संख्यात्मक मूल्य और उस कोण से जिससे आप नए घटकों (प्राइमेड मात्रा) को मापते हैं।

उदाहरण के लिए, यदि आपको एक 2-D तत्व दिया गया है जो शुरू में 60 डिग्री पर झुका हुआ है और आपके पास उस में , , और और आप को ढूंढना चाहते हैं 0 0 डिग्री अभिविन्यास पर आप मान का उपयोग करके उपरोक्त समीकरण की गणना करेंगे क्योंकि आपको" प्रारंभ "के सापेक्ष मापना होगा । $\sigma_x$ $\sigma_y$ $\tau_{xy}$ $\sigma_{x^{\prime}}$ $\theta = -60$

क्या यह सही है या क्या मुझे यह पूरी तरह से उलझन में है?

stresses

— Nukesub
स्रोत

मैट्रिक्स के रूप में 2 डी तनाव के लिए परिवर्तन संबंध जहाँ मैट्रिक्स रूप में तनाव लिखने में, हम मानते हैं कि तनाव घटक बेस डॉक्टरों के साथ एक समन्वय प्रणाली के संदर्भ में व्यक्त किए गए हैं ) और यह कि कोण को वेक्टर के संबंध में काउंटर- जाता है।

σ^{'} = Q^{T} σ Q

$\boldsymbol{\sigma}' = \mathbf{Q}^T\, \boldsymbol{\sigma}\, \mathbf{Q}$

σ = [\begin{matrix} σ_{x x} & τ_{x y} \\ τ_{x y} & σ_{y y} \end{matrix}], Q = [\begin{matrix} \cos θ & - \sin θ \\ \sin θ & \cos θ \end{matrix}]

$\boldsymbol{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{xx} & \tau_{xy} \\ \tau_{xy} & \sigma_{yy} \end{bmatrix} ~,~~ \mathbf{Q} = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta\end{bmatrix}$

e_{x}, e_{y}

$\mathbf{e}_x, \mathbf{e}_y$

θ

$\theta$

e_{x}

$\mathbf{e}_x$

इसलिए, जब आप परिभाषा के द्वारा वेक्टर के साथ देख रहे हैं , तो कोण हमेशा शून्य होता है । $\theta$ $\mathbf{e}_x$

यदि आप बीजगणित पर काम करते हैं, तो आप पाएंगे कि (मैंने कोई ग़लती नहीं की है)

[\begin{matrix} σ_{x x}^{'} \\ σ_{y y}^{'} \\ τ_{x y}^{'} \end{matrix}] = [\begin{matrix} \cos^{2} θ & \sin^{2} θ & \sin 2 θ \\ \sin^{2} θ & \cos^{2} θ & - \sin 2 θ \\ - \frac{1}{2} \sin 2 θ & \frac{1}{2} \sin 2 θ & \cos 2 θ \end{matrix}] [\begin{matrix} σ_{x x} \\ σ_{y y} \\ τ_{x y} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} \sigma_{xx}' \\ \sigma_{yy}' \\ \tau_{xy}' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos^2\theta & \sin^2\theta & \sin2\theta \\ \sin^2\theta & \cos^2\theta & -\sin2\theta \\ -\tfrac{1}{2}\sin 2\theta & \tfrac{1}{2}\sin 2\theta & \cos 2\theta \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \sigma_{xx} \\ \sigma_{yy} \\ \tau_{xy} \end{bmatrix}$

प्रतिलोम संबंध विस्तारित रूप में, यदि प्रारंभिक तनाव घटक एक सेट के संबंध में हैं। प्रारंभिक अक्ष जो ( साथ संरेखित नहीं होते हैं और आप घटकों को आदि के साथ ।आपको उलटे संबंध का उपयोग करना होगा।

Q σ^{'} Q^{T} = σ

$\mathbf{Q} \,\boldsymbol{\sigma}' \, \mathbf{Q}^T= \boldsymbol{\sigma}$

[\begin{matrix} σ_{x x} \\ σ_{y y} \\ τ_{x y} \end{matrix}] = [\begin{matrix} \cos^{2} θ & - \sin^{2} θ & - \sin 2 θ \\ \sin^{2} θ & \cos^{2} θ & \sin 2 θ \\ \frac{1}{2} \sin 2 θ & - \frac{1}{2} \sin 2 θ & \cos 2 θ \end{matrix}] [\begin{matrix} σ_{x x}^{'} \\ σ_{y y}^{'} \\ τ_{x y}^{'} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} \sigma_{xx} \\ \sigma_{yy} \\ \tau_{xy} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos^2\theta & -\sin^2\theta & -\sin2\theta \\ \sin^2\theta & \cos^2\theta & \sin2\theta \\ \tfrac{1}{2}\sin 2\theta & -\tfrac{1}{2}\sin 2\theta & \cos 2\theta \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \sigma_{xx}' \\ \sigma_{yy}' \\ \tau_{xy}' \end{bmatrix}$

e_{x}, e_{y}

$\mathbf{e}_x, \mathbf{e}_y$

e_{x}

$\mathbf{e}_x$

— बिस्वजीत बनर्जी
स्रोत

जवाब के लिए धन्यवाद। इस बारे में कि हम इसे कैसे परिभाषित करते हैं, यह वास्तव में मेरे लिए है। इसका एक और तरीका है जो मुझे एहसास हुआ कि आप 0 डिग्री अभिविन्यास (3 समीकरण और 3 अज्ञात) पर तनावों के लिए 2-डी परिवर्तन समीकरणों को हल कर सकते हैं। मुझे लगता है कि आप इसे मोहर सर्किल के साथ ही नेत्रहीन रूप से करने की कोशिश कर सकते हैं। अपने ऑर्थोगोनल ट्रांसफॉर्मेशन मैट्रिक्स के बारे में - मैं उत्सुक हूं, क्या यह 3-डी संस्करण (9 तत्व, 3 बाय 3) के समान है, बस तीसरी पंक्ति और तीसरे कॉलम (लेकिन सटीक समान तत्वों) द्वारा कम किया गया है?

— नुकेसब

मैंने इस पर थोड़ा समय बिताया है और मैं अभी भी अस्पष्ट हूं। लगभग किसी भी संसाधन में, मुझे यह पता नहीं है कि ALREADY घुमाए गए तत्वों के लिए इस प्रकार की समस्याओं को कैसे हल किया जाए। मैं भ्रमित हूं क्योंकि मुझे मोहर के चक्र (रेखांकन को हल करना) का उपयोग करके सही उत्तर नहीं मिल सकता है। मैं परिवर्तन समीकरणों या आपके द्वारा ऊपर दिखाए गए मैट्रिक्स फॉर्म का उपयोग करके सही उत्तर प्राप्त करने में सक्षम हूं।

— नुकेसस

रोटेशन मैट्रिक्स के 3 डी संस्करण में तीसरी पंक्ति / कॉलम में 0 और तीसरी विकर्ण तत्व में ( -axis के चारों ओर रोटेशन के लिए ) में 0 ऑफ-विकर्ण तत्व होंगे । तनाव मैट्रिक्स में आपकी समस्या के लिए संबंधित तत्वों में शून्य होगा। सामान्य 3 डी रोटेशन के लिए चीजें अधिक जटिल हो जाती हैं।

z

$z$

— बिस्वजीत बनर्जी

मोहर के हलकों की गहरी समझ के लिए mech.utah.edu/~brannon/public/Mohrs_Circle.pdf देखें (मैं परिशिष्ट के साथ शुरुआत करूँगा)। अधिकतम लाभ के लिए, इस राइट-अप को ध्यान से पढ़ा जाना चाहिए और उदाहरणों ने काम किया। एक बार जब आप उन विचारों में महारत हासिल कर लेते हैं जिन्हें आपको अपने मामले में लागू करने में सक्षम होना चाहिए।

— बिस्वजीत बनर्जी

संसाधन के लिए धन्यवाद। मैं वही करूंगा जो आप कहते हैं और देखते हैं कि क्या मैं मोहर के चक्र को पहले से ही घुमाए गए तत्व पर लागू करने का अर्थ बना सकता हूं।

— नुकेसुब