लाप्लास ट्रांसफॉर्मर की उपयोगिता बताने के लिए सरल उदाहरण

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मैं एक गणित प्रोफेसर हूं जो एक इंट्रो ओडीई पाठ्यक्रम पढ़ा रहा है, और मेरे अधिकांश छात्र इंजीनियरिंग में जा रहे हैं। जैसे, मैं उन्हें बहुत सारे उदाहरण देना पसंद करता हूं कि हमारी सामग्री कैसे लागू होती है।

हम लाप्लास ट्रांसफॉर्म पर आ रहे हैं और मैं कंट्रोल थ्योरी से अपेक्षाकृत सरल उदाहरण की तलाश में हूं। मैं शायद कार में क्रूज़ नियंत्रण के लिए या थर्मोस्टेट (ये क्लासिक उदाहरण प्रतीत होते हैं) के लिए एक पीआईडी नियंत्रण की जांच करने के बारे में सोच रहा था, लेकिन मुझे यह देखने में परेशानी हो रही है कि हमें लैप्लस ट्रांसफ़र या ट्रांसफ़र फ़ंक्शंस की बिल्कुल ज़रूरत क्यों है : हम पहले से ही जानते हैं कि लैप्लस के बिना निरंतर गुणांक वाले रैखिक ओडीई को कैसे हल किया जाए।

मुझे आशा है कि कोई मुझे दिखा सकता है कि हमें वास्तव में आवश्यकता क्यों है (या कम से कम बहुत मदद की है) इन उदाहरणों में लाप्लास ट्रांसफ़र और ट्रांसफ़र फ़ंक्शंस, या मुझे एक साधारण उदाहरण की ओर इंगित करते हैं जहां हम करते हैं।

control-engineering control-theory

— जॉन
स्रोत

एक खोज दी: quora.com/…

— सोलर माइक

नियंत्रण इंजीनियरिंग और नियंत्रण सिद्धांत में ट्रांसफ़र फ़ंक्शन को लाप्लास ट्रांसफ़ॉर्म का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है; निरंतर समय के संकेतों के लिए, ट्रांसफर फ़ंक्शंस इनपुट के लाप्लास ट्रांसफ़ॉर्म को आउटपुट के लाप्लास ट्रांसफ़ॉर्म में मैप करते हैं। अधिक जानकारी यहाँ मिली ।

— असिम्बल्स

उपरोक्त के बाद, यहां पीडीएफ दस्तावेज़ में कई अभ्यास हैं जो व्यावहारिक अनुप्रयोग भी हैं और यह github.com खोज सॉफ़्टवेयर रिपॉजिटरी के 3 पृष्ठ प्रदान करता है।

— AsymLabs

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$s$

\frac{Y}{X} = \frac{s + 2}{s^{2} + 0.5 s + 3}

$\frac{Y}{X}=\frac{s+2}{s^2+0.5s+3}$

जैसा दिखता है

\frac{Y}{X} = \frac{\frac{d}{d t} . + 2}{\frac{d^{2}}{d t} . + 0.5 \frac{d}{d t} . + 3}

$\frac{Y}{X}=\frac{\frac{d}{dt}.+2}{\frac{d^2}{dt}.+0.5\frac{d}{dt}.+3}$

(\frac{d^{2}}{d t} . + 0.5 \frac{d}{d t} . + 3) y = (\frac{d}{d t} . + 2) x

$(\frac{d^2}{dt}.+0.5\frac{d}{dt}.+3) y=(\frac{d}{dt}.+2)x$

(\frac{d^{2}}{d t} y + 0.5 \frac{d}{d t} y + 3 y) = (\frac{d}{d t} x + 2 x)

$(\frac{d^2}{dt}y+0.5\frac{d}{dt}y+3y) =(\frac{d}{dt}x+2 x)$

रैखिक प्रणालियों के लिए, हमें समय-विचरण और गुणन (स्केलिंग को छोड़कर) की तुलना में अधिक डेरिवेटिव और संकल्प की आवश्यकता होती है। इसलिए, यह लाप्लास डोमेन पर जाने लायक है।

$s$

x (0) = lim_{s \to \infty} s X (s)

$x(0)=\lim_{s\to \infty} sX(s)$

x (\infty) = lim_{s \to 0} s X (s)

$x(\infty)=\lim_{s\to 0} sX(s)$

लाप्लास ट्रांसफॉर्मेशन का एक और उपयोगी एप्लिकेशन हाई-पास और कम-पास फिल्टर के डिजाइन के लिए है। वे गड़बड़ डेरिवेटिव की तुलना में डोमेन में काम करने के लिए बहुत अधिक आरामदायक हैं । $s$

— जल्दबाजी
स्रोत

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वसंत के साथ श्रृंखला में जुड़े एक स्पंज ( ) के साथ एक असेंबली की प्रतिक्रिया (एक मनमाना लोड) क्या है ( वसंत ) और एक अन्य स्पंज ( ) जो समानांतर में जुड़ा हुआ है? $\eta_1$ $k_2$ $\eta_2$

दूसरे शब्दों में, विधानसभा इस तरह दिखती है:

और हम दाईं ओर खींच रहे हैं; बाईं ओर तय किया गया है। हम सही पक्ष के विस्थापन को जानना चाहते हैं।

(व्यक्तिगत विस्थापन एक भी एक लोड के संपर्क में वसंत की है व्यक्ति विस्थापन दर; एक की एक ही लोड के संपर्क में आने वाला एकल स्पंज ।) $u_i(t)$ $F_i(t)$ $u_i(t)=\frac{F_i(t)}{k_i}$ $\dot u_i(t)$ $\dot u_i(t)=\frac{F_i(t)}{\eta_i}$

इस प्रकार की समस्या मोटर वाहन इंजीनियरिंग, धातु विज्ञान, बहुलक संश्लेषण और बायोमैकेनिक्स के संदर्भ में अन्य क्षेत्रों में हर समय उत्पन्न होती है। लेकिन आपके पास एक कठिन समय होगा कि आप इस और अधिक जटिल असेंबली की प्रतिक्रिया लिखें, यदि आप टाइम डेरिवेटिव को चारों ओर रखते हैं।

इसके बजाय, आइए प्रत्येक घटक के लिए और एक वसंत के लिए : लिए शून्य विस्थापन और एक स्पंज के लिए । अब, यह महसूस करते हुए कि विस्थापित जोड़ते हैं जब गांठ वाले घटक श्रृंखला में जुड़े होते हैं, जबकि बलों को जोड़ते हैं जब घटक समानांतर में जुड़े होते हैं, तो हम पाते हैं कि कुल विस्थापन $t=0$ $F_i(s)=k_iu_i(s)$ $F_i(s)=s \eta_i u_i(s)$

u (s) = \frac{F (s)}{s η_{1}} + \frac{F (s)}{k_{2} + s η_{2}}

$u(s)=\frac{F(s)}{s\eta_1}+\frac{F(s)}{k_2+s\eta_2}$

इस प्रकार, विधानसभा का स्थानांतरण कार्य है

\frac{u (s)}{F (s)} = \frac{1}{s η_{1}} + \frac{1}{k_{2} + s η_{2}}

$\frac{u(s)}{F(s)}=\frac{1}{s\eta_1}+\frac{1}{k_2+s\eta_2}$

यदि मैं 1 सेकंड के लिए एक यूनिट स्टेप लोड लागू करता हूं और फिर जाने देता हूं तो क्या होगा? हम इस लोड को रूप में लिखेंगे , अनुरूप (हम इन लाप्लास को एक तालिका में रूपांतरित कर सकते हैं, उदाहरण के लिए, या वुल्फराम अल्फा जैसे एक प्रतीकात्मक उपकरण का उपयोग करें)। परिणामी प्रतिक्रिया है $F(t)=u(t)-u(t-1)$ $F(s)=\frac{1}{s}-\frac{\exp(-s)}{s}$

u (s) = \frac{1 - e^{- s}}{s^{2} η_{1}} + \frac{1 - e^{- s}}{s (k_{2} + s η_{2})}

$u(s)=\frac{1-e^{-s}}{s^2\eta_1}+\frac{1-e^{-s}}{s(k_2+s\eta_2)}$

इसी समय प्रतिक्रिया (सादगी के लिए सभी सिस्टम चर 1 के बराबर है)

u (t, η_{1} = η_{2} = k_{2} = 1) = e^{- t} [(e - t e^{t}) u (t - 1) + e^{t} (t + 1) - 1]

$u(t, \eta_1=\eta_2=k_2=1)=e^{-t}\left[(e-te^t)u(t-1)+e^t(t+1)-1\right]$

या, ग्राफिक रूप से (x- अक्ष पर सेकंड में समय और y- अक्ष पर विस्थापन के साथ),

— Chemomechanics
स्रोत

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आपके दृष्टिकोण के लिए आपको सिस्टम के सटीक ODE को जानना होगा। हालांकि जब एक सिस्टम के लिए एक नियंत्रक डिजाइन किया जा सकता है जिसे LTI के रूप में अनुमानित किया जा सकता है तो आपको आवश्यक नहीं कि पूरी तरह से मानकीकृत और पहचान की गई ODE मॉडल की आवश्यकता हो। आप या तो कुछ पीआईडी ट्यूनिंग एल्गोरिथ्म का उपयोग कर सकते हैं या, शायद आपके प्रश्न से संबंधित है, सिस्टम की आवृत्ति प्रतिक्रिया फ़ंक्शन (एफआरएफ) को मापें। आप इस FRF पर एक ट्रांसफ़र फंक्शन फिट कर सकते हैं, लेकिन FRF ही पहले से ही लूपशैपिंग का उपयोग कर कंट्रोलर डिज़ाइन करने के लिए पर्याप्त जानकारी है।

— fibonatic
स्रोत