जैसा कि ऊपर Apostolos द्वारा उल्लेख किया गया है, वास्तविक दुनिया जटिल है। कठोरता जो आपने सही लिखी थी, लेकिन अधिकांश अनुप्रयोगों के लिए, जो विमान तनाव या तनाव को संभालने के लिए पर्याप्त है, खासकर जब आइसोट्रोपिक सामग्रियों से निपटना। यदि आप धारणा नहीं बनाते हैं, तो आपको 6 स्थिरांक ढूंढने होंगे, जो कि आवश्यक नहीं है।
यदि आप कठोरता टेंसर को 3 डी तक बढ़ाते हैं, तो आपको निम्नलिखित मिलेंगे
$$
\ Begin {} bmatrix
\ sigma_ {1} \\
\ sigma_ {2} \\
\ sigma_ {3} \\
\ sigma_ {4} \\
\ sigma_ {5} \\
\ Sigma_ {6}
\ अंत {} bmatrix
=
\ Begin {} bmatrix
C_ {11} & amp; C_ {12} & amp; C_ {13} & amp; C_ {14} & amp; C_ {15} & amp; C_ {16} \\
C_ {21} & amp; C_ {22} & amp; C_ {23} & amp; C_ {24} & amp; C_ {25} & amp; C_ {26} \\
C_ {31} & amp; C_ {32} & amp; C_ {33} & amp; C_ {34} & amp; C_ {35} & amp; C_ {36} \\
C_ {41} & amp; C_ {42} & amp; C_ {43} & amp; C_ {44} & amp; C_ {45} & amp; C_ {46} \\
C_ {51} & amp; C_ {52} & amp; C_ {53} & amp; C_ {54} & amp; C_ {55} & amp; C_ {56} \\
C_ {61} & amp; C_ {62} & amp; C_ {63} & amp; C_ {64} & amp; C_ {65} & amp; C_ {66}
\ अंत {} bmatrix
\ Begin {} bmatrix
\ varepsilon_ {1} \\
\ varepsilon_ {2} \\
\ varepsilon_ {3} \\
\ varepsilon_ {4} \\
\ varepsilon_ {5} \\
\ Varepsilon_ {6}
\ अंत {} bmatrix
$$
यहां यह 2D मामले से बहुत खराब है क्योंकि आपको 36 स्थिरांक ढूंढने होंगे, यह मानते हुए कि मैट्रिक्स सममित नहीं है। यह एक सामग्री का सबसे पूर्ण लक्षण वर्णन है। समस्या यह है कि यह बहुत परीक्षण है जो बहुत कठिन है! इसलिए मान्यताओं की संख्या को सरल बनाने और कम करने के लिए धारणाएं बनाई जाती हैं।
अधिकांश वास्तविक दुनिया के अनुप्रयोगों में, बदतर स्थिति यह मान रही है कि सामग्री ऑर्थोट्रोपिक है। एक ऑर्थोट्रोपिक सामग्री के लिए कठोरता मैट्रिक्स उस से पूरी तरह से अनिसोट्रोपिक के लिए सरल है ताकि एक बार उलटा और पेश किया जा $ ई $ , $ \ Nu $ , तथा $ जी $ परिणाम है $$
\ Begin {} bmatrix
\ varepsilon_ {1} \\
\ varepsilon_ {2} \\
\ varepsilon_ {3} \\
\ varepsilon_ {4} \\
\ varepsilon_ {5} \\
\ Varepsilon_ {6}
\ अंत {} bmatrix
=
\ Begin {} bmatrix
\ frac {1} {E_1} & amp; -> फ़्रेक {\ nu_ {21}} {E_2} & amp; -> frac {\ nu_ {31}} {E_3} & amp; 0 & amp; 0 & amp; 0 \\
-> फ्राक {\ nu_ {12}} {E_1} & amp; \ frac {1} {E_2} & amp; -> फ़्रेक {\ nu_ {32}} {E_3} & amp; 0 & amp; 0 & amp; 0 \\
-> फ्राक {\ nu_ {13}} {E_1} & amp; -> फ़्रेक {\ nu_ {23}} {E_2} & amp; \ frac {1} {E_3} & amp; 0 & amp; 0 & amp; 0 \\
0 & amp; 0 & amp; 0 & amp; \ frac {1} {2G_ {23}} & amp; 0 & amp; 0 \\
0 & amp; 0 & amp; 0 & amp; 0 & amp; \ frac {1} {2G_ {13}} & amp; 0 \\
0 & amp; 0 & amp; 0 & amp; 0 & amp; 0 & amp; \ Frac {1} {2G_ {12}}
\ अंत {} bmatrix
\ Begin {} bmatrix
\ sigma_ {1} \\
\ sigma_ {2} \\
\ sigma_ {3} \\
\ sigma_ {4} \\
\ sigma_ {5} \\
\ Sigma_ {6}
\ अंत {} bmatrix
$$ इसका मतलब है कि आपको "केवल" नौ सामग्री स्थिरांक को मापना होगा, यह मानते हुए कि मैट्रिक्स सममित है, जिससे जीवन पूरे भार को आसान बनाता है। उन स्थितियों के उदाहरण जहां सामग्री को ऑर्थोट्रोपिक माना जाता है, 3 डी प्रिंटिंग और कंपोजिट हैं।