कैसे पता करें कि मोडल विश्लेषण में दिए गए इनपुट से कौन से मोड उत्साहित हैं?

Question

एक साधारण संरचना जैसे कि बीम, प्लेट, पर विचार करें ... मान लें कि आप जानते हैं कि संरचना के कंपन के विभिन्न तरीकों को कैसे निर्धारित किया जाए। आपको एक बाहरी इनपुट दिया जाता है, जैसे किसी स्थान पर एक बल या पल। फिर आप यह कैसे निर्धारित कर सकते हैं कि कौन से मोड कितने उत्साहित होंगे? (सिर्फ एक सामान्य प्रश्न, मैं एक विशिष्ट मामले पर विचार नहीं कर रहा हूं।)

Answer 1

वे इस सवाल का जवाब देने के लिए डायनामिक्स मॉडल को मोडल निर्देशांक में बदल रहे हैं, और देखते हैं कि बल शब्द का क्या होता है।

मान लीजिए matrices के रूप में हम संरचना की कठोरता और बड़े पैमाने पर गुण वर्णन कर सकते हैं और एम के रूप में एक वेक्टर, और अपने विस्थापन एक्स , एक शारीरिक समन्वय प्रणाली में, और हम बलों के एक वेक्टर उस समय में sinusoidally भिन्नता है, लागू एफ ई मैं ω टी संरचना के लिए।$\mathbf K$$\mathbf M$$\mathbf x$$\mathbf F e^{i\omega t}$

प्रणाली की गति का समीकरण तो है

$$(\mathbf K - \omega^2 \mathbf M) \mathbf x e^{i\omega t} = \mathbf Fe^{i\omega t}$$

$e^{i\omega t}$

$$(\mathbf K - \omega^2 \mathbf M) \mathbf x = \mathbf F$$ (ध्यान दें, मैं उदासीनता, चीज़ें थोड़ी सरल बनाने की खातिर अनदेखी कर रहा हूँ - कर रही है कि अंतिम प्रभावित नहीं करता है निष्कर्ष)।

$\mathbf \Phi$ ।

$\mathbf X$$\mathbf X = \mathbf \Phi \xi$$\xi$ एक वेक्टर है।

$\mathbf \Phi^T$

$$\mathbf \Phi^T(\mathbf K - \omega^2 \mathbf M) \mathbf \Phi \xi = \mathbf \Phi^T \mathbf F$$ $$(\mathbf \Phi^T\mathbf K \mathbf \Phi - \omega^2 \mathbf \Phi^T\mathbf M \mathbf \Phi) \xi = \mathbf \Phi^T \mathbf F$$

$\mathbf \Phi^T\mathbf M \mathbf \Phi$$\mathbf \Phi^T\mathbf K \mathbf \Phi$$i$

$$(\omega_i^2 - \omega^2)\mathbf \xi_i = \mathbf \Phi_i^T \mathbf F$$

$\xi_i$

कई मामलों में हम केवल संरचना की स्वतंत्रता की एक डिग्री के लिए एक बल लागू करते हैं। फिर, परिणाम काफी सहज है - दो प्रभाव हैं जो प्रासंगिक हैं, जब उन्हें एक साथ लिया जाता है:

1. अंतिम समीकरण के दाहिने हाथ की ओर देखते हुए, जो मोड सबसे अधिक उत्साहित होंगे , वे उस बिंदु पर सबसे बड़े विस्थापन के साथ होते हैं जहां बल लगाया जाता है ।

2. इसी समीकरण के बाएं हाथ को देखते हुए, वे मोड जो सबसे अधिक उत्साहित होंगे , वे हैं जिनकी प्राकृतिक आवृत्तियां मजबूर आवृत्ति के करीब हैं ।

Answer 2

सबसे पहले, निरंतर लोड लागू करने से कोई भी मोड उत्तेजित नहीं होगा। कंपन को प्रेरित करने के लिए आपको समय-भिन्न लोड की आवश्यकता होती है (जैसे हवा, भूकंपीय, विस्फोट)। कौन से मोड उत्साहित हैं यह लागू लोडिंग की आवृत्ति सामग्री पर निर्भर करेगा।

Answer 3

एक स्थिर समस्या के लिए, आप केवल पाठ बलों के लिए स्थैतिक समीकरणों का उपयोग करके संरचना के केवल विस्थापन और संरचना की कठोरता का उपयोग करके विस्थापन का निर्धारण कर सकते हैं:

$F_{normal} = K \Delta \\ M_{bending} = EI \phi \\ T_{torsion} = GJ \psi$

ध्यान दें कि इनमें से कोई भी समीकरण समय पर निर्भर नहीं करता है। सिविल इंजीनियरिंग में अधिकांश समस्याओं के उद्देश्य के लिए, लोड अनुप्रयोग काफी धीमा है कि जड़ता बल अन्य बलों की तुलना में बहुत कम है, इसलिए उन्हें उपेक्षित किया जाता है (हवा और भूकंप भार से अक्सर जो गतिशील विश्लेषण की आवश्यकता होती है)।

किसी संरचना के कंपन के गतिशील विश्लेषण की आवश्यकता होती है, इसलिए वे केवल संरचना की कठोरता पर निर्भर नहीं होते हैं, वे इसके भार वितरण और कुछ हद तक भीगने पर निर्भर करते हैं। एक संरचना के कंपन के तरीकों को निर्धारित करने के लिए, आपको कम से कम इसकी कठोरता और इसके द्रव्यमान (और यह कैसे वितरित किया जाता है) को जानने की आवश्यकता है । सबसे सरल उदाहरण पहियों पर एक द्रव्यमान M है जो कठोरता K के क्षैतिज वसंत से बंधा है। इस प्रणाली की प्राकृतिक आवृत्ति होगी:

$$f = 2 \pi\sqrt\frac{K}M$$

यहां ध्यान दें कि सिस्टम की प्राकृतिक आवृत्ति प्राप्त करने के लिए, कोई बाहरी भार नहीं लगाना पड़ता। यूनिडायरेक्शनल में हमारे मामले के बाद से, यह पता लगाना काफी सरल है कि किस तरह से एक बाहरी भार को हमारी संरचना (पाठ्यक्रम की गणना की गई आवृत्ति पर) को उत्तेजित करने के लिए जाना होगा।

अधिक जटिल मामले के लिए द्रव्यमान आमतौर पर (समय के बजाय) वितरित किया जाता है और कठोरता अक्सर अक्षीय के अलावा झुकने, कतरनी और मरोड़ में होती है। इन अधिक जटिल मामलों के लिए, हम आमतौर पर एक से अधिक डिग्री की स्वतंत्रता के साथ काम कर रहे हैं, इसलिए आपके पास हल करने के लिए कई चर (आमतौर पर परिमित तत्व विश्लेषण का उपयोग करके) के साथ कई समीकरण होंगे। परिमित तत्व विश्लेषण का उपयोग करते हुए, आपके द्रव्यमान को n तत्वों द्वारा n के एक मैट्रिक्स M के रूप में और n तत्वों द्वारा n के एक मैट्रिक्स K द्वारा आपकी कठोरता का प्रतिनिधित्व किया जाएगा, जहाँ n आपकी स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या है। Eigenvalues ​​का उपयोग करके, हम कंपन के n मोड और n प्राकृतिक आवृत्तियों को प्राप्त करने के लिए ऊपर के समान एक समीकरण को हल कर सकते हैं।

प्राकृतिक आवृत्ति के साथ युग्मित कंपन का प्रत्येक मोड आपको जानकारी देता है कि यदि आप प्रतिध्वनि प्राप्त करना चाहते हैं तो स्वतंत्रता की प्रत्येक डिग्री को कैसे लोड किया जाए। किसी भी अन्य आवृत्ति के साथ कोई अन्य लोडिंग अकेले एक मोड को उत्तेजित नहीं करेगा, इसलिए आप केवल किसी अन्य प्रणाली के व्यवहार को अधिक जटिल गणनाओं के साथ जान सकते हैं।