गणितीय प्रमाण है कि RMS वोल्टेज बार RMS करंट मतलब शक्ति देता है

Question

मुझे पता है कि यह सच है क्योंकि मैंने इसे एक सम्मानित स्रोत में पढ़ा है। मैं यह भी सहज रूप से समझता हूं कि बिजली एक प्रतिरोधक भार के लिए वोल्टेज या करंट के वर्ग के समानुपाती होती है, और यह कि RMS में "S" "वर्ग" के लिए है। मैं एक कठिन गणितीय प्रमाण मांग रहा हूं।

चलो पल में वर्तमान निरूपित , और इसी तरह उस पल में वोल्टेज को दर्शाता है। यदि हम सभी इंस्टेंट पर वोल्टेज और करंट को माप सकते हैं, और इंस्टेंट हैं, तो इसका मतलब स्पष्ट शक्ति है:$I_i$$i$$V_i$$n$

$$P = \frac{1}{n} \sum_{i=i}^n I_i V_i$$

एक सुरुचिपूर्ण गणितीय प्रमाण क्या है

$$P = I_{RMS} V_{RMS}$$

प्रतिरोधक भार के लिए समान परिणाम प्राप्त करता है?

Comments

यदि मुझे सही ढंग से याद है, तो एक प्रमाण होना चाहिए जो बताता है कि आरएमएस ब्याज की समय अवधि में एक संकेत के वास्तविक मूल्य का निकटतम सन्निकटन कैसे है। इसका उपयोग करते हुए, हम संभवतः यह साबित कर सकते हैं कि । दुर्भाग्य से, ऐसा लगता है कि मैंने उस पुस्तक को खो दिया, जिसका प्रमाण उसके पास था। :($P=I_{rms}V_{rms}=\frac{1}{T2-T1} \int_{T1}^{T2}V(t)I(t)dt$

— आंद्रेजाको

RMS वर्तमान समय RMS वोल्टेज का अर्थ समान शक्ति नहीं है। यह स्पष्ट शक्ति के बराबर (माध्य) है। यदि आपको गैर-प्रतिरोधक भार मिला है, तो इससे फर्क पड़ सकता है।

— SomeoneSomewhereSupportsMonica

Answer 1

ओम का नियम

$$1: V(t) = I(t)R$$

तात्कालिक बिजली अपव्यय वोल्टेज और वर्तमान

$$2: P(t) = V(t)I(t)\\ $$

वोल्टेज या करंट: 3 : P ( t ) = I 2 ( t ) R = V 2 ( t ) के संदर्भ में एक प्रतिरोधक के माध्यम से तात्कालिक शक्ति प्राप्त करने के लिए 1 को 2 में रखें।

$$3: P(t) = I^2(t)R = \frac{V^2(t)}{R}\\ $$

औसत शक्ति एक अवधि में तात्कालिक शक्ति का अभिन्न अंग होती है, जो उस अवधि से विभाजित होती है। वोल्टेज और करंट के संदर्भ में औसत शक्ति प्राप्त करने के लिए इसमें 3 को प्रतिस्थापित करें।

$$4: P_{avg}=\frac{\int_0^T{P(t)dt}}{T}=\frac{R\int_0^T{I^2(t)dt}}{T}=\frac{\int_0^T{V^2(t)dt}}{RT}\\ $$

आरएमएस की परिभाषा वर्तमान

$$5: I_{RMS}=\sqrt{\frac{\int_0^T{I^2(t)dt}}{T}}\\ $$ वर्ग दोनों पक्षों $$6: I_{RMS}^2 =\frac{\int_0^T{I^2(t)dt}}{T}\\ $$ गुणा R से औसत शक्ति के लिए समीकरण 4 खोजने के लिए $$7: I_{RMS}^2R =\frac{R\int_0^T{I^2(t)dt}}{T}=P_{avg}\\ $$ आरएमएस वोल्टेज की परिभाषा $$8: V_{RMS}=\sqrt{\frac{\int_0^T{V^2(t)dt}}{T}}\\ $$ दोनों पक्षों वर्ग $$9: V_{RMS}^2=\frac{\int_0^T{V^2(t)dt}}{T}\\ $$ औसत शक्ति 10 : V 2 R M S के लिए समीकरण 4 खोजने के लिए R से विभाजित करें $$10: \frac{V_{RMS}^2}{R}=\frac{\int_0^T{V^2(t)dt}}{RT}=P_{avg}\\ $$ औसत शक्ति 11 के लिए 7 और 10 को गुणा करें : P 2 a v g = V 2 R M S S I 2 R M S $$11: P_{avg}^2=V_{RMS}^2I_{RMS}^2\\ $$ दोनों पक्षों के वर्गमूल $$12: P_{avg} = V_{RMS}I_{RMS}\\ $$ QED

Answer 2

बहुत सरल प्रमाण (प्रश्न में असतत नमूना मामले में) RMS समीकरण में I / R के प्रतिस्थापन द्वारा है

$$x_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\dfrac1n(x_1^2+x_2^2+x+\cdots+x_n^2)}.$$

और बहुत ही सरल बीजगणित।

और हाँ, यह सच है क्योंकि यह निर्दिष्ट है कि हमारे पास शुद्ध रूप से प्रतिरोधक भार है इसलिए कोई चरण कोण समस्या नहीं है और I में मौजूद कोई हार्मोनिक मौजूद नहीं है जो कि E में भी मौजूद नहीं है।

संपादित करें

$$x_{\mathrm{rms}} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2 \right) }$$

$$V_{RMS} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( V_1^2 + V_2^2 + \cdots + V_n^2 \right) }$$

$$I_{RMS} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( I_1^2 + I_2^2 + \cdots + I_n^2 \right) }$$

$$I_i = V_i/R$$

$$I_{RMS} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( (V_1/R)^2 + (V_2/R)^2 + \cdots + (V_n/R)^2 \right) }$$

फिर:

$$I_{RMS} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( V_1^2/R^2 + V_2^2/R^2 + \cdots + V_n^2/R^2 \right) }$$

1 / R ^ 2 बाहर खींच रहा है

$$I_{RMS} = \frac{1}{R}\sqrt{ \frac{1}{n} \left( V_1^2 + V_2^2 + \cdots + V_n^2 \right) }$$

इसलिए:

$$V_{RMS} * I_{RMS}$$

$$1/R( \frac{1}{n} \left( V_1^2 + V_2^2 + \cdots + V_n^2 \right))$$

1 / R वितरित करना:

$$( \frac{1}{n} \left( V_1^2/R + V_2^2/R + \cdots + V_n^2/R \right))$$

ओम के विधि प्रतिस्थापन का फिर से उपयोग करना:

$$( \frac{1}{n} \left( V_1I_1 + V_2I_2 + \cdots + V_nI_n \right))$$

जो है:

$$\frac{1}{n} \sum_{i=i}^n I_i V_i$$

Comments

यदि बीजगणित सरल है, तो क्या आप हमें दिखा सकते हैं? आप गणित टाइप करने के लिए लाटेक्स मार्कअप का उपयोग कर सकते हैं।

— फिल फ्रॉस्ट

प्रोत्साहित करने के लिए धन्यवाद। मैंने 1983 से लाटेक्स का इस्तेमाल नहीं किया था।

— जॉर्ज व्हाइट

Answer 3

कुंजी यह है कि एक प्रतिरोधक भार के लिए, वोल्टेज और वर्तमान चरण में हैं।

यदि वोल्टेज और करंट दोनों हैं $\sin(t)$, तो फिर उनके उत्पाद समानता द्वारा दिया जाता है $\sin^2(t) = 1/2 + 1/2 \sin(2t)$। शक्ति दो बार आवृत्ति की साइन लहर है, जिसके बारे में दोलन करता है$1/2$। यह समय के साथ इसका औसत है ("वर्ग" का "मतलब")। माध्य वर्ग की जड़ है$\sqrt{1/2} = 1/\sqrt{2} = \sqrt{2}/2 \approx 0.707$। यहीं से हमें वो जादुई नंबर मिलता है।

मूल माध्य वर्ग वोल्टेज या करंट डीसी समतुल्य वोल्टेज और करंट हैं जो समय के साथ समान विद्युत अपव्यय का उत्पादन करेंगे । यदि औसत बिजली अपव्यय है$1/2$ डब्ल्यू, तो इस तरह के एक बिजली अपव्यय द्वारा लगातार उत्पादन किया जा सकता है $\sqrt{2}/2$ वीडीसी द्वारा गुणा किया गया $\sqrt{2}/2$ एक डीसी।

यदि वर्तमान और वोल्टेज चरण 90 डिग्री (शुद्ध प्रतिक्रियाशील भार) से बाहर हैं, तो हम एक होने के रूप में सोच सकते हैं $\cos(t)$ और दूसरा जा रहा है $\sin(t)$। लागू समानता तब है$\sin(t)\cos(t) = 1/2 \sin(2t)$। बिजली तरंग अब चारों ओर दोलन करने के लिए "पक्षपाती" नहीं है$1/2$; इसका औसत शून्य है: वैकल्पिक आधे चक्र पर लोड में से बिजली प्रवाहित होती है, क्योंकि विद्युत तरंग सकारात्मक और नकारात्मक रूप से घूमती है।

तो प्रश्न का उत्तर देने के लिए, RMS वोल्टेज और करंट को निर्धारित शक्ति के आधार पर परिभाषित किया गया है: प्रत्येक को माध्य शक्ति के वर्गमूल से लिया गया है। दो मानों को एक साथ गुणा करना जो माध्य शक्ति के वर्गमूल से प्राप्त होते हैं, मतलब शक्ति को पुनः प्राप्त करते हैं।

Comments

मुझे लगता है कि स्टीफन कोलिंग का जवाब सबसे अच्छा है। यह तरंग के विवरण पर निर्भर नहीं करता है और निरंतरता के मामले को कवर करता है। इसके अलावा, "रूट माध्य वर्ग वोल्टेज या करंट डीसी समतुल्य वोल्टेज और करंट है जो समय के साथ समान बिजली अपव्यय का उत्पादन करेगा" लगता है कि प्रश्न को उत्तर मानकर और फिर उत्तर पाने के लिए एक सर्कल में जा रहा है।

— जॉर्ज व्हाइट

Answer 4

गणित के बिना इस मुद्दे को अधिक सरल बनाने की सुविधा देता है। इस साधारण सर्किट को लें जो 10 सेकंड की अवधि के साथ एक चौकोर तरंग का उत्पादन करता है।

वोल्टेज इस तरह है

और वर्तमान है

तब शक्ति तरंग होगी

जब स्विच खुला होता है तो कोई शक्ति अवरोधक तक नहीं पहुंचती है, इसलिए कुल ऊर्जा 10 वाट X 5 सेकंड = 50 जूल होती है, और यह वैसी ही है जैसी हम 10 सेकंड में 5 वाट लगाते हैं

और यह औसत शक्ति है। औसत वोल्टेज 5 वोल्ट है और औसत धारा 0.5 एम्पीयर है। सरल गणना करते हुए, औसत शक्ति का परिणाम 2.5 वाट या 25 जूल होता है जो सच नहीं है।

तो चलिए इस ट्रिक के साथ बनाते हैं:

1. वोल्टेज (और वर्तमान) पहले वर्ग

2. दूसरा वर्ग का औसत लेते हैं

3. फिर औसत का वर्गमूल लें

वोल्टेज तरंग का वर्ग होगा

और औसत 50V ^ 2 (50 ^ 2 वोल्ट नहीं) है। इस बिंदु से तरंग के बारे में भूल जाओ। केवल मूल्यों। उपरोक्त मान का वर्गमूल 7,071 है ... वोल्ट आरएमएस। करंट को समान करने पर 0,7071..A RMS मिलेगा और औसत पावर 7,071V x 0,7071A = 5 वाट होगी

यदि आप RMS की शक्ति के साथ भी ऐसा ही करने का प्रयास कर रहे हैं तो परिणाम 7,071 वाट का होगा।

तो एकमात्र समतुल्य ताप शक्ति औसत शक्ति है और गणना करने का एकमात्र तरीका वोल्टेज और वर्तमान के आरएमएस मूल्यों का उपयोग करना है

Comments

क्या हम तात्कालिक शक्ति के औसत के रूप में एक रोकनेवाला में विस्थापित औसत शक्ति की गणना नहीं कर सकते हैं? ओपी ने अनुरोध किया गणितीय प्रमाण कहां है?

— जो हस

कुछ जटिल तरंगों के लिए निश्चित रूप से हमें सटीक औसत मूल्यों के लिए शून्य के करीब समय अंतराल का उपयोग करके उन्हें एकीकृत करना होगा। मैं किसी भी गणित का उपयोग करने के लिए उत्सुक हूं, इसीलिए मैं वर्गाकार तरंग का उपयोग करता हूं जो औसत का अर्थ देखना बहुत आसान है। आरएमएस भी एक औसत मूल्य है।

— जीआर टेक

मुझे ऐसा लगता है कि आप दिखाते हैं कि वास्तविक औसत शक्ति 5 वाट है और यह RMS V * RMS I = 5 वाट प्रदर्शित करता है, इस मामले के लिए, कि ओपी सही है। आप यह भी दिखाते हैं कि, इस मामले में, औसत V * औसत I = 2.5 वाट है।

— जॉर्ज व्हाइट

ठीक है मै समझ गया। भाषा की समस्या फिर से जो मैं कहने की कोशिश कर रहा था वह यह है कि गणना Vavg x Iavg सही नहीं है। मुझे हतोत्साहित करने के लिए धन्यवाद!

— जीआर टेक

यदि "RMS भी एक औसत मान है" तो RV मान बिजली लाइन वोल्टेज के बराबर नहीं है, जो कि औसत मान की तरह 0.0V के बराबर है?

— जो हस