फूरियर, लाप्लास और जेड के बीच संबंध और रूपांतरण

Question

मैं इन विषयों को लेकर थोड़ा भ्रमित हो गया हूं। वे सभी मुझे एक ही लग रहे हैं उनके पास एक ही गुण हैं जैसे कि रैखिकता, स्थानांतरण और उनसे जुड़े स्केलिंग। मैं उन्हें अलग से रखने और प्रत्येक परिवर्तन के उद्देश्य की पहचान नहीं कर सकता। इसके अलावा, आवृत्ति विश्लेषण के लिए इनमें से किसका उपयोग किया जाता है?

मुझे (Google के साथ) एक पूर्ण उत्तर नहीं मिला जो इस विशिष्ट मुद्दे को संबोधित करता है। मैं उन्हें एक ही पृष्ठ पर तुलना करके देखना चाहता हूं ताकि मुझे कुछ स्पष्टता मिल सके।

Answer 1

लाप्लास और फूरियर रूपांतरण निरंतर (इंटीग्रल) निरंतर कार्यों के रूपांतरण हैं।

लाप्लास जटिल चर s , जहां फ़ंक्शन को एक फ़ंक्शन में परिवर्तित करता है ।एफ ( रों ) रों = σ + j $f(t)$$F(s)$$s = \sigma + j\omega$

चूंकि व्युत्पन्न नक्शे , रैखिक अंतर समीकरण का लाप्लास रूपांतर एक बीजीय समीकरण है। इस प्रकार, लाप्लास परिवर्तन रेखीय अंतर समीकरणों को हल करने के लिए, अन्य बातों के अलावा उपयोगी है। sF(s$\dot f(t) = \frac{df(t)}{dt}$$sF(s)$

हम जटिल चर के असली हिस्सा सेट करते हैं रों शून्य करने के लिए, , परिणाम फूरियर बदलना है जो अनिवार्य रूप से है आवृत्ति डोमेन प्रतिनिधित्व के (ध्यान दें कि यह सच ही है यदि उस मान के लिए के फॉर्मूला में लैप्लस ट्रांसफॉर्मेशन ऑफ प्राप्त करने की फॉर्मूला मौजूद है यानी, यह अनंत तक नहीं जाता है)।एफ ( जे ω ) च ( टी ) σ च ( टी $\sigma = 0$$F(j\omega)$$f(t)$$\sigma$$f(t)$

जेड को बदलने अनिवार्य रूप से बदलने लाप्लास के एक असतत संस्करण है, और इस प्रकार को हल करने में उपयोगी हो सकता है अंतर समीकरणों, असतत संस्करण अंतर समीकरणों। Z , जटिल चर एक निरंतर फंक्शन में एक अनुक्रम नक्शे को परिवर्तित करता है ।एफ ( जेड ) जेड = आर ई जे $f[n]$$F(z)$$z = re^{j\Omega}$

अगर हम z की परिमाण को एकता, सेट करते हैं , तो परिणाम असतत समय फूरियर ट्रांसफॉर्म (DTFT) जो अनिवार्य रूप से की आवृत्ति डोमेन प्रतिनिधित्व है ।F ( j Ω ) f [ n $r = 1$$F(j\Omega)$$f[n]$

Comments

लाप्लास ट्रांसफ़ॉर्म में s एक जटिल संख्या है, जो + j कहती है , इसलिए यह पूरी तरह से काल्पनिक फ़ॉयर की तुलना में अधिक सामान्य परिवर्तन है। वास्तव में, जब तक आप कन्वर्जेंस के क्षेत्र में हैं, तब तक दोनों के बीच आगे और पीछे जाना उचित खेल है, इसके अलावा j और को एस और इसके विपरीत$\omega$$\omega$

— स्कॉट सीडमैन

मुझे लगता है कि फूरियर ट्रांसफॉर्म के बारे में सोचना उपयोगी है क्योंकि आप समय-समय पर सिग्नलों पर लागू होते हैं, और लैपलैस कुछ ऐसे बदलते हैं जैसे आप समय-समय पर सिग्नलों पर लागू होते हैं। (यह @ScottSeidman ऊपर बताए गए परिणाम का परिणाम है।)

— Li-aung Yip

@ संबद्ध: आपने वास्तव में संबोधित नहीं किया है which one of these is used for frequency analysis- पूर्णता के लिए यह संभवतः ध्यान देने योग्य है कि ज्यादातर लोग आवृत्ति विश्लेषण के लिए एफएफटी का उपयोग करते हैं, और एफएफटी कैसे पहले से सूचीबद्ध चीजों के साथ फिट बैठता है।

— ली-आंग येप

@ Li-aungYip, मुझे लगता है कि आप फूरियर श्रृंखला और फूरियर रूपांतरण का सामना कर रहे होंगे । फूरियर श्रृंखला आवधिक कार्यों के लिए है; फूरियर रूपांतरण को सीमा में फूरियर श्रृंखला के रूप में सोचा जा सकता है क्योंकि अवधि अनंत तक जाती है। तो, फूरियर रूपांतरण एपेरियोडिक संकेतों के लिए है। इसके अलावा, चूंकि आवधिक संकेत आवश्यक रूप से समय-भिन्न संकेत हैं, इसलिए मैं आपके द्वारा प्राप्त किए जा रहे भेद को "प्राप्त" नहीं करता।

— अल्फ्रेड सेंटॉरी

@ Li-aungYip इसके अलावा, FFT का उपयोग DFT की गणना के लिए किया जाता है जो DTFT नहीं है। डीटीएफ एक डीटीएफटी (जो एपेरियोडिक संकेतों के लिए निरंतर है) होने के बाद आवृत्ति डोमेन में नमूने लेने जैसा है। यह कंप्यूटर में तेजी से गणना के लिए उपयोग किया जाने वाला एक उपकरण है (ठीक है, हम इसे मैन्युअल रूप से भी उपयोग कर सकते हैं)। लेकिन FFT आपके द्वारा DTFT और CTFT के अतीत के बाद आता है।

— अंशुल

Answer 2

सीएफटी के लिए लाप्लास ट्रांसफ़ॉर्म को एक सुपर-सेट माना जा सकता है। आप देखते हैं, यदि ROC पर ट्रांसफर फ़ंक्शन की जड़ें काल्पनिक अक्ष पर निहित होती हैं, जैसे कि s = σ + jσ, ω = 0 के लिए, जैसा कि पिछली टिप्पणियों में बताया गया है, लाप्लास ट्रांसफॉर्म की समस्या निरंतर समय सीमा अवरोध में कम हो जाती है। थोड़ा पीछे लौटने के लिए, यह जानना अच्छा होगा कि लैप्लस पहले स्थान पर क्यों विकसित हुआ जब हमारे पास फूरियर ट्रांसफॉर्म थे। आप देखते हैं, फ़ंक्शन (सिग्नल) का अभिसरण एक फूरियर ट्रांसफॉर्म के अस्तित्व में होने के लिए अनिवार्य शर्त है (बिल्कुल योग्‍य), लेकिन भौतिक दुनिया में ऐसे संकेत भी हैं जहां इस तरह के अभिसरण संकेत होना संभव नहीं है। लेकिन, चूंकि उनका विश्लेषण करना आवश्यक है, इसलिए हम उन्हें अभिन्न रूप से घटते हुए घातीय e ^ a से गुणा करके उन्हें अभिसरण बनाते हैं, जिससे वे अपने स्वभाव से परिवर्तित हो जाते हैं। इस नए s + jω को एक नया नाम 's' दिया गया है, जिसे हम अक्सर एलटीआई सिस्टम के साइनसॉइडल सिग्नल प्रतिक्रिया के लिए 'j' के रूप में प्रतिस्थापित करते हैं। एस-प्लेन में, अगर एक लैपल्स ट्रांसफॉर्म का आरओसी काल्पनिक अक्ष को कवर करता है, तो यह फूरियर ट्रांसफॉर्म हमेशा मौजूद रहेगा, क्योंकि सिग्नल कंवर्ट हो जाएगा। यह काल्पनिक अक्ष पर ये संकेत हैं जिनमें आवधिक संकेतों का समावेश होता है e ^ j cos = cos +t + j sin Et (By Euler)।

बहुत कुछ उसी तरह से, z- परिवर्तन, DTFT के लिए एक विस्तार है, पहला, उन्हें रूपांतरित करना, दूसरा, हमारे जीवन को बहुत आसान बनाने के लिए। Ae ^ j setting (सेटिंग r, त्रिज्या के रूप में ROC की त्रिज्या) से az से निपटना आसान है।

इसके अलावा, आप गैर-कारण वाले संकेतों के लिए लाप्लास की तुलना में फूरियर ट्रांसफॉर्म का उपयोग करने की अधिक संभावना रखते हैं, क्योंकि एकतरफा (एक तरफा) रूपांतरों के रूप में उपयोग किए जाने पर लाप्लास ट्रांसफ़ॉर्म जीवन को बहुत आसान बनाते हैं। आप उन्हें दोनों पक्षों पर भी उपयोग कर सकते हैं, परिणाम कुछ गणितीय भिन्नता के साथ समान होगा।

Comments

आपका उत्तर बहुत ही सुरक्षित है .... इतने सटीक और महान विवरण के लिए अंगूठे ..

— प्रवीण पौडेल

Answer 3

फ़ॉयर ट्रांसफ़ॉर्म फ़्रीक्वेंसी डोमेन में एक समय-भिन्न फ़ंक्शन को परिवर्तित / प्रस्तुत करने के लिए होते हैं।

"इंटीग्रल डोमेन" में एक समय-भिन्न फ़ंक्शन को परिवर्तित / प्रतिनिधित्व करने के लिए एक लैप्लस परिवर्तन होता है

ज़ेड-ट्रांसफ़ॉर्म लैप्लस के समान हैं, लेकिन डिजिटल कार्यान्वयन के लिए असतत समय-अंतराल रूपांतरण हैं।

वे सभी समान दिखाई देते हैं क्योंकि कनवर्ट करने के लिए उपयोग किए जाने वाले तरीके बहुत समान हैं।

Answer 4

मैं इलेक्ट्रिक सर्किट पर आधारित एक उदाहरण के साथ लाप्लास और फूरियर रूपांतरण के बीच के अंतर को समझाने की कोशिश करूंगा। इसलिए, मान लें कि हमारे पास एक प्रणाली है जिसे एक ज्ञात अंतर समीकरण के साथ वर्णित किया गया है, उदाहरण के लिए कहें कि हमारे पास एक सामान्य आरएलसी सर्किट है। यह भी मान लें कि सर्किट को चालू या बंद करने के लिए एक सामान्य स्विच का उपयोग किया जाता है। अब अगर हम साइनसॉइड स्थिर स्थिति में सर्किट का अध्ययन करना चाहते हैं तो हमें फूरियर रूपांतरण का उपयोग करना होगा। अन्यथा, यदि हमारे विश्लेषण में स्विच ऑन या स्विच ऑफ सर्किट शामिल है, तो हमें अंतर समीकरणों के लिए लाप्लास परिवर्तन को लागू करना होगा।

दूसरे शब्दों में, लैप्लस परिवर्तन का उपयोग प्रारंभिक अवस्था से अंतिम साइनस स्थिर अवस्था तक सिस्टम की प्रतिक्रिया के क्षणिक विकास का अध्ययन करने के लिए किया जाता है। इसमें न केवल सिस्टम की प्रारंभिक स्थिति से क्षणिक घटना शामिल है, बल्कि अंतिम साइनसोइड स्थिर स्थिति भी है।

Answer 5

विभिन्न नौकरियों के लिए विभिन्न उपकरण। सोलहवीं शताब्दी के अंत में खगोलविद गंदे गणना करना शुरू कर रहे थे। लॉगरिथम की गणना पहले गुणन और विभाजन को आसान जोड़ और घटाव में बदलने के लिए की गई थी। इसी तरह, लाप्लास और Z रूपांतरों में गंदे अंतर समीकरणों को बीजीय समीकरणों में बदल देते हैं जो आपके पास हल करने का एक मौका है। फूरियर श्रृंखला को मूल रूप से ईंटों और अन्य आंशिक अंतर समीकरणों में गर्मी के प्रवाह को हल करने के लिए आविष्कार किया गया था। वाइब्रेटिंग स्ट्रिंग्स, ऑर्गन पाइप्स और टाइम सीरीज़ एनालिसिस का एप्लिकेशन बाद में आया।

Answer 6

ट्रांसफर फ़ंक्शन की गणना के लिए किसी भी एलटीआई सिस्टम में हम फूरियर या जेड ट्रांसफॉर्म के बजाय केवल लैप्लस ट्रांसफॉर्म का उपयोग करते हैं क्योंकि फूरियर में हमें बाउंडेड आउटपुट मिलता है, यह अनंत तक नहीं जाता है। और z ट्रांस्फ़ॉर्म का उपयोग असतत संकेतों के लिए किया जाता है, लेकिन LTI सिस्टम निरंतर सिग्नल हैं इसलिए हम z ट्रांस्फ़ॉर्मेशन का उपयोग नहीं कर सकते हैं .. इसलिए लैप्लस ट्रांसफ़ॉर्मेशन का उपयोग करके हम किसी भी LTI सिस्टम के ट्रांसफ़र फ़ंक्शन की गणना कर सकते हैं।