किस स्थिति में स्टार-मेश ट्रांसफॉर्म उलटा है?

Question

हम सभी जानते हैं और Δ-Y (डेल्टा-वाई) और वाई-w (वाई-डेल्टा) से प्यार करते हैं, तीन-प्रतिरोधी नेटवर्क को सरल बनाने के लिए रूपांतरित करते हैं:

क्रिएटिव कॉमन्स से छवि

The-Y और Y-s ट्रांसफ़ॉर्म में अच्छी संपत्ति है कि be को हमेशा वाई में बदल दिया जा सकता है, और वाई को हमेशा Δ में बदल दिया जा सकता है, इसमें कोई फर्क नहीं पड़ता कि इसमें शामिल प्रतिरोधों का मूल्य है।

स्टार-मेश ट्रांसफॉर्म नामक Y-general ट्रांसफॉर्म का एक सामान्यीकृत संस्करण है । यह $N$ रेसिस्टर्स के "स्टार " को एन सी 2 रेसिस्टर्स के "मेश" में बदल देता है ।$^{N}C_{2}$

क्रिएटिव कॉमन्स से छवि

विकिपीडिया का सुझाव है कि स्टार-टू-मेश ट्रांसफ़ॉर्म हमेशा मौजूद रहेगा - लेकिन इसका उलटा ट्रांसफॉर्म, मेश-टू-स्टार, नहीं हो सकता है मौजूद है। अर्थात:

परिवर्तन एन प्रतिरोधों को एन सी 2 के साथ बदल देता है$^{N}C_{2}$ प्रतिरोधों के । एन> 3 के लिए, परिणाम प्रतिरोधों की संख्या में वृद्धि है, इसलिए अतिरिक्त बाधाओं के बिना परिवर्तन का कोई सामान्य व्युत्क्रम नहीं है।

क्या अड़चनें हैं जो उलटे अस्तित्व के लिए संतुष्ट होनी चाहिए?

मैं विशेष रूप से 4-नोड जाल नेटवर्क को 4-रोकनेवाला स्टार नेटवर्क में परिवर्तित करने में रुचि रखता हूं।

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प्रश्न के लिए प्रेरणा: मेरे पास एक औद्योगिक पावर सिस्टम मॉडल है (वास्तव में निरंतर-वोल्टेज स्रोतों और प्रतिबाधाओं का एक बहुत बड़ा नेटवर्क) जिसमें ~ 2,000 नोड्स हैं। मैं इसे ब्याज के सिर्फ चार नोड्स तक कम करने का प्रयास कर रहा हूं।

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संपादित करें:

इस विषय पर कुछ प्रकाशित पत्र हैं।

• वर्सफेल्ड, एल।, "विद्युत नेटवर्क के स्टार-मेष परिवर्तन पर टिप्पणी करता है," इलेक्ट्रॉनिक्स पत्र, खंड 6, नंबर 19, पीपी। 597,599, 17 सितंबर 1970

  जाने-माने स्टार-मेष परिवर्तन के दो नए पहलुओं का अध्ययन किया जाता है: (ए) किसी दिए गए सामान्य जाल नेटवर्क के बराबर स्टार नेटवर्क में परिवर्तन के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्तें; (b) स्रोतों वाले नेटवर्क का विस्तार।

• बापेश्वर राव, वीवी; अत्रे, वीके, "मेष-स्टार परिवर्तन," इलेक्ट्रॉनिक्स लेटर्स, vol.10, no.6, pp.73,74, 21 मार्च 1974

  किसी दिए गए जाल नेटवर्क के लिए एक समतुल्य स्टार नेटवर्क मौजूद है यदि बाद वाला व्हीटस्टोन रिलैफ्लोनेशिप को संतुष्ट करता है। इस तथ्य का उपयोग करते हुए, यह दिखाया गया है कि इस तरह के एक जाल नेटवर्क के डेटम-नोड एडमिट मैट्रिक्स के सभी ऑफडागोनल कोफ़ैक्टर्स समान हैं। इस संपत्ति से, दो नेटवर्क के तत्वों के बीच एक सरल संबंध प्राप्त होता है।

मेरे पास IEEE Xplore नहीं है इसलिए मैं उन्हें नहीं पढ़ सकता।

Comments

@ user26129: यह सवाल उसी नस में है जैसे सर्किट विश्लेषण के सवाल हैं कि EE.SE को पहले ही टन हो जाता है। केवल असामान्य हिस्सा यह है कि यह स्नातक पाठ्यक्रम नहीं है, और यह एक सामान्य प्रश्न है जो एक पाठ्यपुस्तक के विशिष्ट अभ्यास के बजाय है।

— Li-aung Yip

@ Li-aungYip: मैं आपके प्रश्न को EE.SE में डालने की वैधता पर विवाद नहीं कर रहा हूं, लेकिन मेरा मानना ​​है कि आपको कहीं और अधिक और बेहतर प्रतिक्रियाएं मिलेंगी। मैं उत्तर पाने में आपकी मदद करने की कोशिश कर रहा हूं, अपने सवाल को कम करने की कोशिश नहीं कर रहा हूं;)

— user36129

@ user26129: आह! किसी भी मामले में, वांछित जवाब जुड़ा हुआ है इलेक्ट्रॉनिक्स पत्र पत्रों में - मैं उनकी एक प्रति प्राप्त करने की कोशिश कर रहा हूं, इसलिए मैं उन्हें पढ़ सकता हूं और यहां के उत्तर के रूप में प्रासंगिक भागों को पोस्ट कर सकता हूं।

— Li-aung Yip

@ Li-aungYip अच्छी तरह से, अगर वह सब आप की जरूरत है ... कार्यकुशलता

— .nl

मुझे वास्तव में नहीं मिला कि जाल नेट में विभिन्न प्रतिरोधों की गणना कैसे की जाती है, जो स्टार नेट रेसिस्टर्स को देखते हैं, लेकिन चूंकि रेसिस्टर की संख्या अतिरिक्त बाधाओं को बढ़ाती है, जिसके लिए आप मनमानी कर रहे हैं। व्युत्क्रम परिवर्तन के समीकरणों को हल करने से समीकरणों की एक प्रणाली बनती है जिसमें समीकरणों की तुलना में अधिक चर होते हैं, इसलिए आप बस कुछ प्रतिरोधों को चुनते हैं और फिर दूसरों की गणना करते हैं।

— व्लादिमीर क्रेवरो

Answer 1

$N_b$$N_b=N_e-N_v$$N_e$$N_v$$G_{AB}G_{CD}=G_{AC}G_{BD}=G_{AD}G_{BC}$ , दूसरे शब्दों में, बिना नोड के प्रतिरोध के बीच के उत्पाद समान होने चाहिए।

$G_{XY}=\frac{G_XG_Y}{G_{TOT}}$$G_{TOT}=\sum_{i=1}^nG_i$$G_{XY}\ne0$$\frac{G_X}{G_Y}=\frac{G_{XZ}}{G_{YZ}}$$\frac{G_A}{G_B}=\frac{G_{AC}}{G_{BC}}=\frac{G_{AD}}{G_{BD}}\Rightarrow G_{AC}G_{BD}=G_{AD}G_{BC}$$\frac{G_C}{G_D}=\frac{G_{AC}}{G_{AD}}=\frac{G_{BC}}{G_{BD}}$$G_{AB}G_{CD}=G_{AD}G_{BC}$$G_{AB}G_{CD}=G_{AC}G_{BD}$$G_{AB}G_{CD}=G_{AC}G_{BD}=G_{AD}G_{BC}$ condition. So this is a necessary condition. But if the ratio between any two conductances of the mesh is known ,we can express the $G_{TOT}$ depending on only one of those, like $G_{TOT}=G_{A}+G_B+G_C+G_D=G_A(1+\beta+\gamma+\delta)$, where $\beta=\frac{G_B}{G_A}=\frac{G_{BC}}{G_{AC}}=\frac{G_{BD}}{G_{AD}}$, and so on..$\Rightarrow G_{AB}=\frac{G_AG_B}{G_{TOT}}=\frac{G_AG_B}{G_A(1+\beta+\gamma+\delta)}=\frac{G_B}{(1+\beta+\gamma+\delta)}\Rightarrow G_B=G_{AB}(1+\beta+\gamma+\delta)$. With similar calculations we can find all the 4 conductances(resistances) of the star.

I suppose all of this means the condition is also a sufficient condition.

Comments

Are $G_{AB}G_{CD}=G_{AC}G_{BD}=G_{AD}G_{BC}$ necessary conditions, sufficient conditions, or necessary and sufficient conditions?

— Li-aung Yip

Answer 2

What this is saying (whether it is true or not) is that there exists more than one way of assigning values to a star network of five resistors such that all the configurations appear indistinguishable according to all external "blackbox" measurements of resistance.

The mesh transformation is a red herring here. If the star networks were uniquely determined, then of course there would always be an inverse of any mapping from that network to any other type, back to that network.