क्या किसी को यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म के बारे में यह लेख याद है?

Question

70 के दशक में मेरे पास पुरानी एमेच्योर रेडियो पत्रिकाओं (50 -60 के दशक) का ढेर था, और लंबे समय तक मैंने एक विशिष्ट मूल्य प्राप्त करने के लिए कई प्रतिरोधों को संयोजित करने के लिए यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म का उपयोग करने के बारे में एक लेख को बचाया । क्या किसी को याद है और इस लेख की एक प्रति है, या पता है कि इस समस्या को हल करने के लिए यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म कैसे लागू किया जाता है?

Answer 1

यह वास्तव में निरंतर भिन्न के सिद्धांत पर आधारित है , जो दो संख्याओं के बीच जीसीडी को खोजने के लिए यूक्लिड की विधि से निकटता से संबंधित है।

यहाँ एक उदाहरण है: मान लीजिए कि आपके पास 10K परिशुद्धता प्रतिरोधों का एक गुच्छा है, और आपको अपनी परियोजना के लिए 27K के प्रतिरोध मूल्य की आवश्यकता है। आपको उस प्रतिरोध का उत्पादन करने के लिए श्रृंखला और / या समानांतर में 10K प्रतिरोधों के कुछ संयोजन की आवश्यकता है।

दो प्रतिरोधों के अनुपात को लिखकर शुरू करें:

27K / 10K = 2.7

इसका मतलब है कि आपको कुछ प्रतिरोधों के साथ श्रृंखला में दो प्रतिरोधों की आवश्यकता है जो एक अवरोधक के 0.7 देता है।

निरंतर भिन्न की अवधारणा का उपयोग करके, आप 2.7 को 2 + 1 / 1.42857 के रूप में फिर से लिख सकते हैं। इसके अलावा, आप 1.42587 को 1 + 1 / 2.3333 में तोड़ सकते हैं।

अब, यदि आप पहले अंश को फिर से देखते हैं, तो इसे लिखा जा सकता है

$$\frac{1}{1.42857} = \frac{1}{\frac{1}{1}+\frac{1}{2.3333}}$$

ध्यान दें कि यह समानांतर में दो प्रतिरोधों के लिए अभिव्यक्ति होता है; इस मामले में, 2.3333 प्रतिरोधों के साथ समानांतर में एक रोकनेवाला।

आप 2.333 प्रतिरोधों के साथ कैसे आते हैं? आप एल्गोरिथ्म के माध्यम से फिर से पुनरावृति कर सकते हैं, लेकिन यह निरीक्षण से स्पष्ट होना चाहिए कि आपको तीन प्रतिरोधों के समानांतर संयोजन के साथ श्रृंखला में दो प्रतिरोधों की आवश्यकता है। अंतिम नेटवर्क इस तरह दिखता है, और इसमें ठीक 27K का प्रतिरोध है।

^{इस सर्किट का अनुकरण करें - सर्किटलैब का उपयोग करके बनाई गई योजनाबद्ध}

जाहिर है, सभी उदाहरण इस अच्छी तरह से काम नहीं करेंगे। सामान्य तौर पर, आपको यह तय करना होगा कि आपके द्वारा अब तक किए गए नेटवर्क की सटीकता के आधार पर पुनरावृति को कब रोकना है "पर्याप्त पास"।

एल्गोरिथ्म का सामान्यीकृत रूप इस प्रकार है: अनुपात X निर्धारित करें = आर _{वांछित} / आर _{उपलब्ध} । X को एक निरंतर भिन्न के रूप में लिखें, जहाँ A, B, C, D, E, आदि सभी पूर्णांक हैं:

$$X = A + \frac{1}{B + \frac{1}{C + \frac{1}{D + \frac{1}{E + \frac{1}{...}}}}}$$

के साथ अपना नेटवर्क बनाएँ

• श्रृंखला में एक प्रतिरोधक ...
• बी प्रतिरोधों के साथ समानांतर में ...
• सी के साथ श्रृंखला में प्रतिरोधों ...
• डी के साथ समानांतर में प्रतिरोधों ...
• ई के साथ श्रृंखला में प्रतिरोधों ...

... और इसी तरह, जब तक आप या तो एक उप-अभिव्यक्ति प्राप्त करते हैं जिसमें कोई आंशिक भाग नहीं होता है, या आपको वांछित परिणाम के लिए "करीब पर्याप्त" मिलता है।

ध्यान दें कि यदि X को शुरू करने के लिए एक से कम है, तो A शून्य होगा, जिसका सीधा अर्थ है कि आप प्रतिरोधों के समानांतर संयोजन के साथ शुरू कर रहे हैं और वहां से आगे बढ़ रहे हैं। यह भी ध्यान दें कि जब तक X एक परिमेय संख्या है, तब तक निरंतर भिन्नता का क्रम परिमित रहेगा।

Comments

यह निर्माण (जब एक ही मूल्यवान प्रतिरोधों का उपयोग करते हुए) को स्टर्न-ब्रोच ट्री सन्निकटन के रूप में जाना जाता है । मुझे आश्चर्य है कि कैसे इसे बिन भागों में एक से अधिक मानों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है ...

— फिज़ी