F + F '= 1 क्यों करता है?

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मेरे पास फ़ंक्शन है: $f(x,y,z,w) = wx + yz$

मैं इसके पूरक समारोह पाया जा करने के लिए: $f '(x,y,z,w) = w'y' + w'z' + x'y' + x'z'$

मुझे यह दिखाना होगा: $f + f '=1$ लेकिन मैं यह नहीं देख सकता कि यह कैसे करना है।

ऐसा लगता है जैसे वहाँ कुछ भी नहीं है जो एक दूसरे को रद्द करता है।

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जैसा कि सुझाव दिया गया है, मैंने अब DeMorgan की प्रमेय का उपयोग किया है और यह पाया है:

$f + f' = wx+yz+(w+y)'+(w+z)'+(x+y)'+(y+z)'$

लेकिन यह अभी भी मुझे लगता है कुछ भी नहीं है कि मुझे की प्राप्ति के करीब लाता है है कि वहाँ $f+f' = 1$

boolean-algebra

— कार्ल
स्रोत

6

संकेत: DeMorgan के नियम का प्रयोग करें

— Spehro Pefhany

11

या तो f या f '1 होना चाहिए

— Chu

4

आपके पास केवल 4 इनपुट हैं। यदि और कुछ नहीं है, तो आप बस एक सत्य तालिका लिख सकते हैं।

— फोटॉन

2

Spehro पैसे पर सही है, लेकिन हाँ पहले कदम के रूप में DeMorgan को लागू करने से मदद नहीं मिलती है। तो Spehro के संकेत पर थोड़ा विस्तार करने के लिए: समाधान में कुछ मूल बीजगणित करना शामिल है, जिसमें DeMagon एक कदम के रूप में शामिल है। सरल बीजगणित + डीमॉर्गन का उपयोग करके आप f 'फ़ंक्शन को f के स्पष्ट रूप से स्पष्ट निषेध में बदल सकते हैं। कागज़ के एक टुकड़े पर इसका वर्णन करते हुए, ऐसा करने में मुझे सिर्फ 4 कदम लगे।

— श्री स्न्रब सिप

1

@ Mr.Snrub का पहला चरण "मुझे इसका पूरक फ़ंक्शन मिला" होना चाहिए (wx + yz)

— ऑरेंजडॉग

4

चूंकि कार्ल ने अच्छी तरह से पूछा। शुरू बिंदु:

f (x, y, z, w) = w x + y z

$f(x,y,z,w)=wx+yz$ और

f' (x, y, z, w) = w' y' + w' z' + x' y' + x' z'

$f′(x,y,z,w)=w′y′+w′z′+x′y′+x′z′$

साथ निम्नलिखित कदम उठाने $f'$ :

f' (x, y, z, w) = w' (y' + z') + x' (y' + z')

$f′(x,y,z,w)=w′(y′+z′)+x′(y′+z′)$

f' (x, y, z, w) = (w' + x^{'}) (y' + z')

$f′(x,y,z,w)=(w′+x')(y′+z′)$ DeMorgan:

f' (x, y, z, w) = (w x)' (y z)^{'}

$f′(x,y,z,w)=(wx)′(yz)'$ DeMorgan, फिर:

f' (x, y, z, w) = (w x + y z)^{'}

$f′(x,y,z,w)=(wx + yz)'$ तो अब

f^{'}

$f'$ के दाहिने हाथ की ओर

के दाएं हाथ की सरल उपेक्षा है

f

$f$ । कौन सा, एक छोटे से विरोधी चरम है, क्योंकि अब हम सिर्फ इस तथ्य पर भरोसा करते हैं कि किसी भी अभिव्यक्ति

x + x^{'} = 1

$x + x' = 1$ , जो है क्या लोगों के बारे में के साथ सभी कह दिया है

f + f^{'} = 1

$f+f'=1$ , लेकिन कम से कम यह एक छोटे से प्रदान करता है बूलियन-बीजगणित स्पष्टीकरण क्यों सच है के लिए।

— श्री स्नब
स्रोत

मुझे समझ में नहीं आ रहा है कि आपको अपने अंतिम उत्तर से गुजरने के बिना दूसरी पंक्ति में कैसे मिला। आपका अंतिम उत्तर मेरा पहला कदम था: यह दोनों पक्षों की उपेक्षा है।

— सी। लंगे

पहली दो पंक्तियाँ ओपी द्वारा दिए गए सूत्र हैं। वे शुरुआती बिंदु हैं, परिभाषा के अनुसार। मैं इस बात से पूरी तरह सहमत हूं कि बाद में सामान ओपी के पहले दो फॉर्मूले की व्युत्पत्ति का हिस्सा हो सकता है। लेकिन हमारे पास वह जानकारी नहीं है; हम सिर्फ पुष्टि नहीं कर सकते।

— श्री स्न्रब सिप

Understood -- on the assumption that

f

$f$ and

f^{'}

$f'$ were given in the question like OP has written them out. My understanding was that OP had already tried to expand

f^{'}

$f'$ and didn't know where to go from there.

— C. Lange

41

The point is, it really doesn't matter what the function $f()$ actually is. The key fact is that its output is a single binary value.

It is a fundamental fact in Boolean algebra that the complement of a binary value is true whenever the value itself is false. This is known as the law of excluded middle. So ORing a value with its complement is always true, and ANDing a value with its complement is always false.

It's nice that you were able to derive the specific function $f'()$ , but that's actually irrelevant to the actual question!

— Dave Tweed
स्रोत

1

This is known as the law of excluded middle.

— BallpointBen

@BallpointBen: Thanks! I added it to my answer.

— Dave Tweed

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All previous answers are correct, and very much in depth. But a simpler way to approach this might be to remember that in boolean algebra, all values must be either 0 or 1.

So... either F is 1, then F' is 0, or the other way around: F is 0 and F' is 1. If you then apply the boolean OR-function: F + F', you will always have one of both terms 1, so the result will always be 1.

— Opifex
स्रोत

11

मेरा उत्तर डेव ट्वीड के समान है, जिसका अर्थ है कि मैंने इसे अधिक औपचारिक स्तर पर रखा है। मैंने स्पष्ट रूप से बाद में जवाब दिया, लेकिन मैंने तब भी इसे पोस्ट करने का फैसला किया क्योंकि किसी को यह दृष्टिकोण दिलचस्प लग सकता है।

आप जिस संबंध को साबित करने की कोशिश कर रहे हैं, वह फ़ंक्शन की संरचना से स्वतंत्र है $f$ since it is, as a matter of fact, a tautology. To explain what I mean, I propose a demonstration for a general, correctly formed, Boolean expression $P$ in an arbitrary number of Boolean variables, say $n\in\Bbb N$ , $y_1,\ldots,y_n$ , where $y_i\in\{0,1\}$ for all $i=1,\ldots,n$ .
We have that $P(y_1,\ldots,y_n)\in\{0,1\}$ and consider the following two sets of Boolean values for the $n$ -dimensional Boolean vector $(y_1,\ldots,y_n)$

\begin{aligned} Y & = {(y_{1}, \dots, y_{n}) \in {0, 1}^{n} | P (y_{1}, \dots, y_{n}) = 1} \\ \bar{Y} & = {(y_{1}, \dots, y_{n}) \in {0, 1}^{n} | P (y_{1}, \dots, y_{n}) = 0} \end{aligned}

$\begin{align} Y&=\{(y_1,\ldots,y_n)\in\{0,1\}^n|P(y_1,\ldots,y_n)=1\}\\ \bar{Y}&= \{(y_1,\ldots,y_n)\in\{0,1\}^n|P(y_1,\ldots,y_n)=0\} \end{align}$ These set are a partition of the full set of values the input Boolean vector can assume, i.e.

Y \cup \bar{Y} = {0, 1}^{n}

$Y\cup\bar{Y}=\{0,1\}^n$ and

Y \cap \bar{Y} = \emptyset

$Y\cap\bar{Y}=\emptyset$ (the empty set), thus

\begin{aligned} P (y_{1}, \dots, y_{n}) & = {\begin{cases} 0 & if (y_{1}, \dots, y_{n}) \in \bar{Y} \\ 1 & if (y_{1}, \dots, y_{n}) \in Y \end{cases} \\ ⇕ \\ P^{'} (y_{1}, \dots, y_{n}) & = {\begin{cases} 1 & if (y_{1}, \dots, y_{n}) \in \bar{Y} \\ 0 & if (y_{1}, \dots, y_{n}) \in Y \end{cases} \end{aligned}

$\begin{align} P(y_1,\ldots,y_n)&= \begin{cases} 0&\text{if }(y_1,\ldots,y_n)\in \bar{Y}\\ 1&\text{if }(y_1,\ldots,y_n)\in Y\\ \end{cases}\\ &\Updownarrow\\ P'(y_1,\ldots,y_n)&= \begin{cases} 1&\text{if }(y_1,\ldots,y_n)\in \bar{Y}\\ 0&\text{if }(y_1,\ldots,y_n)\in Y\\ \end{cases} \end{align}$ therefore we always have

P + P^{'} = 1 \forall (y_{1}, \dots, y_{n}) \in {0, 1}^{n}

$P+P'=1\quad\forall(y_1,\ldots,y_n)\in\{0,1\}^n$

— Daniele Tampieri
स्रोत

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All good answers that provide the necessary justification in one way or the other. Since it is a tautology, it's hard to create a proof that doesn't just result in "it is what it is!". Perhaps this method help tackle it from yet another, broader angle:

Expand both statements to include their redundant cases, and the remove the repeated cases:

$𝑓=𝑤𝑥+𝑦𝑧\\ \ \ =wx\cdot(y'z'+y'z+yz'+yz)\ +\ yz\cdot(x'w'+x'w+xw'+xw)\\ \ \ =wxy'z'+wxy'z+wxyz'+wxyz\ +\ yzx'w'+yzx'w+yzxw'+yzxw\\ \ \ =wxy'z'+wxy'z+wxyz'+wxyz\ +\ yzx'w'+yzx'w+yzxw'$

and

$𝑓′=𝑤′𝑦′+𝑤′𝑧′+𝑥′𝑦′+𝑥′𝑧′\\ \ \ \ = w'y'\cdot(x'z'+x'z+xz'+xz)\ +\ 𝑤′𝑧′\cdot(x'y'+x'y+xy'+xy)\ +\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x′y′\cdot(w'z'+w'z+wz'+wz)\ +\ x′𝑧′\cdot(w'y'+w'y+wy'+wy)\\ \ \ \ = w'y'x'z'+w'y'x'z+w'y'xz'+w'y'xz\ +\ 𝑤′𝑧′x'y'+𝑤′𝑧′x'y+𝑤′𝑧′xy'+𝑤′𝑧′xy\ +\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x′y′w'z'+x′y′w'z+x′y′wz'+x′y′wz\ +\ x′𝑧′w'y'+x′𝑧′w'y+x′𝑧′wy'+x′𝑧′wy\\ \ \ \ = w'y'x'z'+w'y'x'z+w'y'xz'+w'y'xz\ +\ 𝑤′𝑧′x'y+𝑤′𝑧′xy\ +\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x′y′wz'+x′y′wz\ +\ x′𝑧′wy$

I've kept the terms in consistent order to make the derivation more obvious, but they could be written alphabetically to be clearer. In any case, the point is that $f$ ORs seven 4-bit cases, and $f'$ ORs nine, distinct 4-bit cases. Together they OR all sixteen 4-bit cases, so reduce to $1$ .

— Heath Raftery
स्रोत

4

+1 this is the only answer that is answering the true intention of the OPs question, which is to do some Boolean algebra rather than making theoretical arguments. But per my comment on the OP, note that a more elegant solution does exist; this problem can be solved without needing to add in the redundant cases.

— Mr. Snrub

I would very much like to see that as well. That is, if you have the time and the generosity to do it.t

— Carl

8

F + F' = 1 means that you have to show that no matter the state of the 4 inputs, OR'ing the result of those 2 always result in 1,

A few minutes in excel shows it is indeed the case. You can use "NOT()" to invert between 0 and 1 in excel.

F = W * X + Y * Z

F' = W' * Y' + W' * Z' + X' * Y' + X' * Z'

As to why this is the case, If you want F to be false, e.g. setting W and Y low, you just made F' true. If you make X and Z low, you also made F" true, same for swapping there pairs.

— Reroute
स्रोत

2

"F + F' = 1 means that you have to show that no matter the state of the 4 inputs, OR'ing the result of those 2 always result in 1" . No, it doesn't. It merely means that you have to show that regardless of the output (which can only have two possibilities) and the corresponding output of its complement, the relation holds. The inputs are irrelevant, as is the function. The only truth table needed is the one showing the relationship between the output of the function and the output of anything qualifying as its complement.

— Chris Stratton

@ChrisStratton, that depends if the question is to show that the OR of a function and its complement is always 1 (which is trivial by definition of the complement) or to show that the proposed function F' is actually the complement of F. From OP's wording, I think they had a 2 part problem. Part A: find the complement function. Part B: show that it actually is the complement.

— The Photon

0

By simple definition of $+$ (OR) and $′$ (NOT)

 A | B | A + B
---------------
 0 | 0 |   0
 1 | 0 |   1
 0 | 1 |   1
 1 | 1 |   1

 A | A′| A + A′
----------------
 0 | 1 |   1
 1 | 0 |   1

$∴ ∀f. f + f′ = 1$

— OrangeDog
स्रोत