क्या किताब Nyquist नमूनाकरण मानदंड के बारे में गलत है?

Question

क्या पुस्तक से निम्न कथन गलत है?

मैंने सोचा कि सिग्नल के उच्चतम आवृत्ति घटक के साथ दो बार नमूना लेना पूरी तरह से सिग्नल को पुनर्प्राप्त करने के लिए पर्याप्त होगा। लेकिन ऊपर यह कहता है कि दो बार नमूना लहर की तरह देखा-दाँत बनाता है। क्या किताब गलत है?

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सिग्नल को पूरी तरह से ठीक करने के लिए वे महत्वपूर्ण वाक्यांश हैं। Nyquist यह नहीं कहता है कि आप नमूनों को एक सीधी रेखा से जोड़ सकते हैं और मूल संकेत प्राप्त कर सकते हैं, लेकिन संकेत को पुनर्प्राप्त करने के लिए आवश्यक जानकारी है। तो पुस्तक सही है कि जब आप डॉट्स कनेक्ट करते हैं तो सिग्नल कैसा दिखता है, और Nyquist सही है कि आप नमूनों से क्या पुनर्प्राप्त करने में सक्षम हैं।

— जॉन डी

तकनीकी रूप से, बिल्कुल 2x की एक नमूना आवृत्ति , इनपुट मूल सिग्नल को फिर से संगठित करने की अनुमति नहीं देता है, जब तक कि आप किसी तरह यह भी नहीं जानते हैं कि आप चोटियों / गर्तों पर नमूना ले रहे हैं। बस थोड़ा सा तेजी से सिद्धांत में आवश्यक है (और व्यवहार में काफी तेज)।

— जस्टिन

Nyquist विशेष रूप से उल्लेख करता है कि संकेत बैंड सीमित है। इनपुट को सीमित करने वाले बैंड का अक्सर उल्लेख किया जाता है लेकिन आउटपुट को सीमित करने वाले बैंड का अक्सर उल्लेख नहीं किया जाता है। यदि आप त्रिकोण तरंग को अपने मूल सिग्नल तक सीमित करते हैं तो आपको साइन वेव वापस मिल जाएगा।

— विनी_आई

यदि आप नमूने को निरूपित करने वाले छोटे डॉट्स की गणना करते हैं, तो उन प्रत्येक आरेखों में नमूना दर दो के एक कारक से बंद है - नमूना क्रमशः 2x, 4x और 8x पर है।

— तिमिस्कॉट

@ sidA30 जब तक आपके पास उत्तर लिखने का समय नहीं है, तब तक सही प्रक्रिया का इंतजार करना है, न कि अपनी सुविधानुसार पॉलिसी को तोड़ना है।

— पाइप

Answer 1

मैंने सोचा कि सिग्नल के उच्चतम आवृत्ति घटक के साथ दो बार नमूना लेना पूरी तरह से सिग्नल को पुनर्प्राप्त करने के लिए पर्याप्त होगा। लेकिन ऊपर यह कहता है कि दो बार नमूना लहर की तरह देखा-दाँत बनाता है। क्या किताब गलत है?

किताब गलत है, लेकिन उस कारण के लिए नहीं जो आप सोचते हैं। यदि आप उन बिंदुओं पर स्क्विंट करते हैं जो नमूनों को इंगित करते हैं, तो यह दो बार आवृत्ति पर नमूना ले रहा है जो यह कहता है।

तो सबसे पहले, आपको कुछ संकेतों को आकर्षित करना चाहिए और उन्हें खुद का नमूना देना चाहिए (या यदि आप पेंसिल और कागज पर नहीं हैं, तो गणित पैकेज का उपयोग करें)।

दूसरा, द न्यूक्विस्ट प्रमेय कहता है कि यह है किसी सिग्नल का पुनर्निर्माण करना सैद्धांतिक रूप से संभव है यदि आप पहले से ही जानते हैं कि सिग्नल सामग्री का स्पेक्ट्रम सैंपलिंग दर 1/2 से कम है।

आप इसे कम-फ़िल्टर करके सिग्नल को फिर से बनाते हैं। फ़िल्टर करने से पहले, संकेत विकृत हो सकता है, इसलिए आपको यह जानना होगा कि आप क्या देख रहे हैं कि परिणाम ठीक दिख सकता है। इसके अलावा, आपकी सिग्नल सामग्री का स्पेक्ट्रम Nyquist की सीमा के करीब है, तेज कटऑफ आपके एंटी-एलियास और पुनर्निर्माण फिल्टर में होना चाहिए। यह सिद्धांत रूप में ठीक है, लेकिन व्यवहार में समय डोमेन में एक फिल्टर की प्रतिक्रिया लगभग उसी अनुपात में मिलती है कि वह अपने पासबैंड से अपने स्टॉपबैंड तक कितनी तेजी से संक्रमण करता है। तो सामान्य तौर पर, यदि आप कर सकते हैं, तो आप Nyquist के ऊपर अच्छी तरह से नमूना लेते हैं।

यहाँ एक चित्र है जो आपकी पुस्तक के साथ कहा जाना चाहिए था।

केस ए: प्रति चक्र एक नमूना (नमूने स्पष्ट किए गए)

केस बी: प्रति चक्र दो नमूने, चौराहों पर उतरना - ध्यान दें कि यह है ही आउटपुट है प्रति चक्र मामले में एक नमूना , लेकिन केवल इसलिए कि मैंने चौराहों पर पहले एक का नमूना लिया।

केस सी: फिर से, प्रति चक्र दो नमूने, लेकिन इस बार चरम सीमा पर। यदि आप बिल्कुल नमूना सिग्नल कंपोनेंट फ्रीक्वेंसी दो बार लेते हैं, तो आप पुनर्निर्माण नहीं कर सकते। सिद्धांत रूप में आप ओह-थोड़ा-थोड़ा कम नमूना ले सकते हैं, लेकिन आपको आवेग प्रतिक्रिया के साथ एक फिल्टर की आवश्यकता होगी जो परिणाम के लिए पर्याप्त फैला हुआ है ताकि आप पुनर्निर्माण कर सकें।

केस D: सिग्नल आवृत्ति 4x पर नमूना करना। यदि आप डॉट्स को जोड़ते हैं तो आपको एक त्रिकोण तरंग मिलती है, लेकिन ऐसा करना सही नहीं है - नमूना समय में, नमूने केवल "डॉट्स पर मौजूद हैं"। ध्यान दें कि यदि आप इसे एक सभ्य पुनर्निर्माण फ़िल्टर के माध्यम से डालते हैं, तो आपको साइन लहर वापस मिल जाएगी, और यदि आप अपने नमूने के चरण को बदलते हैं तो आउटपुट चरण में समान रूप से स्थानांतरित हो जाएगा, लेकिन इसका आयाम नहीं बदलेगा।

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@ ThePhoton मैं प्रति चक्र 2, 4, 8 नमूने गिनता हूं।

— जपा

Nyquist के प्रमेय को सैद्धांतिक रूप से क्या कहते हैं, इसके परिशिष्ट के रूप में, यह भी मानता है कि आपके पास डेटा की एक लंबी अवधि के नमूने हैं। "आरा" उदाहरण में, पुस्तक एक संकेत खींचकर धोखा देती है जिसमें उच्च आवृत्ति घटक होते हैं। यदि आपके पास उन उच्च / निम्न / उच्च / निम्न पैटर्नों की एक अनंत श्रंखला है तो एकमात्र संकेत जो उच्च आवृत्ति घटक के बिना हमेशा के लिए उत्पन्न हो सकता है साइन वेव होगा।

— कॉर्ट अमोन - मोनिका

क्या आपका मतलब है कि हमें Nyquist से ऊपर का नमूना लेना चाहिए ?

— रोनन पैक्सो

@ ThePhoton यदि आप स्रोत सिग्नल पर अधिक बारीकी से देखते हैं, तो आप बहुत ही फीके डॉट्स देख सकते हैं, इससे यह 2 4 8 हो जाता है, आपको अंतिम सिग्नल में सभी डॉट्स देखने के लिए अपने मॉनिटर के आगे या पास जाना पड़ सकता है

— फेरीबॉन

@ RonanPaixão हां, सामान्य रूप से आप Nyquist दर से ऊपर का नमूना लेना चाहते हैं। एक ट्रेडऑफ है - अधिग्रहण हार्डवेयर और मेमोरी स्टोरेज के मामले में तेजी से नमूना लेना महंगा है, लेकिन जैसा कि आप अधिक धीरे-धीरे नमूना लेते हैं, आवश्यक एंटी-एलियासिंग और पुनर्निर्माण फिल्टर अधिक महंगा हो जाते हैं। तो आप डिकर करते हैं और सोचते हैं और बड़े स्प्रेडशीट करते हैं और फिर आप तय करते हैं - और पांच साल बाद प्रौद्योगिकी पर इस बिंदु पर आगे बढ़ गया है कि आपका "सबसे अच्छा" समाधान निराशाजनक रूप से गलत दिखता है।

— टिमस्कॉट

Answer 2

चित्र बी बेहद गलत है। इसमें आउटपुट सिग्नल में बहुत तेज कोने होते हैं। बहुत तेज कोनों बहुत उच्च आवृत्तियों, बहुत अधिक तो नमूना आवृत्ति के बराबर होती है।

Nyquist नमूना प्रमेयों को पूरा करने के लिए, आपको पुनर्निर्मित सिग्नल को कम पास फिल्टर करने की आवश्यकता है। सिग्नल पास करने के बाद लो बी फिल्टर इनपुट सिग्नल की तरह दिखाई देगा, त्रिकोण की तरह नहीं (जैसा कि सभी शार्प कॉर्नर लो पास फिल्टर को पास नहीं कर सकते)।

सटीक होने के लिए आपको इनपुट सिग्नल और आउटपुट सिग्नल दोनों को कम करना होगा। इनपुट सिग्नल को उच्चतर आवृत्तियों को "मोड़ना" न करने के लिए कम से कम आधा नमूना आवृत्ति को फ़िल्टर करने की आवश्यकता है।

अफसोस की बात है, यह एक आम गलत बयानी है कि नमूना कैसे काम करता है। अधिक सही विवरण पुनर्निर्माण के लिए sinc फ़ंक्शन का उपयोग करेगा (मैं sinc फ़ंक्शन की खोज की सलाह देता हूं)।

वास्तविक दुनिया के अनुप्रयोगों में "परफेक्ट" कम पास फिल्टर (नीचे सभी आवृत्तियों को पास करना और सभी को अवरुद्ध करना) असंभव है। इसका मतलब है कि आप सामान्य रूप से कम से कम 2.2 गुना अधिक आवृत्ति के साथ नमूना ले सकते हैं जिसे आप अधिकतम आवृत्ति के लिए चाहते हैं (उदाहरण: 20kHz अधिकतम फ्रीक्वेंसी की अनुमति देने के लिए 44.1 kHz पर सीडी की गुणवत्ता।) यहां तक ​​कि इस अंतर से एनालॉग फ़िल्टर बनाने में मुश्किल होगी - दुनिया के अधिकांश वास्तविक अनुप्रयोग "ओवरस्प्ले", जैसा कि डिजिटल क्षेत्र में आंशिक रूप से कम पास फिल्टर करता है।

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निष्पक्ष होने के लिए, आप ग्राफ़ को एक अलग तरीके से प्रस्तुत कर रहे हैं, जैसा कि वे प्रस्तुत किए गए हैं - इस बात का कोई दावा नहीं है कि वे "पुनर्निर्माण" केवल यह है कि वे एडीसी के डिजीटल आउटपुट हैं। डॉट्स को लाइनों से जोड़ना एक सामान्य प्रलोभन और सिस्टम की विशेषता है जो न्यूनतम रूप से डेटा की व्याख्या करने की कोशिश किए बिना उसका प्रतिनिधित्व करता है।

— क्रिस स्ट्रैटन

मैं मोह से सहमत हूं। अक्सर यद्यपि मैं इसे इसके बजाय चरणों के रूप में दर्शाया गया हूं, अधिकांश सॉफ्टवेयर प्रोग्राम सीढ़ियों को ज़ूम इन करने के बाद दिखाते हैं। समस्या तब होती है जब लोग सैंपल सिग्नल के सही अर्थ के रूप में लाइनों (या सीढ़ियों) की व्याख्या करना शुरू करते हैं। बाद में अक्सर नमूनों को फिर से दोहराया जाएगा।

— गेलक्विस्ट

प्रश्न स्पष्ट रूप से मोनोफ्रीक्वेंसी इनपुट दिखाता है। अलियासिंग सवाल का बिंदु नहीं है।

— स्कॉट सीडमैन

Answer 3

सैंपलिंग प्रमेय में कहा गया है कि सिगनल की आवृत्ति सिग्नल में उच्चतम आवृत्ति सामग्री की तुलना में कड़ाई से अधिक होने पर सिग्नल को पूरी तरह से फिर से बनाया जा सकता है। लेकिन यह पुनर्निर्माण प्रत्येक नमूने में सेंस दालों को डालने (अनंत) पर आधारित है। सैद्धांतिक दृष्टिकोण से यह एक बहुत ही महत्वपूर्ण परिणाम है, लेकिन वास्तव में इसे प्राप्त करना असंभव है। पुस्तक पृष्ठ में जो वर्णित किया गया है वह नमूनों के बीच सीधी रेखाओं को खींचने के आधार पर एक पुनर्निर्माण विधि है, जो कुछ पूरी तरह से अलग है। इसलिए, मैं कहूंगा कि पुस्तक सही है, लेकिन इसका नमूना प्रमेय से कोई लेना-देना नहीं है।

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बिल्कुल नहीं, "कड़ाई से अधिक फिर दो बार BANDWIDTH" सामान्य सूत्रीकरण है, और अंतर मायने रखता है (यही कारण है कि आरएफ कार्यों को नीचे करने के साधन के रूप में सबसम्पलिंग है)।

— डैन मिल्स

हाँ, लेकिन मैं अभी भी उच्चतम आवृत्ति के लिए जाना होगा सवाल के संबंध में नमूना प्रमेय की व्याख्या करने के लिए। सवाल एक शुद्ध साइन के नमूने के बारे में है, और फिर यह बैंडविड्थ को शुरू करने के लिए भ्रमित हो सकता है।

— स्टेफान

Answer 4

एक बहुत अच्छा अवलोकन पत्र है Unser: नमूनाकरण - शैनन के 50 साल बाद । आपकी समस्या इस तथ्य से उत्पन्न होती है कि शुद्ध, अनंत साइन सिग्नल शैनन नमूना प्रमेय द्वारा कवर नहीं किए जाते हैं। आवधिक संकेतों के लिए लागू प्रमेय पहले Nyquist नमूना प्रमेय है।

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शैनन नमूना प्रमेय कार्यों कि के रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है पर लागू होता है

$x(t)=\int\limits_{-W}^WX(f)e^{i2\pi ft}\,df$

जहां X एक वर्गाकार-पूर्णांक फ़ंक्शन है। फिर इस संकेत को असतत नमूनों से बिल्कुल दर्शाया जा सकता है

$x(t)=\sum\limits_{k=-\infty}^\infty x(k\frac{T}2)\frac{\sin(\pi W(t-k\frac{T}2))}{\pi W(t-k\frac{T}2)}$

$T=\frac1{W}$$\frac1t$

एक शुद्ध साइन फंक्शन उस वर्ग में सम्‍मिलित नहीं है, क्‍योंकि उसका फूरियर रूपांतरण डायराक-डेल्टा वितरण से बना है।

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पहले के न्यक्विस्ट सैंपलिंग प्रमेय में कहा गया है (या पहले की अंतर्दृष्टि की फिर से व्याख्या करता है) कि यदि संकेत आवधिक T और उच्चतम आवृत्ति W = N / T के साथ है , तो यह एक त्रिकोणमितीय बहुपद है

$x(t)=\sum\limits_{n=-N}^NX_ne^{i2\pi\frac{n}{T}t}$

साथ 2N + 1 (गैर तुच्छ) गुणांक और इन गुणांकों से (रेखीय बीजगणित द्वारा) का पुनर्निर्माण किया जा सकता है 2N + 1 अवधि में नमूने हैं।

शुद्ध साइन फंक्शन का मामला इस वर्ग में आता है। यह सही पुनर्निर्माण का वादा करता है यदि NT के समय में 2N + 1 नमूने लिए जाते हैं।

Answer 5

किताब से जो साझा किया गया है, वह कुछ नहीं कहता है "Nyquist नमूनाकरण मानदंड" के बारे में - यह केवल बिंदु-नमूना के बारे में बात कर रहा है एक काल्पनिक एडीसी के साथ एक साइन लहर, और फिर (कथित तौर पर) एक आउटपुट सिग्नल का उपयोग करके निर्माण करता है (उल्लेख नहीं है) सरल डीएसी जो नमूना मूल्यों के बीच एक रैखिक प्रक्षेप करता है।

उस संदर्भ को देखते हुए, 'अंजीर 6.10' का शोध कथन आम तौर पर सही और अच्छी तरह से प्रदर्शित होता है।

जैसे ही एडीसी की नमूना आवृत्ति बढ़ जाती है, डिजीटल सिग्नल की निष्ठा में सुधार होता है।

यदि आप एक आदर्श पुनर्निर्माण की निष्ठा के बारे में बात करना चाहते हैं , तो यह पूरी तरह से एक अलग मामला है। Nyquist दर की किसी भी चर्चा का तात्पर्य, sinc प्रक्षेप के उपयोग से है , जो फिर से दिखाए गए आंकड़े में उल्लेखित नहीं है।

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इस आंकड़े में असली दोष यह है कि इंजीनियरिंग में एक बिंदु-नमूना एक सार्थक अवधारणा है। व्यावहारिक रूप से, एक एडीसी एक सेंसर घटक से जुड़ा होगा जो कुछ समय की अवधि में वास्तविक-विश्व इनपुट सिग्नल जमा करके काम करता है।

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हालांकि, यह अजीब है, यह चित्र स्पष्ट रूप से गलत है (दो के एक कारक से) आरेख में दिखाए गए विशिष्ट नमूना आवृत्तियों के बारे में - हालांकि "आउटपुट" दिखाया गया है केवल इस मामले में 'सी' से प्रभावित होता है।

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ऊपर दिए गए कथन का उपयोग करते हुए, मैंने ईईजी तरंग प्रसंस्करण के बारे में चर्चा में "ए प्रैक्टिकल अप्रोच टू न्यूरोफिज़ियोलॉजिकल इंट्रापेरेटिव मॉनिटरिंग" में एक समान आरेख पाया। इसके लायक क्या है, उस चर्चा में निम्नलिखित शामिल हैं:

प्रमेय एक ADC के लिए आवश्यक न्यूनतम नमूना आवृत्ति का वर्णन करने के लिए ईमानदारी से एक अनुरूप संकेत का प्रतिनिधित्व करने के लिए Nyquist प्रमेय के रूप में जाना जाता है। यह बताता है कि एक एडीसी की सैंपलिंग आवृत्ति तरंग के सबसे तेज आवृत्ति घटक से दोगुनी से अधिक होनी चाहिए।

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... समय की कुछ अवधि और / या अंतरिक्ष - जब भौतिक नमूनों को डिजिटल नमूनों में अनुवाद करना। गंभीर रूप से, हमेशा एक अंतर्निहित कम-पास फिल्टर होगा।

— नोबार

कुछ ऐसा ही हुआ जो मुझे पता चल गया कि अंतर्निहित कम-पास फिल्टर: engadget.com/2019/05/04/…

— nobar

एक बिंदु जो मुझे मिल रहा है वह यह है कि एक भौतिक सिग्नल का एक सही पुनर्निर्माण मूल रूप से असंभव है (सामान्य मामले में), और यह कि एक सर्वोत्तम-संभव पुनर्निर्माण को प्रभावी लोअर फ़िल्टरिंग को ध्यान में रखना चाहिए जो भौतिक में डिजिटल में निहित है रूपांतरण।

— नोबार

यह वीडियो (प्रश्न टिप्पणियों में साझा) @ 8: 17 कुछ विश्वसनीयता खो देता है जब वह कहता है कि 2 डी छवि पिक्सेल "संकल्पनात्मक, असीम रूप से छोटे बिंदु" हैं। यह इस बारे में बहुत विस्तार से ध्यान नहीं देता है कि छवि के नमूने वास्तव में कैसे पकड़े जाते हैं - और वे किस सूचना का प्रतिनिधित्व करते हैं।

— nobar

... हालाँकि यह सच है कि डिजिटल पिक्सेल नमूने पकड़े जाते हैं और उन मूल्यों के रूप में संग्रहीत किए जाते हैं जो उनके समय / स्थान के प्रतिनिधित्व में असतत हैं - इसका मतलब यह नहीं है कि वे "असीम रूप से छोटे बिंदु" हैं।

— nobar